Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Литература / Учебник (Кожухов, Прокофьев, Соколова) / discret_mat.pdf

Скачиваний:

558

Добавлен:

16.04.2013

Размер:

2.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

		f
б) A = B ={0, 1}, a(1)a(2)a(3)... →0 a(1) 0 a(2) 0 a(3)...;
в) A = B ={a,b, c},	b(i) =	a(i), если j ≤ i	a( j) ≠ c,
в) A = B ={a,b, c},	b(i) =		a( j) = c.
		c, если j ≤ i	a( j) = c.

3. Определить количество классов эквивалентности множества вершин дерева T f следующих функций:

а) A ={0, 1}, B ={0, 1, 2}, b(i) = a(1) + a(2) + ... + a(i) (mod 3);

б)	A = B ={0, 1}, f (a(1)a(2)a(3)...) = 0 0 a(1)a(2)a(3)...;
в)	A ={a,b, c}, B ={0, 1}, b(i) =	0, еслиi =1 или a(i) ≠ a(i −1),

		1 в противном случае.

Ответы

1. а) Детерминированная; б) детерминированная; в) недетерминированная. 2. а) Является; б) не является; в) является. 3. а)

3; б) 4; в) 4.

§3.8. Синтез автоматов

Под синтезом автоматов мы понимаем построение автоматов, удовлетворяющих заданному свойству или выполняющий заданные функции. Ранее в п.3.1 был построен элемент задержки, который сдвигает входную последовательность на 1 такт: b(i) = a(i −1) при

i ≥ 2 (см. рис. 3.34).

Рис. 3.34

Соединяя последовательно два элемента задержки, мы получим сдвиг на 2 такта: b(i) = a(i − 2) при i ≥ 3 (см. рис.3.35).

a(t)	Z		Z	b(t)
	Z		Z
		Рис. 3.35

Автоматы V1 = ( A1,Q1, B1,ϕ1,ψ1 ) и V2 = ( A2 , Q2 , B2 ,ϕ2 ,ψ2 ) можно соединять последовательно в случае, если B1 A2 (см. рис. 3.36). При этом получается автомат V = ( A,Q, B,ϕ,ψ), у которого

A = A1, B = B2 , Q = Q1 ×Q2 ,

ϕ((q1, q2 ), a) = (ϕ1 (a, q1 ), ϕ2 (ψ1 (a, q1 ), q2 )),

ψ((q1, q2 ), a) =ψ2 (ϕ1 (a, q1 ), q2 ).

V1 V2

Рис. 3.36

Параллельное соединение автоматов приводит к появлению автомата

V= ( A1 × A2 , Q1 ×Q2 , B1 × B2 , ϕ,ψ) (см. рис. 3.37), где

ϕ((q1, q2 ), (a1, a2 )) = (ϕ1 (q1, a1 ),ϕ2 (q2 , a2 )),

ψ((q1, q2 ),(a1, a2 )) = (ψ1 (q1, a1 ),ψ2 (q2 , a2 )).

Пусть V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) − конечный автомат. Если

A ={a , a

,..., a

} и m ≤

символ a можно

то входной

b(1)b(2)...

a(1)a(2)...

k, а именно:

закодировать двоичной

последовательностью

длины

→ 00...0,

→ 00...1,

→ 00...10 и т.д. Аналогично, если

123

b(1)b(2)...

a(1)a(2)...

B ={b , ... ,b }

n ≤ 2l ,

то выходные символы b B могут быть

представлены двоичными

последовательностями длины l. Автомат V ,

(см. рис. 3.38) таким образом, становится устройством, перерабатывающим двоичную информациюРис. 3.37 :

x1(t) y1(t)

. . . .	V ....
xk(t)		yl(t)

Рис. 3.38

Выходы y j (t) представляют собой булевы функции от входов

Z


			Рис. 3.39

x1 (i), ... , xk (i), где i = t, t −1, ... Эти функции можно реализовать с

помощью схем, содержащих стандартные булевы элементы и элемент задержки (см. рис. 3.39):

Пример. Рассмотрим устройство, осуществляющее сложение двух двоичных последовательностей с переносом разряда. Например,

x(t)	0	1	0	0	1	0	1	1	0	1	0	. . .
y(t)	1	0	1	1	1	0	1	0	1	1	0	. . .

b(t)	1	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	. . .

	x(t) + y(t),	если не было переполнения,
Таким образом, b(t) =
	x(t) + y(t) +1 в противном случае.
1,	если есть переполнение,
Положим u(t) =	если нет.	Тогда
0,	если нет.

b(t) = x(t) + y(t) + u(t −1), u(t) = 0, если среди чисел x(t), y(t), u(t −1) не более одного равны 1, u(t) =1 в противном случае. Нетрудно видеть, что u(t) = x(t) y(t) + (x(t) + y(t))u(t −1). Теперь мы можем изобразить схему устройства (см. рис. 3.40):

x(t)	&


y(t)		&
		&
		Z
		Z	b(t)
			b(t)

		Рис. 3.40

Типовые задачи

Пример 1. Дан алфавит A ={a,b, c}. Построить автомат,

отыскивающий во входной последовательности подслово abc и заменяющий после этого все символы символом . Например,

ababbca cbabcabba... → ababbca cbabc ...

Решение. Пусть q0 обозначает начальное состояние, qa − состояние,

в которое автомат перейдёт, получив на входе символ a, qb − символ b (но не после a), qc − символ c (но не после ab). Далее, пусть q′− состояние ожидания символа c, если уже есть ab , q′′ − есть

abc , Наконец, пусть q − финальное состояние. Изобразим теперь диаграмму Мура искомого автомата (см. рис. 3.41).

b,b

	b
,
a

a,a		a,b
qa
		q
	a,	b,a

		c,a
q0
		c

,		,
b

	c,c
c,b	a,c	a,*
c,b	q b,c	a,*
	q b,c	q*
	c,*	b,*

qb	c,b

		qc b,b

Рис. 3.41

Пример 2. Существует ли конечный автомат V с алфавитами

A = B ={0, 1} такой, что:
а) ψ	(q0 ,011) =101,	ψ	(q0 ,110) = 000,	ψ	(q0 ,010) =111?
б) ψ	(q0 ,011) =101,	ψ	(q0 ,110) = 000,	ψ	(q0 ,010) =100?

Решение. а) Такого автомата не существует: действительно, у входных слов 011 и 010 совпадают первые две буквы, а выходные слова 101 и 111 этим свойством не обладают. Другими словами, функцию

ψ (q0 , x) нельзя продолжить до детерминированной функции f : A∞ → B∞.

б) Условие детерминированности здесь выполнено. Докажем, что автомат, удовлетворяющий данным условиям, существует. Построим фрагмент информационного дерева:

0	1			0
	γ	η	0?	ε
	0	1?	0?	0
β	1	0	δ
	α
	Рис. 3.42

Вершины α и γ не эквивалентны. Если ребро δη будет помечено

0,1

1,0 q0 q10,1

0,	1,0
0

q2 1,1

Рис. 3.43

символом 0, то δ ~/ α и δ ~/ γ; если же

его пометить символом 1, то всё равно

α ~/ δ. Пусть q0 ={α, ...},

q1 ={β,δ,...}, q2 ={ε,γ , ...}. Получим

(см. рис. 3.43):

Замыкая произвольным образом повисшие стрелки этой диаграммы, получим диаграмму Мура автомата (см. рис. 3.44):

0,1

1,0 q0 q1

0	1,0	0,1
0	1,0
,

q2 1,1

Рис. 3.44

Пример 3. Построить автомат с наименьшим числом состояний, для

которого A = B ={0, 1}, ψ			(q0 ,010) =110,		ψ	(q0 ,0111) =1110,
ψ	(q0 ,11) = 00.
Решение. Построим информационное дерево:
				0
0				δ
0				1
				γ
1							0
		β		1	0		ε
		β		1	0

Рис. 3.45

Очевидно, α ~/ β, β ~/ γ , α ~/ γ. Значит, количество классов эквивалентности информационного дерева (т.е. количество состояний автомата) не меньше 3. Полагаем q0 ={α,ε,δ, ...}, q1 = {β,...},

q2 = {γ , ...} и получаем диаграмму Мура искомого автомата (см.

рис.3.46):

0,1			q1
0,1 q0			q1
1			1
1		,
1		1
,	q2
0,0	q2
0,0

0,0

Рис. 3.46

Пунктиром обозначены стрелки, добавленные для обеспечения полноты диаграммы. Эти стрелки можно направить в другие кружочки.

Задачи для самостоятельного решения

1. Построить автомат с входным и выходным алфавитами A ={a,b, c} и B ={_, a,b, c, }, который отыскивает во входной

последовательности идущие подряд более одного раза буквы a и заменяет последнюю из них символом . Символ _ зарезервирован здесь для начала последовательности. Пример:

abbcaabcacaaabc... → _ abbca bcacaa bc...

2. Построить диаграмму Мура автомата с A = B ={0, 1}, который во

входной последовательности заменяет символы, стоящие на чётных местах, на противоположные. Например,

01100101001110... → 00110000011011...

3. Построить таблицу автомата с наименьшим числом состояний, удовлетворяющий условиям: ψ (q0 ,011) =111, ψ (q0 ,1011) =1101,

ψ (q0 ,11) =10.

4. Автомат V с A = B ={0, 1} работает по схеме, показанной на рисунке 3.47. При этом считается, что u(0) = 0.

а) Выразить u(t) через x(t), y(t), u(t −1).

б) Найти первые 3 символа в выходной последовательности, если x(1)x(2)x(3) ... =10 0 ..., y(1) y(2) y(3) ... = 011 ...

x(t)

u(t)

y(t)

Рис. 3.47

Ответы

1. См. рис. 3.48. 2. См. рис. 3.49.

c,a

a,a

c,c

0,0

1,1

b,b

0,1

c,*

1,0

Рис. 3.48

Рис. 3.49

3. См. табл. 3.

. (ответ неоднозначен).

Таблq.

33. .

4. а) u(t) = y(t) x(t)u(t −1); б) u(1)u(2)u(3) ... = 011 ...

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>