ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / практика / Похідна і диференціал / практика № 12

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 12

з теми: «Формула Тейлора.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.05 Похідна і диференціал

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Формула Тейлора.

Мета:

• Дидактична: поглибити знання про основні властивості елементарних функцій, пов’язаних із застосуванням похідної, навчитись застосовувати теореми про середнє при розв’язанні прикладних задач, навчитись розкладати функцію однієї змінної у ряд Тейлора.

• Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття № 12

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів:

3. Актуалізація опорних знань:

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 12.

Тема: «Формула Тейлора.»

Інструктаж до виконання практичного завдання.

Методичні вказівки.

Диференційні теореми про середнє.

Теорема.(Ферма) Якщо функція визначена в деякім околі точки х, приймає в цій точці найбільше (найменше) в розглянутім околі значення та має в точці х похідну, то ця похідна дорівнює 0.

Теорема.(Ролля) Якщо функція ƒ(х)

1. неперервна на відрізку [a, b];

2. має в кожній точці інтервалу(a, b) скінчену чи визначеного знаку нескінчену похідну;

3. приймає рівні значення на кінцях відрізку [a, b], тобто ƒ(а) = ƒ(b),

то існує хоча б одна така точка ξ [a, b], що ƒ′(ξ) = 0.

Теорема.(Лагранжа) Якщо функція ƒ(х)

1. неперервна на відрізку [a, b];

2. має в кожній точці інтервалу (a, b) скінчену чи визначеного знаку нескінчену похідну,

то існує хоча б одна така точка ξ (a, b), що ƒ(b) – ƒ(a) = ƒ′(ξ)(b – a).

Формула називається формулою скінчених приростів Лагранжа.

Теорема.(Коші) Якщо функції ƒ та g

1. неперервні на відрізку [a, b];

2. диференційовані в кожній точці інтервалу (a, b);

3. g′(х) ≠ 0 у всіх точках х(a, b),

то існує така точка ξ (a, b), що .

Формула Тейлора.

Якщо функція ƒ n раз диференційована в точці х, то в деякому околі цієї точки .

Багаточлен Р(х) = називається багаточленом Тейлора порядку n, формула - формулою Тейлора порядку n для функції ƒ в точці х = х, функція - залишковим членом порядку n формули Тейлора.

Якщо х = 0. то формула Тейлора називається формулою Макларена: Р(х) = ;

- формула Макларена.

Теорема.(теорема одиничності) Якщо функція ƒ задана в околі точки х та має представлення , то таке представлення тільки одне.

Формули Макларена для основних елементарних функцій.

1. ƒ = sin х. . Тому, маємо .

2. ƒ = cos х. . Тому, маємо .

3. ƒ = . . Тому, маємо . Також, . Для гіперболічних функцій: ,

4. ƒ = . .ƒ(0) = 1. Тому, маємо . Якщо α – натуральне число, то - формула бінома Ньютона.

5. ƒ(х) = ln(1+х). Тоді

.

Маємо: .

Приклади виконання практичних завдань.

1) Написати розклад по формулі Тейлора функції ƒ(х) = по ступеням х до х.

2) Обчислити с точністю до 0,00001.

Розв’язки:

1) ƒ(х) = , функція має отриманий розклад по формулі Тейлора. Підставив розклад у рівність для функції ƒ(х) = , отримаємо наступне:

2) Використовуючи розклад по формулі Тейлора, отримаємо: . Число доданків потрібно визначити так, щоб погрішність результату на перебільшила 0,00001. Обчислюючи кожний дріб, маємо: 1,000000+0,500000+0,125000+0,020833+0,002604+0,000260+0,000022 = 1,648719. Значить, = 1,648719.

Виконати практичні завдання.

Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

Стор. 148 – 149, №№ 1318 – 1368.

Стор. 152, №№ 1381 – 1387.

Стор. 154, №№1396, 1397.