Проблема равенства слов. Группы и полугруппы часто задаются образующими элементами и определяющими соотношениями.
Например, группа S3 подстановок на трёхэлементном множестве имеет
123 |
|
123 |
|
и определяющие |
||
образующие элементы a = |
|
|
и b = |
|
|
|
|
|
|
|
213 |
|
|
|
231 |
|
|
|
||
соотношения a3 = b2 =1, ba = a2b. Каждый элемент из S3 является произведением элементов a и b, взятых, возможно, несколько раз, т.е. словом в алфавите {a, b}, причём это слово в общем случае не
единственно. Например, a2ba и bab2a − один и тот же элемент из S3 . Возникает вопрос: равны два данных слова в группе S3 или нет? Существует ли алгоритм, решающий этот вопрос для любых двух слов? Для группы S3 ответ положительный: алгоритм существует, и читатель
сформулирует его без труда. Однако, существуют полугруппы (и группы), для которых такого алгоритма нет. Итак, пусть полугруппа S
задана образующими элементами a1, a2 , ... , an и соотношениями
w1 = w1′, ... , wk = wk′ ( wi , wi′ − слова от a1, a2 , ... , an ), то в общем случае не существует алгоритма, определяющего для двух
произвольных слов w, w′, равны они как элементы из S или не равны (т.е. следует равенство w = w′ из равенств w1 = w1′, ... , wk = wk′ или не следует). Кроме того, в общем случае алгоритмически неразрешим вопрос о том, будет ли полугруппа S конечной (или коммутативной, или периодической).
Проблема истинности формулы. Всякая аксиоматическая теория (например, теория групп или элементарная геометрия) определяется наличием аксиом (будем считать, что их конечное число) и правил вывода утверждений из аксиом. Утверждения, выводимые из аксиом, называются теоремами. Примеры правил вывода:
1) всякая аксиома есть теорема;
2) если A и B − теоремы, то A & B − теорема;
3) если A и A B − теоремы, то B − теорема.
Пусть дана правильно построенная формула A (т.е. не произвольный набор значков, а формула, построенная с правильным употреблением логических связок, расстановки скобок и т.д.). Является ли A