ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / практика / Похідна і диференціал / практика № 11

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 11

з теми: «Правило Лопіталя.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.05 Похідна і диференціал

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Правило Лопіталя.

Мета:

• Дидактична: поглибити знання про основні властивості елементарних функцій, пов’язаних із застосуванням похідної, навчитись застосовувати теореми про середнє при розв’язанні прикладних задач, навчитись розкладати функцію однієї змінної у ряд Тейлора.

• Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття № 11

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів:

3. Актуалізація опорних знань:

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 11.

Тема: «Правило Лопіталя.»

Інструктаж до виконання практичного завдання.

Методичні вказівки.

Диференційні теореми про середнє.

Теорема.(Ферма) Якщо функція визначена в деякім околі точки х, приймає в цій точці найбільше (найменше) в розглянутім околі значення та має в точці х похідну, то ця похідна дорівнює 0.

Теорема.(Ролля) Якщо функція ƒ(х)

1. неперервна на відрізку [a, b];

2. має в кожній точці інтервалу(a, b) скінчену чи визначеного знаку нескінчену похідну;

3. приймає рівні значення на кінцях відрізку [a, b], тобто ƒ(а) = ƒ(b),

то існує хоча б одна така точка ξ [a, b], що ƒ′(ξ) = 0.

Теорема.(Лагранжа) Якщо функція ƒ(х)

1. неперервна на відрізку [a, b];

2. має в кожній точці інтервалу (a, b) скінчену чи визначеного знаку нескінчену похідну,

то існує хоча б одна така точка ξ (a, b), що ƒ(b) – ƒ(a) = ƒ′(ξ)(b – a).

Формула називається формулою скінчених приростів Лагранжа.

Теорема.(Коші) Якщо функції ƒ та g

1. неперервні на відрізку [a, b];

2. диференційовані в кожній точці інтервалу (a, b);

3. g′(х) ≠ 0 у всіх точках х(a, b),

то існує така точка ξ (a, b), що .

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Теорема. Якщо функції ƒ та g визначені в околі точки х, ƒ(х) = g(х) = 0, існують скінчені похідні ƒ′(х) та g′(х) ≠ 0, то існує границя .

Теорема. Якщо:

1. функції ƒ та g диференційовані на інтервалі (a, b);

2. g′(х) ≠ 0 для всіх х (a, b);

3. ;

4. існує скінчена чи нескінчена границя ,

то існує границя , причому .

Теорема. Якщо:

1. функції ƒ та g диференційовані на інтервалі (a, b);

2. g′(х) ≠ 0 для всіх х (a, b);

3. ;

4. існує скінчена чи нескінчена границя ,

то існує границя , причому .

Правила обчислення границі відношення функцій

називається правилом Лопіталя.

Границя невизначеностей типу можна знайти , спочатку прологарифмував функції, границя яких знаходиться.

Границі невизначеностей типу 0·∞, ∞ - ∞ потрібно привести до виду чи .

Приклади виконання практичних завдань.

1) Обчислити границі функцій за правилом Лопіталя.

а); б) ; в)

2) Написати розклад по формулі Тейлора функції ƒ(х) = по ступеням х до х.

3) Обчислити с точністю до 0,00001.

Розв’язки:

1) а) =

==

=

б) =

=

=.

в)

Виконати практичні завдання.

Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

Стор. 148 – 149, №№ 1318 – 1368.

Стор. 152, №№ 1381 – 1387.

Стор. 154, №№1396, 1397.