ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Неперервність функцій / лекция № 12

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 12

з теми: «Неперервність функції. Форми запису, класифікація точок розриву.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.04 Неперервність функцій

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Неперервність функції. Форми запису, класифікація точок розриву.

Мета:

• Дидактична: вивчити основні властивості границі функції в точці, навчитись досліджувати функцію на неперервність та рівномірну неперервність.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція № 12

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Неперервність функції. Форми запису, класифікація точок розриву.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основне поняття математичного аналізу – границі функції в точці, яке дає можливість застосування апарату дослідження у будь – яких сферах прикладання математичних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 12.

1. Неперервні функції. Різні форми запису неперервності функції в точці.

2. Класифікація точок розриву.

Конспект лекції № 12.

Тема: «Неперервність функції. Форми запису, класифікація точок розриву.»

1. Якщо хХ та існує , то він дорівнює ƒ(х), тобто .

Визначення 1. Якщо , то функція ƒ(х) називається неперервною в точці х.

Визначення означає, що якщо для будь – якої послідовності точок хХ, n = 1,2,…, границя якої є х, тобто , послідовність {ƒ(х)} значень функції ƒ(х) в точках хХ, n = 1,2,…, має своєю границею ƒ(х), тобто .

За допомогою символів визначення записується таким чином:

.

Також, за допомогою символів визначення записується таким чином:

чи за допомогою окрестностей:

.

З визначення слідує, що .

Введемо позначення . Тоді . Отримана рівність означає, що по достатньо точним наближеним значенням аргументу можна обчислити скільки завгодно точно значення функції.

Лемма. Якщо існує границя , х Х∩U(х), та функція ƒ(х) визначена в точці х, то функція неперервна в точці х тоді та тільки тоді, коли ƒ(х) = а.

Лемма. Якщо хХ та = , то функція ƒ(х) неперервна в точці х.

Визначення 2. Точка х називається ізольованою точкою множини ХR, якщо існує її окіл U(х), перетин якого з множиною Х складається тільки з точки х, тобто Х∩U(х) = { х}.

Визначення 3. Точка х називається граничною точкою множини ХR, якщо в будь - якому її околі U(х), є точка, відмінна від точки х.

Лемма. Будь – яка функція неперервна в кожній ізольованій точці множини свого визначення.

2. Визначення 4. Нехай функція ƒ(х), хХ, визначена в деякому околі точки х R, окрім, можливо, самої точки х. Тоді х називається точкою розриву функції ƒ(х), чи якщо функція ƒ(х) не визначена в самій точці х, чи якщо вона визначена в точці х, але не є неперервною в ній.

Якщо в точці розриву існують скінчені однобічні границі та , то вона називається точкою розриву І роду, а величина - - скачком функції ƒ(х) в точці х. Якщо =, то х називається точкою устранімого розриву.

Точка розриву, що не є точкою розриву І роду, є точкою розриву ІІ роду.