3.10. Кодирование деревьев

Выделим в дереве какую-нибудь одну вершину, которую назовем корнем. Полученное дерево с выделенной вершиной называетсякорневым.

Для задания (с точностью до изоморфизма) корневыхдеревьев используюткод из 0 и 1, который мы определим индуктивно.

Определение.Кодом корневого дерева с одним ребром является .Пусть деревья и с корнямиa и b соответственно (см. рис.) имеют коды и .Тогда кодом дерева с корнем с является код , а кодом дерева с корнем - код.

Пример 1. Написать код дерева, изображенного на рисунке.

Итак, код дерева -.

Справедливо следующее утверждение:для того, чтобы последовательность нулей и единиц являлась кодом некоторого дерева необходимо и достаточно, чтобы число нулей и единиц в этой последовательности было одинаковым, причем в любом начальном отрезке последовательности количество нулей было не меньше количества единиц.

Чтобы построить корневое дерево по кодуиз нулей и единиц, нужно разбить последовательность на пары 0 и 1, следуя правилу: первая попавшаяся в коде единица образует пару с предшествующим нулем; каждая следующая единица образует пару с ближайшим слева неиспользованным нулем. Если образованные таким образом пары пометить снизу кода фигурными скобками, то каждая такая скобка будет соответствовать ребру графа.

Пример 2.Построить дерево по коду.

Для задания помеченныхдеревьев, т.е. деревьев, вершины которых занумерованы, используют код из натуральных чисел.

Пусть дано помеченное дерево. Чтобы построить его код из натуральных чисел действуем следующим образом. Находим висячую вершину с наименьшим номером. Записываем номер смежной с ней вершины (это начало кода), после чего удаляем эту висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Для полученного в результате данной операции дерева находим висячую вершину с наименьшим номером, записываем номер смежной с ней вершины (это продолжение кода), после чего удаляем эту висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Так поступаем до тех пор, пока не останется последнее ребро.

Заметим, что длина кода из натуральных чисел на единицу меньше числа ребер и на две единицы меньше числа вершин данного дерева.

Пример 3.На рисунке изображено помеченное дерево. Его код.

Построение дерева по коду из натуральных чиселрассмотрим на примере кода. Прежде всего, заметим, что дерево, которое нам предстоит построить, имеет 8 вершин.

2	2	4	4	6	6
1	2	4	4	6	6
1	3	4	4	6	6
1	3	2	4	6	6
1	3	2	5	6	6
1	3	2	5	4	6
1	3	2	5	4	7
2	2	4	4	6	6

Будем преобразовывать последовательность 224466, действуя по следующей схеме. Вместо первого числа запишем наименьшее натуральное число, которое в этой последовательности не встречается, т.е. 1; получим последовательность 124466. Вместо второго числа в новой последовательности запишем наименьшее, не встречающееся в ней, т.е. 3; получим последовательность 134466, и т.д. Действуем так до тех пор, пока все числа в исходной последовательности не будут заменены. Расположим все последовательности друг под другом; под последней из них запишем код дерева. Выпишем пары вершин, записанные друг под другом в последних двух строчках: (12), (32), (24), (54), (46), (76). Каждая такая пара - это пара концов одного из ребер дерева. Этот список дополняем парой вершин, отсутствующих в предпоследней строчке, т.е. парой (6,8). Теперь строим дерево: отмечаем на плоскости точки – вершины дерева и соединяем их ребрами согласно списку (см. рисунок к примеру 3).