- •Глава 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы
- •1. Общие замечания. Однородные и неоднородные уравнения и системы
- •2. Фундаментальная система решений однородной системы м однородного уравнения
- •3. Дифференцирование векторов, матриц, определителей. Комплекснозначные функции действительного аргумента
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.Определитель Вронского
- •5. Метод вариации постоянных для неоднородных уравнений и систем
- •6. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Линейные неоднородные уравнения и системы с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
Типовые задачи
Найти все решения уравнений:
а) б)в)
г) д)е)ж)
Решение. а) Составим характеристическое уравнение: Его корни:Следовательно, общее решение уравнения имеет видгдеконстанты.
б) Характеристическое уравнение: Его корни:Следовательно,
в) Характеристическое уравнение: т.е.Корни:Следовательно,
г) Здесь ищется функция Характеристическое уравнение:корни:Поэтому
д) Имеем: ОтсюдаБазисные функции (т.е. функции, образующие фундаментальную систему решений):иСледовательно,
е) Характеристическое уравнение: его корни:Поэтому
ж) Характеристическое уравнение: Его корни:Запишем число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:По формуле Муавра
где Таким образом,
Отсюда получается формула общего решения:
2. Составить дифференциальное уравнение, имеющее следующую фундаментальную систему решений:
а) б)в)
Решение. а) Корни характеристического уравнения равны: Следовательно, характеристическое уравнение имеет видилиЗначит, дифференциальное уравнение выглядит так:
б) Здесь трёхкратный корень, поэтому характеристическое уравнение имеет видилиСледовательно, дифференциальное уравнение имеет вид
в) Здесь поэтому характеристическое уравнение имеет видт.е.Заменяя степенина производные, получим дифференциальное уравнение:
Решить уравнение Эйлера
Решение. Положим ТогдаПодставив в уравнение, получим:(здесьПосле упрощения будем иметьХарактеристическое уравнениеимеет корниСледовательно, общее решение имеет видВозвращаясь к переменнойполучим:Такой же результат будет получен, если сделать замену
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям: а) б)
Решение. а) Составим характеристическое уравнение: Его корни:Общее решение уравнения:Подставим в эту формулуНайдём производную:Так както мы получаем:Следовательно,Отсюда
б) Характеристическое уравнение: Корни:Общее решение уравнения:Так кактоЗначит,Дифференцируем:Подставим начальные условия.Таким образом,Значит,.
Решить уравнение методом вариации постоянных:
Решение. Сначала решим однородное уравнение Его характеристическое уравнение имеет видего корни:Функциииобразуют фундаментальную систему решений однородного уравнения, а его общее решение имеет видРешение неоднородного уравнения будем искать в виде
(20)
Продифференцируем это равенство: Потребуем, чтобы
(21)
Тогда ОтсюдаПодставим выражения дляв исходное уравнение:
После упрощения получаем: Это равенство вместе с равенством (21) составляют систему линейных уравнений относительно
Решив эту систему, получим: Проинтегрировав эти равенства, получим:гдепостоянные. Следовательно, общее решение уравнения имеет видЭто окончательный ответ.
На примере данного уравнения хорошо видно строение общего решения неоднородного уравнения. Действительно, перепишем последнюю формулу в виде Тогда мы увидим, чточастное решение неоднородного уравнения, аобщее решение однородного уравнения.
Задачи для самостоятельного решения
Найти все решения уравнения:
а) б)в)
г) д)е)
ж) з)и)
к) л)м)
н) о)п)
Составить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, для которого данное множество функций является фундаментальной системой решений:
а) б)в)
Решить уравнение методом вариации постоянных:
а) б)в)
Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:
а)
б)
Решить однородные уравнения Эйлера:
а) б)в)
Решить уравнение, считая известной функцией:
а) б)
Найти решения уравнения, ограниченные при
а) б)
Ответы: 1. а) б)в)
г) д)е)ж)з)и)к)
л)
м)
н) о)
п)
а) б)в)
а) б)
в)
а) б)
а) б)в)
а)
б)
7. а) б)