Разбор типовых примеров

Пример 1.Показать, что ‑ решение уравнения.

Решение:, ,

.

Пример 2.Показать, что, ‑интегральная кривая уравнения.

Решение: По условиюy = tx; y=

Подставляя вместо х, у, у их выражение черезtв левую часть данного уравнения с учетом, чтоу= tx, получим

Пример 3.Показать, что удовлетворяет уравнению.

Решение: ,

Пример 4. Показать, чтодля любого фиксированногоС R является интегралом дифференциального уравнения.

Решение: (dC= 0, т.к. C= const) .

Пример 5.Показать, что дифференциальные уравнения

,

попарно неэквивалентны.

Решение: Согласно определению достаточно показать, что множества решений трех данных уравнений не совпадают. В этом проще всего убедиться, заметив, что первому уравнению удовлетворяют функции, , второму ‑,но не удовлетворяет , а третьему удовлетворяет, но не удовлетворяет.

6.Показать, что функцияявляется общим решением уравнения у=, но не уравнения у=3у².

Решение.Из системы уравненийнаходимС=

Следовательно, общее решение уравнения ,правая часть которого не определена при.Уравнение же имеет частное решение, не получаемое из ни при каком значенииС.

7.Показать, что уравнениеявляется общим интегралом уравнения

Решение:Обозначим. Тогда ; ;

8.Показать, что уравнениеу³=является общим интегралом уравнения в дифференциалах

Решение:

Отметим, что данное уравнение не является общим интегралом для уравнения в дифференциалах, так как последнее имеет дополнительное частное решение.

9.Найти дифференциальное уравнение для семейства кривых, заданного уравнением.

Решение.,

.

10.Найти дифференциальное уравнение для семейства кривых.

Решение..

Задачи для самостоятельного решения

В следующих задачах требуется показать, что данные функции являются решениями указанных дифференциальных уравнений и найти области определения этих решений:

1.

2. .

3.

4.

5. .

6. .

7.

8.

9.

10.

Проверить, являются ли данные функции и уравнения общими решениями и интегралами для указанных дифференциальных уравнений:

11.

12.

13.

14.

15.

§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений

Не существует каких-либо общих правил для составления дифференциальных уравнений по условиям конкретной задачи. Условия задачи должны быть таковы, чтобы позволяли составить соотношение, связывающее независимое переменное, функцию и ее производную (или производные). Если это задача геометрического характера, то наличие в ее данных касательной (или нормали) или некоторых связанных с ней отрезков дает возможность написать соотношение между координатами точек кривой и угловым коэффициентом касательной (задача 1, 4). В задачах физического или механического характера, в случае если задается скорость какого-нибудь процесса, бывает возможно сразу написать соответствующее дифференциальное уравнение (задача 2, 5). В других случаях, предварительно устанавливая соотношение между приращениями переменных, затем переходом к пределу получают дифференциальное уравнение (задача 3).

В качестве примеров рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Найти кривые, обладающие в каждой точке тем свойством, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

Решение.Пусть– произвольная точка кривой (см. рис.1), обладающая требуемым свойством:. Из треугольникаимеем:,и так как , то приходим к соотношению:

.

Перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде:

Рис. 1 , или, откуда (если производные равны, то функции отличаются на постоянную), или, следовательно,

Обозначая через, получаем окончательно:

.

Условиям задачи удовлетворяет семейство, зависящее от одного параметра, равносторонних гипербол, для которых оси координат служат асимптотами.

Задача 2.Распад радия происходит таким образом, что скорость распада пропорциональна наличному количеству радия. Найти закон, выражающий изменение количества радия с течением времени, если известно, что через 1600 лет останется половина количества радия.

Решение. Пусть– количество радия и– время (в годах). Найдем зависимостьот:. Из условий задачи (скорость изменения есть производная по времени):

.

Перепишем полученное уравнение в виде

и из равенства дифференциалов заключаем, что сами функции отличаются на постоянную:(*).

Пусть в начальный момент количество радия. Это дает возможность из (*) найти соответствующее значение:. Таким образом,

.

Коэффициент находим из условия, что при:

,

откуда . Следовательно,

,

или

.

Задача 3.Вода вытекает через отверстие в дне цилиндрического сосуда. По какому закону будет понижаться уровень воды в сосуде с течением времени, если известно, что скорость истечения жидкости из отверстия зависит от высотыстолба жидкости следующим образом .

Решение.Обозначим (см. рис.2) черезвысоту сосуда. ‑ площадь его основания, s‑ площадь отверстия и h ‑ высоту жидкости в сосуде в момент времениt.

В течение промежутка времени от tдо высота уровня в сосуде понизится c hдо . За это время из сосуда вытечет объем воды, равный‑ . Таков же должен быть объем струи жидкости, вытекшей за это время из отверстия. Он равен площади s,умноженной на длину пути,пройденного частицей жидкости с момента tдо .Движение ее неравномерно: в моментскорость, а в момент .Для

Рис. 2. вычисления длины пройденного пути воспользуемся средней скоростью: , где

.

Мы приходим, таким образом, к соотношению: .

Отсюда ,.Переходя к пределу при, получаем дифференциальное уравнение задачи:

.

Решаем его тем же способом, что и предшествующее уравнение:

.

Замечая, что в момент , ,находимС:.И таким образом, приходим к равенству:, откуда

.

Таков закон истечения жидкости из отверстия в дне сосуда. Полагая ,находим, что вся жидкость вытечет из сосуда за сек.

Задача 4.Найти такую кривую, проходящую через точку, чтобы тангенс угла наклона касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на 3 единицы.

Решение.Исходя из геометрического смысла первой производной, получаем дифференциальное уравнение семейства кривых, удовлетворяющих требуемому в задаче свойству, а именно

или

Откуда .

Так как искомая кривая должна проходить через точку , т. е., то значение ,соответствующее этой кривой определяем из условия:, т. е., так что, откуда

.

В силу условия должен быть выбран знак плюс:.

Задача 5.В цилиндрическом сосуде объемом, заключен атмосферный воздух, который адиабатически (без обмена тепла с окружающей средой) сжимается до объема . Вычислить работу сжатия.

Решение.Известно, что адиабатический процесс характеризуется уравнением Пуассона

, (1)

где –первоначальный объем газа,

– первоначальное давление газа,

– постоянная для данного газа величина.

Обозначим через исоответственно объем и давление газа в тот момент, когда поршень находится на высоте, а через – площадь поршня. Тогда при опускании поршня на величину объем газа уменьшится на величину .При этом будет выполнена работа

или .(2)

Находя из уравнения Пуассона (1) и подставляя в (2), получим дифференциальное уравнение процесса:

. (3)

Интегрируя (3), будем иметь:

. (4)

Согласно начальному условию из (4) получим

.

Таким образом, работа адиабатического сжатия (от до)будет

. (5)

При получаем

.