Курсовые / много всякого / disk_mat / Ll6_9

пдн(2) - мЕЛГЙЙ 6-9 оБИПЦДЕОЙЕ ЛТБФЮБКЫЙИ РХФЕК Ч ЗТБЖЕ оБЮБМШОЩЕ РПОСФЙС

вХДЕН ТБУУНБФТЙЧБФШ ПТЙЕОФЙТПЧБООЩЕ ЗТБЖЩ G = <V, E>, ДХЗБН ЛПФПТЩИ РТЙРЙУБОЩ ЧЕУБ. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЛБЦДПК ДХЗЕ <u, v> пE РПУФБЧМЕОП Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ ОЕЛПФПТПЕ ЧЕЭЕУФЧЕООПЕ ЮЙУМП a (u, v), ОБЪЩЧБЕНПЕ ЧЕУПН ДБООПК ДХЗЙ. рПМБЗБЕН, ЛТПНЕ ФПЗП, a (u, v) = Ґ , ЕУМЙ u -a v. еУМЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЧЕТЫЙО v0, v1,..., vp ПРТЕДЕМСЕФ РХФШ Ч G, ФП ЕЗП ДМЙОБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЛБЛ УХННБ

.

(пФНЕФЙН, ЮФП ЕУМЙ Ч РТПЙЪЧПМШОПН ЗТБЖЕ НЩ РТЙНЕН ЧЕУ ЛБЦДПК ДХЗЙ ТБЧОЩН ЕДЙОЙГЕ, ФП НЩ РПМХЮЙН ПВЩЮОПЕ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ДМЙОЩ РХФЙ ЛБЛ ЮЙУМБ ДХЗ; ДМЙОБ РХФЙ ТБЧОБ 0 РТЙ p = 0). оБУ ВХДЕФ ЙОФЕТЕУПЧБФШ ОБИПЦДЕОЙЕ ЛТБФЮБКЫЕЗП РХФЙ НЕЦДХ ЖЙЛУЙТПЧБООЩНЙ ЧЕТЫЙОБНЙ s, t пV. дМЙОХ ФБЛПЗП ЛТБФЮБКЫЕЗП РХФЙ НЩ ВХДЕН ПВПЪОБЮБФШ d (s, t) Й ОБЪЩЧБФШ ТБУУФПСОЙЕН ПФ s ДП t (ТБУУФПСОЙЕ, ПРТЕДЕМЕООПЕ ФБЛЙН ПВТБЪПН, НПЦЕФ ВЩФШ ПФТЙГБФЕМШОЩН). еУМЙ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ ОЙ ПДОПЗП РХФЙ ЙЪ s Ч t, ФП РПМБЗБЕН d (s, t) = Ґ . еУМЙ ЛБЦДЩК ЛПОФХТ ОБЫЕЗП ЗТБЖБ ЙНЕЕФ РПМПЦЙФЕМШОХА ДМЙОХ, ФП ЛТБФЮБКЫЙК РХФШ ВХДЕФ ЧУЕЗДБ ЬМЕНЕОФБТОЩН РХФЕН, Ф.Е. Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ v1,..., vp ОЕ ВХДЕФ РПЧФПТПЧ. у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ЕУМЙ Ч ЗТБЖЕ УХЭЕУФЧХЕФ ЛПОФХТ ПФТЙГБФЕМШОПК ДМЙОЩ, ФП ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ОЕЛПФПТЩНЙ РБТБНЙ ЧЕТЫЙО УФБОПЧЙФУС ОЕПРТЕДЕМЕООЩН, РПФПНХ ЮФП, ПВИПДС ЬФПФ ЛПОФХТ ДПУФБФПЮОПЕ ЮЙУМП ТБЪ, НЩ НПЦЕН РПЛБЪБФШ РХФШ НЕЦДХ ЬФЙНЙ ЧЕТЫЙОБНЙ У ДМЙОПК, НЕОШЫЕК РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЕЭЕУФЧЕООПЗП ЮЙУМБ. ч ФБЛПН УМХЮБЕ, НПЦОП ВЩМП ВЩ ЗПЧПТЙФШ П ДМЙОЕ ЛТБФЮБКЫЕЗП ЬМЕНЕОФБТОПЗП РХФЙ, ПДОБЛП ЪБДБЮБ, РПУФБЧМЕООБС ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЧЕТПСФОП ВХДЕФ ЪОБЮЙФЕМШОП ВПМЕЕ УМПЦОПК, ФБЛ ЛБЛ, Ч ЮБУФОПУФЙ, ПОБ УПДЕТЦЙФ Ч УЕВЕ ЪБДБЮХ УХЭЕУФЧПЧБОЙС ЗБНЙМШФПОПЧБ РХФЙ. нПЦОП ДБФШ НОПЗП РТБЛФЙЮЕУЛЙИ ЙОФЕТРТЕФБГЙК ЪБДБЮЙ П ЛТБФЮБКЫЙИ РХФСИ. оБРТЙНЕТ, ЧЕТЫЙОЩ НПЗХФ УППФЧЕФУФЧПЧБФШ ЗПТПДБН, Б ЛБЦДБС ДХЗБ - ОЕЛПФПТПНХ РХФЙ, ДМЙОБ ЛПФПТПЗП РТЕДУФБЧМЕОБ ЧЕУПН ДХЗЙ. нЩ ЙЭЕН ЪБФЕН ЛТБФЮБКЫЙЕ РХФЙ НЕЦДХ ЗПТПДБНЙ. чЕУ ДХЗЙ ФБЛЦЕ НПЦЕФ УППФЧЕФУФЧПЧБФШ УФПЙНПУФЙ (ЙМЙ ЧТЕНЕОЙ) РЕТЕДБЮЙ ЙОЖПТНБГЙЙ НЕЦДХ ЧЕТЫЙОБНЙ. ч ФБЛПН УМХЮБЕ НЩ ЙЭЕН УБНЩК ДЕЫЕЧЩК (ЙМЙ УБНЩК УЛПТЩК) РХФШ РЕТЕДБЮЙ ЙОЖПТНБГЙЙ. еЭЕ ПДОХ УЙФХБГЙА РПМХЮБЕН, ЛПЗДБ ЧЕУ ДХЗЙ <u, v> ТБЧЕО ЧЕТПСФОПУФЙ p(u, v) ВЕЪБЧБТЙКОПК ТБВПФЩ ЛБОБМБ РЕТЕДБЮЙ ЙОЖПТНБГЙЙ. еУМЙ РТЕДРПМПЦЙФШ, ЮФП БЧБТЙЙ ЛБОБМПЧ ОЕ ЪБЧЙУСФ ДТХЗ ПФ ДТХЗБ, ФП ЧЕТПСФОПУФШ ЙУРТБЧОПУФЙ РХФЙ РЕТЕДБЮЙ ЙОЖПТНБГЙЙ ТБЧОБ РТПЙЪЧЕДЕОЙА ЧЕТПСФОПУФЕК УПУФБЧМСАЭЙИ ЕЗП ДХЗ. ъБДБЮХ ОБИПЦДЕОЙС ОБЙВПМЕЕ ОБДЕЦОПЗП РХФЙ МЕЗЛП НПЦОП УЧЕУФЙ Л ЪБДБЮЕ П ЛТБФЮБКЫЕН РХФЙ, ЪБНЕОСС ЧЕУБ p(u, v) ОБ a (u, v) = - log p(u, v). уОБЮБМБ ТБУУНПФТЙН БМЗПТЙФНЩ ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ЧЕТЫЙОБНЙ, Б ОЕ УБНЙИ РХФЕК. пДОБЛП, ЪОБС ТБУУФПСОЙЕ, НЩ НПЦЕН РТЙ ХУМПЧЙЙ РПМПЦЙФЕМШОПК ДМЙОЩ ЧУЕИ ЛПОФХТПЧ МЕЗЛП ПРТЕДЕМЙФШ ЛТБФЮБКЫЙЕ РХФЙ. дМС ЬФПЗП ДПУФБФПЮОП ПФНЕФЙФШ, ЮФП ДМС РТПЙЪЧПМШОЩИ s, t п V (s № t) УХЭЕУФЧХЕФ ЧЕТЫЙОБ v, ФБЛБС ЮФП

d (s, t) = d (s, v) + a (v, t).

дЕКУФЧЙФЕМШОП, ФБЛЙН УЧПКУФЧПН ПВМБДБЕФ РТЕДРПУМЕДОСС ЧЕТЫЙОБ РТПЙЪЧПМШОПЗП ЛТБФЮБКЫЕЗП РХФЙ ЙЪ s Ч t. дБМЕЕ НЩ НПЦЕН ОБКФЙ ЧЕТЫЙОХ u, ДМС ЛПФПТПК d (s, v) = d (s, u) + a (u, v), Й Ф.Д. йЪ РПМПЦЙФЕМШОПУФЙ ДМЙОЩ ЧУЕИ ЛПОФХТПЧ МЕЗЛП УМЕДХЕФ, ЮФП УПЪДБООБС ФБЛЙН ПВТБЪПН РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ t, v, u, ... ОЕ УПЦЕТЦЙФ РПЧФПТЕОЙК Й ПЛБОЮЙЧБЕФУС ЧЕТЫЙОПК s. пЮЕЧЙДОП, ЮФП ПОБ ПРТЕДЕМСЕФ (РТЙ ПВТБЭЕОЙЙ ПЮЕТЕДОПУФЙ) ЛТБФЮБКЫЙК РХФШ ЙЪ s Ч t. фБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ РПМХЮБЕН УМЕДХАЭЙК БМЗПТЙФН:

бМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС ЛТБФЮБКЫЕЗП РХФЙ

дБООЩЕ: тБУУФПСОЙС D[v] ПФ ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ s ДП ЧУЕИ ПУФБМШОЩИ ЧЕТЫЙО v п V, ЖЙЛУЙТПЧБООБС ЧЕТЫЙОБ t, НБФТЙГБ ЧЕУПЧ ТЕВЕТ, A[u, v], u, v пV. тЕЪХМШФБФЩ: уфел УПДЕТЦЙФ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЧЕТЫЙО, ПРТЕДЕМСАЭХА ЛТБФЮБКЫЙК РХФШ ЙЪ s Ч t. begin CTEK := ц ; CTEK ш t; v:= t; while v № s do begin u := ЧЕТЫЙОБ, ДМС ЛПФПТПК D[v] = D[u] + A[u, v]; CTEK ш u; v:= u end end.

  рХУФШ <V, E> -ПТЙЕОФЙТПЧБООЩК ЗТБЖ, | V|  = n, | E|  = m. еУМЙ ЧЩВПТ ЧЕТЫЙОЩ u РТПЙУИПДЙФ Ч ТЕЪХМШФБФЕ РТПУНПФТБ ЧУЕИ ЧЕТЫЙО, ФП УМПЦОПУФШ ОБЫЕЗП БМЗПТЙФНБ - O(n2). еУМЙ НЩ РТПУНБФТЙЧБЕН ФПМШЛП УРЙУПЛ ртеды[v], УПДЕТЦБЭЙК ЧУЕ ЧЕТЫЙОЩ u, ФБЛЙЕ ЮФП u (r) v, ФП Ч ЬФПН УМХЮБЕ УМПЦОПУФШ ВХДЕФ O(m). пФНЕФЙН, ЮФП Ч УМХЮБЕ РПМПЦЙФЕМШОЩИ ЧЕУПЧ ТЕВЕТ ЪБДБЮБ П ЛТБФЮБКЫЕН РХФЙ Ч ОЕПТЙЕОФЙТПЧБООПН ЗТБЖЕ МЕЗЛП УЧПДЙФУС Л БОБМПЗЙЮОПК ЪБДБЮЕ ДМС ОЕЛПФПТПЗП ПТЙЕОФЙТПЧБООПЗП ЗТБЖБ. у ЬФПК ГЕМША ДПУФБФПЮОП ЪБНЕОЙФШ ЛБЦДПЕ ТЕВТП {u, v}ДЧХНС ДХЗБНЙ В u, vУЙ Вv, uУ , ЛБЦДБС У ФБЛЙН ЦЕ ЧЕУПН, ЮФП Й {u, v}. пДОБЛП Ч УМХЮБЕ ОЕРПМПЦЙФЕМШОЩИ ЧЕУПЧ ЬФП РТЙЧПДЙФ Л ЧПЪОЙЛОПЧЕОЙА ЛПОФХТПЧ У ОЕРПМПЦЙФЕМШОПК ДМЙОПК. дБМЕЕ ВХДЕН ЧУЕЗДБ РТЕДРПМБЗБФШ, ЮФП G = < V, E>СЧМСЕФУС ПТЙЕОФЙТПЧБООЩН ЗТБЖПН, |V|  = n, |E|  = m. ч ГЕМСИ ХРТПЭЕОЙС ЙЪМПЦЕОЙС Й ЙЪВЕЦБОЙС ЧЩТПЦДЕООЩИ УМХЮБЕЧ РТЙ ПГЕОЛЕ УМПЦОПУФЙ БМЗПТЙФНПЧ ВХДЕН ЙУЛМАЮБФШ УЙФХБГЙЙ, РТЙ ЛПФПТЩИ « ВПМШЫЙОУФЧП» ЧЕТЫЙО ЙЪПМЙТПЧБООЩЕ. вХДЕН ФБЛЦЕ РТЕДРПМБЗБФШ, ЮФП ЧЕУБ ДХЗ ЪБРПНЙОБАФУС Ч НБУУЙЧЕ A[u, v], u, vп V (A[u, v] УПДЕТЦЙФ ЧЕУ a (u, v)).

лТБФЮБКЫЙЕ РХФЙ ПФ ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ

вПМШЫЙОУФЧП ЙЪЧЕУФОЩИ БМЗПТЙФНПЧ ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ДЧХНС ЖЙЛУЙТПЧБООЩНЙ ЧЕТЫЙОБНЙ s Й t ПРЙТБЕФУС ОБ ДЕКУФЧЙС, ЛПФПТЩЕ Ч ПВЭЙИ ЮЕТФБИ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: РТЙ ДБООПК НБФТЙГЕ ЧЕУПЧ ДХЗ A[u, v], u, v п V, ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЛПФПТЩЕ ЧЕТИОЙЕ ПЗТБОЙЮЕОЙС D[v] ОБ ТБУУФПСОЙС ПФ s ДП ЧУЕИ ЧЕТЫЙО v п V. лБЦДЩК ТБЪ, ЛПЗДБ НЩ ХУФБОБЧМЙЧБЕН, ЮФП

D[u] + A[u, v] < D[v],

ПГЕОЛХ D[v] ХМХЮЫБЕН: D[v] = D[u] + A[u, v]. рТПГЕУУ РТЕТЩЧБЕФУС, ЛПЗДБ ДБМШОЕКЫЕЕ ХМХЮЫЕОЙЕ ОЙ ПДОПЗП ЙЪ ПЗТБОЙЮЕОЙК ОЕЧПЪНПЦОП. мЕЗЛП НПЦОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ЪОБЮЕОЙЕ ЛБЦДПК ЙЪ РЕТЕНЕООЩИ D[v] ТБЧОП ФПЗДБ d (s, v) - ТБУУФПСОЙА ПФ s ДП v. ъБНЕФЙН, ЮФП ДМС ФПЗП ЮФПВЩ ПРТЕДЕМЙФШ ТБУУФПСОЙЕ ПФ s ДП t, НЩ ЧЩЮЙУМСЕН ЪДЕУШ ТБУУФПСОЙС ПФ s ДП ЧУЕИ ЧЕТЫЙО ЗТБЖБ. оЕ ЙЪЧЕУФЕО ОЙ ПДЙО БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ДЧХНС ЖЙЛУЙТПЧБООЩНЙ ЧЕТЫЙОБНЙ, ЛПФПТЩК ВЩМ ВЩ УХЭЕУФЧЕООЩН ПВТБЪПН ВПМЕЕ ЬЖЖЕЛФЙЧОЩН, ОЕЦЕМЙ ЙЪЧЕУФОЩЕ БМЗПТЙФНЩ ПРТЕДЕМЕОЙС ТБУУФПСОЙС ПФ ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ ДП ЧУЕИ ПУФБМШОЩИ. пРЙУБООБС ПВЭБС УИЕНБ СЧМСЕФУС ОЕРПМОПК, ФБЛ ЛБЛ ПОБ ОЕ ПРТЕДЕМСЕФ ПЮЕТЕДОПУФЙ, Ч ЛПФПТПК ЧЩВЙТБАФУС ЧЕТЫЙОЩ u Й v ДМС РТПЧЕТЛЙ ХУМПЧЙС НЙОЙНБМШОПУФЙ ТБУУФПСОЙС. ьФБ ПЮЕТЕДОПУФЙ, ЛБЛ ВХДЕФ РПЛБЪБОП ОЙЦЕ, ПЮЕОШ УЙМШОП ЧМЙСЕФ ОБ ЬЖЖЕЛФЙЧОПУФШ БМЗПТЙФНБ. пРЙЫЕН ФЕРЕТШ ВПМЕЕ ДЕФБМШОП НЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙС ПФ ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ, ОБЪЩЧБЕНПК ЙУФПЮОЙЛПН, ЕЗП ЧУЕЗДБ ВХДЕН ПВПЪОБЮБФШ ЮЕТЕЪ s, ДП ЧУЕИ ПУФБМШОЩИ ЧЕТЫЙО ЗТБЖБ. уОБЮБМБ РТЕДУФБЧЙН БМЗПТЙФН ДМС ПВЭЕЗП УМХЮБС, Ч ЛПФПТПН РТЕДРПМБЗБЕФУС ФПМШЛП ПФУХФУФЧЙЕ ЛПОФХТПЧ У ПФТЙГБФЕМШОПК ДМЙОПК. у ЬФЙ БМЗПТЙФНПН ПВЩЮОП УЧСЪЩЧБАФ ЙНЕОБ м.т. жПТДБ Й т.е. вЕММНБОБ.

бМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙС ПФ ЙУФПЮОЙЛБ ДП ЧУЕИ ЧЕТЫЙО - НЕФПД жПТДБ - вЕММНБОБ

дБООЩЕ: пТЙЕОФЙТПЧБООЩК ЗТБЖ <V, E> У n ЧЕТЫЙОБНЙ У ЧЩДЕМЕООЩН ЙУФПЮОЙЛПН s п V, НБФТЙГБ ДХЗ A[u, v], u, v пV (ЗТБЖ ОЕ УПДЕТЦЙФ ЛПОФХТПЧ ПФТЙГБФЕМШОПК ДМЙОЩ). тЕЪХМШФБФЩ: тБУУФПСОЙС ПФ ЙУФПЮОЙЛБ ДП ЧУЕИ ЧЕТЫЙО ЗТБЖБ: D[v]=d(s, v), vп V. 1 begin 2 for v п V do D [v] := A[s, v]; D [s]:= 0; 3 for k  := 1 to n - 2 do 4 for v п V \ {s} do 5 for u п V do D [v] := min(D[v], D[u] + A [u, v]) 6 end

  дПЛБЦЕН РТБЧЙМШОПУФШ ЬФПЗП БМЗПТЙФНБ. дМС ЬФПЗП ПВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ d(m)(v) ДМЙОХ ЛТБФЮБКЫЕЗП ЙЪ РХФЕК ЙЪ s Ч v, УПДЕТЦБЭЙИ ОЕ ВПМЕЕ m ДХЗ (d(m)(v) = Ґ , ЕУМЙ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ ОЙ ПДОПЗП ФБЛПЗП РХФЙ). фПЗДБ ЙНЕЕН d(m+1)(v) = min{d(m)(u) + a[u, v]: u п V}, v п V. (1) ч УБНПН ДЕМЕ, ДМС ЛБЦДПЗП uп V ПЮЕЧЙДОП ЙНЕЕН d(m+1)(v) Јd(m)(u) + a[u, v], РТЙЮЕН ТБЧЕОУФЧП РПСЧМСЕФУС, ЛПЗДБ u СЧМСЕФУС РТЕДРПУМЕДОЕК ЧЕТЫЙОПК РТПЙЪЧПМШОПЗП ЛТБФЮБКЫЕЗП РХФЙ ЙЪ s Ч v. рПЛБЦЕН ФЕРЕТШ, ЮФП ЕУМЙ РТЙ ЧИПДЕ Ч ПЮЕТЕДОХА ЙФЕТБГЙА ГЙЛМБ 3 d (s, v) Ј D[v] Ј d(m)(v) ДМС ЧУЕИ v п V, (2) ФП РП ПЛПОЮБОЙЙ ЬФПК ЙФЕТБГЙЙ d (s, v) Ј D[v] Ј d(m+1)(v) ДМС ЧУЕИ v п V. (3) дЕКУФЧЙФЕМШОП, РТЕДРПМБЗБС ЧЩРПМОЕОЙЕ ХУМПЧЙС (2) Й БОБМЙЪЙТХС ДЕКУФЧЙЕ ПРЕТБФПТБ Ч УФТПЛЕ 5, НЩ ЧЙДЙН, ЮФП РП ПЛПОЮБОЙЙ ЙФЕТБГЙЙ ГЙЛМБ 3 ЙНЕЕН d (s, v) Ј D[v] Ј min{d(m)(u) + a[u, v]: u п V},

ЮФП, РТЙОЙНБС ЧП ЧОЙНБОЙЕ ТБЧЕОУФЧП (1) ДБЕФ ХУМПЧЙЕ (3). пФНЕФЙН, ЮФП РТЙ ЧИПДЕ Ч ГЙЛМ 3 ЙНЕЕН D[v] = d 1 (v), v п V, УМЕДПЧБФЕМШОП, РПУМЕ ЧЩРПМОЕОЙС n - 2 ЙФЕТБГЙК ЬФПЗП ГЙЛМБ ВХДХФ ЧЩРПМОСФШУС ОЕТБЧЕОУФЧБ d (s, v) Ј D[v] Јd(n-1)(v), v п V. фЕРЕТШ ДПУФБФПЮОП РПЛБЪБФШ, ЮФП d(n-1)(v) = d (s, v). ьФП УРТБЧЕДМЙЧП, РПУЛПМШЛХ ЛБЦДЩК РХФШ ВПМЕЕ ЮЕН У n - 1 ДХЗБНЙ УПДЕТЦЙФ ЛПОФХТ, ХУФТБОЕОЙЕ ЛПФПТПЗП ОЕ ХЧЕМЙЮЙЧБЕФ ДМЙОЩ РХФЙ (ЧЕДШ НЩ РТЕДРПМБЗБЕН ПФУХФУФЧЙЕ ЛПОФХТПЧ ПФТЙГБФЕМШОПК ДМЙОЩ). фЕН УБНЩН ЪБЛПОЮЕОП ДПЛБЪБФЕМШУФЧП ЛПТТЕЛФОПУФЙ БМЗПТЙФНБ. пЮЕЧЙДОП, ЮФП ЧТЕНЕООБС УМПЦОПУФШ БМЗПТЙФНБ ЕУФШ O(n3). нЩ НПЦЕН, ЛПОЕЮОП, ЪБЛПОЮЙФШ ЧЩЮЙУМЕОЙС, ЛПЗДБ ЧЩРПМОЕОЙЕ ГЙЛМБ 4 ОЕ ЧЩЪЩЧБЕФ ЙЪНЕОЕОЙС ОЙ ПДОПК ЙЪ РЕТЕНЕООЩИ D[v], v п V. ьФП НПЦЕФ ОБУФХРЙФШ ДМС k < n - 2, ПДОБЛП ФБЛБС НПДЙЖЙЛБГЙС БМЗПТЙФНБ ОЕ ЙЪНЕОСЕФ УХЭЕУФЧЕООЩН ПВТБЪПН ЕЗП УМПЦОПУФЙ. дМС ТЕДЛЙИ ЗТБЖПЧ (m << n2) ХДПВОЕЕ РТЕДУФБЧМСФШ ЗТБЖ УРЙУЛБНЙ ЙОГЙДЕОФОПУФЙ ртеды[v], v п V. ъБНЕОСС УФТПЛХ 5 ОБ for u п ртеды[v] do D [v] :=min(D[v], D[u] + A [u, v]), РПМХЮБЕН БМЗПТЙФН УП УМПЦОПУФША O(nm). тБВПФБ БМЗПТЙФНБ жПТДБ - вЕММНБОБ РТПЙММАУФТЙТПЧБОБ ОБ УМЕДХАЭЕН ТЙУХОЛЕ (V = {1, ..., 5}, ЧЕУБ ДХЗ ДБОЩ ЮЙУМБНЙ Ч УЛПВЛБИ, ГЙЛМЩ 4 Й 5 ЧЩРПМОСАФУС Ч РПТСДЛЕ ЧПЪТБУФБОЙС ОПНЕТПЧ ЧЕТЫЙО).

  k D[1] D[2] D[3] D[4] D[5]   0 1 Ґ Ґ 3 1 0 1 4 4 -1 2 0 1 4 3 -1 3 0 1 4 3 -1

  уМХЮБК ОЕПФТЙГБФЕМШОЩИ ЧЕУПЧ - БМЗПТЙФН дЕКЛУФТЩ

йЪЧЕУФОЩ ВПМЕЕ ЬЖЖЕЛФЙЧОЩЕ БМЗПТЙФНЩ ДМС ДЧХИ ЧБЦОЩИ УМХЮБЕЧ, Б ЙНЕООП: ЛПЗДБ ЧЕУБ ЧУЕИ ДХЗ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩ ЙМЙ ЛПЗДБ ЗТБЖ ВЕУЛПОФХТОЩК. уОБЮБМБ ПРЙЫЕН БМЗПТЙФН ДМС РЕТЧПЗП УМХЮБС - БМЗПТЙФН дЕКЛУФТЩ.

  бМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙС ПФ ЙУФПЮОЙЛБ ДП ЧУЕИ ПУФБМШОЩИ ЧЕТЫЙО Ч ЗТБЖЕ У ОЕПФТЙГБФЕМШОЩНЙ ЧЕУБНЙ ДХЗ - НЕФПД дЕКЛУФТЩ дБООЩЕ: пТЙЕОФЙТПЧБООЩК ЗТБЖ ВV, EУ У ЧЩДЕМЕООЩН ЙУФПЮОЙЛПН s п V, НБФТЙГБ ЧЕУПЧ ДХЗ A [u, v], u, v п V (ЧУЕ ЧЕУБ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩ). тЕЪХМШФБФЩ: тБУУФПСОЙС ПФ ЙУФПЮОЙЛБ ДП ЧУЕИ ЧЕТЫЙО ЗТБЖБ D[v] = d(s, v), vп V. 1 begin 2 for v п V do D [v] := A[s, v]; D [s]:= 0; 3 T := V \ {s}; 4 while T № цdo 5 begin 6 u := РТПЙЪЧПМШОБС ЧЕТЫЙОБ r п T, ФБЛБС ЮФП D[r] = min(D[p]: p п T}; 7 T := T \ {u}; 8 for v п T do D [v] := min(D[v], D[u] + A [u, v]) 9 end 10 end

  юФПВЩ РПОСФШ ДЕКУФЧЙЕ БМЗПТЙФНБ, РПЛБЦЕН, ЮФП УМЕДХАЭЕЕ ХУМПЧЙЕ СЧМСЕФУС ЙОЧБТЙБОФПН ГЙЛМБ 4: ДМС ЛБЦДПК v п V \ T D[v] = d(s, v), ДМС ЛБЦДПК v пT D[v] = ДМЙОЕ ЛТБФЮБКЫЕЗП ЙЪ ФЕИ РХФЕК ЙЪ s Ч v, ДМС ЛПФПТЩИ РТЕДРПУМЕДОСС ЧЕТЫЙОБ РТЙОБДМЕЦЙФ НОПЦЕУФЧХ V \ T. (4) ч УБНПН ДЕМЕ, Ч УФТПЛЕ 6 НЩ ОБИПДЙН ЧЕТЫЙОХ u п T, ФБЛХА ЮФП ЪОБЮЕОЙЕ D[u]  СЧМСЕФУС НЙОЙНБМШОЩН (ЙЪ ЧУЕИ) ЪОБЮЕОЙЕН D[t], ДМС t п T. рПЛБЦЕН, ЮФП D[u] = d(s, u). ьФП ЙНЕООП ФБЛ, РПФПНХ ЮФП ЕУМЙ ЛТБФЮБКЫЙК РХФШ ЙЪ s Ч u ЙНЕЕФ ДМЙОХ НЕОШЫЕ D[u], ФП Ч УЙМХ ЧФПТПК ЮБУФЙ ХУМПЧЙС (4) ЕЗП РТЕДРПУМЕДОСС ЧЕТЫЙОБ РТЙОБДМЕЦЙФ НОПЦЕУФЧХ T. рХУФШ t ВХДЕФ РЕТЧПК ЧЕТЫЙОПК РХФЙ, РТЙОБДМЕЦБЭЕК НОПЦЕУФЧХ T. оБЮБМШОЩК ПФТЕЪПЛ РХФЙ ЙЪ s Ч t УПУФБЧМСЕФ ЛТБФЮБКЫЙК РХФШ ЙЪ s Ч t, РТЙЮЕН ЕЗП РТЕДРПУМЕДОСС ЧЕТЫЙОБ ОЕ РТЙОБДМЕЦЙФ НОПЦЕУФЧХ T. рП ЧФПТПК ЮБУФЙ ХУМПЧЙС (4) ЙНЕЕН D[t] = d(s, t). йУРПМШЪХС РТЕДРПМПЦЕОЙЕ П ОЕПФТЙГБФЕМШОПУФЙ ЧЕУПЧ, РПМХЮБЕН

D[t] = d(s, t) Јd(s, u) < D[u]

ЧПРТЕЛЙ РТЙОГЙРХ, РП ЛПФПТПНХ ВЩМБ ЧЩВТБОБ ЧЕТЫЙОБ u. фБЛЙН ПВТБЪПН, D[u] = d(s, u) Й НЩ НПЦЕН Ч УФТПЛЕ 7 ХДБМЙФШ u ЙЪ НОПЦЕУФЧБ T , ОЕ ОБТХЫБС РЕТЧПК ЮБУФЙ ХУМПЧЙС (4). юФПВЩ ПВЕУРЕЮЙФШ ЧЩРПМОЕОЙЕ ФБЛЦЕ Й ЧФПТПК ЮБУФЙ ЬФПЗП ХУМПЧЙС, УМЕДХЕФ ЕЭЕ РТПЧЕТЙФШ РХФЙ ЙЪ ЙЪ s Ч v п T, РТЕДРПУМЕДОСС ЧЕТЫЙОБ Ч ЛПФПТЩИ ЕУФШ u, Й ЧЩРПМОЙФШ БЛФХБМЙЪБГЙА РЕТЕНЕООЩИ D [v], v п T. йНЕООП ЬФП ЧЩРПМОСЕФ ГЙЛМ 8. пЮЕЧЙДОП, ЮФП ХУМПЧЙЕ (4) ЧЩРПМОСЕФУС РТЙ ЧИПДЕ Ч ГЙЛМ 4. рП ПЛПОЮБОЙЙ ДЕКУФЧЙС БМЗПТЙФНБ T = ц , Б УМЕДПЧБФЕМШОП, УПЗМБУОП ХУМПЧЙА (4), D[v] = d(s, v), v п V. пГЕОЙН УМПЦОПУФШ БМЗПТЙФНБ дЕКЛУФТЩ. гЙЛМ 4 ЧЩРПМОСЕФУС n - 1 ТБЪ, РТЙЮЕН ЛБЦДПЕ ЕЗП ЧЩРПМОЕОЙЕ ФТЕВХЕФ O(n) ЫБЗПЧ: O(n) ЫБЗПЧ ДМС ОБИПЦДЕОЙС ЧЕТЫЙОЩ u Ч УФТПЛЕ 6 (РТЕДРПМБЗБЕН, ЮФП НОПЦЕУФЧП T РТЕДУФБЧМЕОП УРЙУЛПН) Й O(n) ЫБЗПЧ ДМС ЧЩРПМОЕОЙС ГЙЛМБ 8. фБЛЙН ПВТБЪПН, УМПЦОПУФШ БМЗПТЙФНБ ЕУФШ O(n2). фЭБФЕМШОП РПДВЙТБС УФТХЛФХТЩ ДБООЩИ, НПЦОП РПМХЮЙФШ ЧБТЙБОФ БМЗПТЙФНБ УП УМПЦОПУФША O(m log n). дМС ЬФПЗП НОПЦЕУФЧП T ОХЦОП РТЕДУФБЧЙФШ ВЙОБТОЩН ДЕТЕЧПН У ЧЩУПФПК O(log n) Й У ФБЛЙН УЧПКУФЧПН, ЮФП ДМС РТПЙЪЧПМШОЩИ ЕЗП ЧЕТЫЙО u Й v : ЕУМЙ u - УЩО v, ФП D[u] Ј D[v]

  чЕТЫЙОБ u, ДМС ЛПФПТПК ЪОБЮЕОЙЕ D[u]  НЙОЙНБМШОП, СЧМСЕФУС ФПЗДБ ЛПТОЕН ДЕТЕЧБ. ьФПФ ЛПТЕОШ НПЦОП ХУФТБОЙФШ ЪБ O(log n) ЫБЗПЧ, УПИТБОСС УЧПКУФЧП ХНЕОШЫЕОЙС ЪОБЮЕОЙС D[j] ОБ ЛБЦДПН РХФЙ ДП ЛПТОС. дПУФБФПЮОП УНЕУФЙФШ ОБ НЕУФП ЛПТОС ЕЗП УЩОБ s У ВПМШЫЙН (ЙМЙ ТБЧОЩН) ЪОБЮЕОЙЕН D[j], ЪБФЕН ОБ ПУЧПВПДЙЧЫЕЕУС НЕУФП РЕТЕДЧЙОХФШ УЩОБ ЧЕТЫЙОЩ s У ВПМШЫЙН ЪОБЮЕОЙЕН D[j] Й Ф.Д. еУМЙ ЗТБЖ РТЕДУФБЧМЕО УРЙУЛБНЙ ъбрйуш[u], u п V, ФП УФТПЛХ 8 НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ОБ for v п ъбрйуш [u] do if D[u] + A [u, v] < D[v] then begin D[v] :=  D[u] + A [u, v]; РЕТЕДЧЙОХФШ ЧЕТЫЙОХ Ч ДЕТЕЧЕ Ч ОБРТБЧМЕОЙЙ ЛПТОС ФБЛ, ЮФПВЩ УПИТБОЙФШ ХУМПЧЙЕ ЕУМЙ u - УЩО v, ФП D[u] Ј D[v] end

  еУМЙ РТЕДРПМПЦЙФШ УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ ФБВМЙГЩ ХЛБЪБФЕМЕК ОБ ЧЕТЫЙОЩ ОБЫЕЗП ДЕТЕЧБ, ФП РЕТЕДЧЙЦЕОЙЕ ЧЕТЫЙОЩ v, П ЛПФПТПК ЙДЕФ ТЕЮШ Ч ДБООПК ЮБУФЙ ТБЪДЕМБ, НПЦЕФ ВЩФШ ПУХЭЕУФЧМЕОП ЪБ O(log n) ЫБЗПЧ. дПУФБФПЮОП ЪБНЕОСФШ v РППЮЕТЕДОП ЧЕТЫЙОБНЙ, ОБИПДСЭЙНЙУС ОЕРПУТЕДУФЧЕООП ОБД ОЕК. ч БМЗПТЙФНЕ, НПДЙЖЙГЙТПЧБООПН ФБЛЙН УРПУПВПН, ЛБЦДБС ДХЗБ ЗТБЖБ БОБМЙЪЙТХЕФУС Ч ФПЮОПУФЙ ПДЙО ТБЪ, РТЙЮЕН У ЬФЙН УЧСЪБОП O(log n) ЫБЗПЧ ОБ РЕТЕДЧЙЦЕОЙЕ УППФЧЕФУФЧХАЭЕК ЧЕТЫЙОЩ Ч ДЕТЕЧЕ, РТЕДУФБЧМСАЭЕН НОПЦЕУФЧП T. ьФП ДБЕФ Ч УХННЕ O(m log n) ЫБЗПЧ. уАДБ ОХЦОП ДПВБЧЙФШ O(n log n) ЫБЗПЧ, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС РПУФТПЕОЙС ОБЫЕЗП ДЕТЕЧБ Й ДМС ХУФТБОЕОЙС n - 1 ТБЪ ЙЪ ОЕЗП ЛПТОС. пВЭБС УМПЦОПУФШ БМЗПТЙФНБ ЕУФШ O(m log n). оЕЙЪЧЕУФОП, УХЭЕУФЧХЕФ МЙ БМЗПТЙФН УМПЦОПУФЙ O(m) ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙС ПФ ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ ДП ЧУЕИ ПУФБМШОЩИ ЧЕТЫЙО ЗТБЖБ У ОЕПФТЙГБФЕМШОЩНЙ ЧЕУБНЙ ДХЗ. нПЦОП РПЛБЪБФШ, ЮФП УХЭЕУФЧХЕФ ЛПОУФБОФБ C, ФБЛБС ЮФП ЬФБ ЪБДБЮБ ДМС РТПЙЪЧПМШОПЗП k > 0 НПЦЕФ ВЩФШ ТЕЫЕОБ ЪБ ЧТЕНС Ck(m + n1+1/k). тБВПФБ БМЗПТЙФНБ дЕКЛУФТЩ РТПЙММАУФТЙТПЧБОБ ОБ ТЙУХОЛЕ (V = {1, ..., 6}, ЧЕУБ ДХЗ ДБОЩ Ч УЛПВЛБИ, ЪОБЮЕОЙС D[v], v п T, РТЙЧЕДЕОЩ УП ЪЧЕЪДПЮЛПК (*), НЙОЙНБМШОЩЕ ЪОБЮЕОЙС - У ДЧХНС ЪЧЕЪДПЮЛБНЙ.

  D[1] D[2] D[3] D[4] D[5] D[6] 0 1* Ґ * Ґ * Ґ * Ґ * 0 1 6* 3* Ґ * 8* 0 1 4** 3 7* 8* 0 1 4 3 7* 5** 0 1 4 3 6** 5

  ** = min

рХФЙ Ч ВЕУЛПОФХТОПН ЗТБЖЕ

чФПТПК УМХЮБК, ДМС ЛПФПТПЗП ЙЪЧЕУФЕО БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙК ПФ ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ ЪБ ЧТЕНС O(n2) - УМХЮБК, ЛПЗДБ ЗТБЖ СЧМСЕФУС ВЕУЛПОФХТОЩН (ЧЕУБ ДХЗ НПЗХФ ВЩФШ РТПЙЪЧПМШОЩНЙ). уОБЮБМБ ДПЛБЦЕН УМЕДХАЭХА МЕННХ. мЕННБ. ч РТПЙЪЧПМШОПН ВЕУЛПОФХТОПН ЗТБЖЕ ЧЕТЫЙОЩ НПЦОП РЕТЕОХНЕТПЧБФШ ФБЛ, ЮФП ЛБЦДБС ДХЗБ ВХДЕФ ЙНЕФШ ЧЙДВ vi, vjУ, ЗДЕ i < j. рТЙНЕТ ФБЛПК ОХНЕТБГЙЙ РТЙЧЕДЕО ОБ ТЙУХОЛЕ. дМС ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ РТЕДМПЦЙН БМЗПТЙФН, ЛПФПТЩК ЛПОУФТХЙТХЕФ ФБЛХА ОХНЕТБГЙА.

  бМЗПТЙФН ОХНЕТБГЙЙ ЧЕТЫЙО ВЕУЛПОФХТОПЗП ЗТБЖБ дБООЩЕ: пТЙЕОФЙТПЧБООЩК ВЕУЛПОФХТОЩК ЗТБЖ <V, E> , ПРТЕДЕМСЕНЩК УРЙУЛБНЙ ЙОГЙДЕОФОПУФЙ ъбрйуш [v], v п V. тЕЪХМШФБФЩ: дМС ЛБЦДПК ЧЕТЫЙОЩ v п V ОПНЕТ NR[v], ФБЛПК ЮФП ДМС РТПЙЪЧПМШОПК ДХЗЙ В u, vУ п E ЧЩРПМОСЕФУС ОЕТБЧЕОУФЧП NR[u] < NR[v].

  1 begin 2 for v п V do юъби [v] := 0; { юъби [v] = ЮЙУМП ДХЗ, ЪБИПДСЭЙИ Ч v } 3 for u п V do 4 for v п ъбрйуш [u] do юъби [v] := юъби [v] + 1; 5 уфел := ц ; 6 for v п V do 7 if юъби [v]= 0 then уфелш v; 8 num := 0; 9 while уфел №ц do 10 begin u ш уфел; 11 num := num + 1; NR[u] := num; 12 for v п ъбрйуш [u] do 13 begin юъби [v]:= юъби [v] -1; 14 if юъби [v]= 0 then уфелш v; 15 end 16 end 17 end

  бМЗПТЙФН ПУОПЧЩЧБЕФУС ОБ УМЕДХАЭЕН РТПУФПН ЖБЛФЕ: Ч РТПЙЪЧПМШОПН (ОЕРХУФПН) ВЕУЛПОФХТОПН ЗТБЖЕ УХЭЕУФЧХЕФ ЧЕТЫЙОБ, Ч ЛПФПТХА ОЕ ЪБИПДЙФ ОЙ ПДОБ ДХЗБ. юФПВЩ ХВЕДЙФШУС Ч ЬФПН, ЧЩВЕТЕН РТПЙЪЧПМШОХА ЧЕТЫЙОХ w1 ЗТБЖБ, ЪБФЕН ОЕЛПФПТХА ЧЕТЫЙОХ w2, ФБЛХА ЮФП w2 (r) w1, ЪБФЕН ЧЕТЫЙОХ w3, ФБЛХА ЮФП w3 (r) w2, Й Ф.Д. юЕТЕЪ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП ЫБЗПЧ НЩ ДПМЦОЩ ДПКФЙ ДП ОЕЛПФПТПК ЧЕТЫЙОЩ wi, Ч ЛПФПТХА ОЕ ЪБИПДЙФ ОЙ ПДОБ ДХЗБ, ЙВП Ч УЙМХ ВЕУЛПОФХТОПУФЙ ОЙ ПДОБ ЧЕТЫЙОБ ОЕ НПЦЕФ РПЧФПТСФШУС Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ w1, w2, w3 , ... . ч ОБЫЕН БМЗПТЙФНЕ ЧЕТЫЙОЩ, Ч ЛПФПТЩЕ ОЕ ЪБИПДЙФ ОЙ ПДОБ ДХЗБ, ОБЛБРМЙЧБАФУС Ч УФЕЛЕ. ч УФТПЛЕ 10 ЧЩВЙТБЕФУС ЧЕТИОЙК ЬМЕНЕОФ УФЕЛБ u (ЬФП НПЗ ВЩ ВЩФШ РТПЙЪЧПМШОЩК ЬМЕНЕОФ УФЕЛБ), Й ЬФПК ЧЕТЫЙОЕ РТЙУЧБЙЧБЕФУС УБНЩК НБМЕОШЛЙК ЙЪ ЕЭЕ ОЕЙУРПМШЪПЧБООЩИ ОПНЕТПЧ. фБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ ЗБТБОФЙТХЕН ФП, ЮФП ЧУЕ ДХЗЙ, ЧЩИПДСЭЙЕ ЙЪ ЬФПК ЧЕТЫЙОЩ, ЧЕДХФ Л ЧЕТЫЙОЕ У ВПМШЫЙНЙ ОПНЕТБНЙ. ъБФЕН ЧЕТЫЙОБ u ЧНЕУФЕ У ЧЩИПДСЭЙНЙ ЙЪ ОЕЕ ДХЗБНЙ ХДБМСЕФУС ЙЪ ЗТБЖБ. ьФП РТЙЧПДЙФ Л ХНЕОШЫЕОЙА ОБ ЕДЙОЙГХ ЮЙУМБ ДХЗ, ЪБИПДСЭЙИ Ч ЛБЦДХА ЧЕТЫЙОХ v, ФБЛХА ЮФП u(r)  v ; ЬФП ЮЙУМП ЪБРПНЙОБЕФУС Ч юъби [v]. еУМЙ ДМС ЛБЛПК-ОЙВХДШ ЙЪ ЧЕТЫЙО v ЬФП ЮЙУМП УЧПДЙФУС Л ОХМА, ФП v РПНЕЭБЕФУС Ч УФЕЛ. ч УЙМХ ВЕУЛПОФХТОПУФЙ ЗТБЖБ Й ОБЫЙИ РТЕДЩДХЭЙИ ЪБНЕЮБОЙК РПМОПЕ ПРХУФПЫЕОЙЕ УФЕЛБ, ЧЩЪЩЧБАЭЕЕ ПЛПОЮБОЙЕ ЧЩРПМОЕОЙС БМЗПТЙФНБ (УН. ГЙЛМ 9), ОБУФХРБЕФ ОЕ ТБОШЫЕ, ЮЕН РПУМЕ РТЙУЧПЕОЙС ОПНЕТПЧ ЧУЕН ЧЕТЫЙОБН ЗТБЖБ. мЕЗЛП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП ЛБЦДБС ДХЗБ БОБМЙЪЙТХЕФУС БМЗПТЙФНПН ПДЙО ТБЪ Ч УФТПЛЕ 4 Й ПДЙО ТБЪ Ч УФТПЛЕ 12. фБЛЙН ПВТБЪПН, УМПЦОПУФШ БМЗПТЙФНБ ЕУФШ O(m) (ПУФБЕФУС Ч УЙМЕ РТЕДРПМПЦЕОЙЕ m = W (n), Ч РТПФЙЧОПН УМХЮБЕ УМЕДПЧБМП ВЩ ОБРЙУБФШ O(m + n)). рТЙНЕЮБОЙЕ: рТЙ УТБЧОЕОЙЙ УЛПТПУФЙ ТПУФБ ДЧХИ ЖХОЛГЙК f(n) Й g(n) (c ОЕПФТЙГБФЕМШОЩНЙ ЪОБЮЕОЙСНЙ) НЩ, ЛБЛ ПВЩЮОП, ЙУРПМШЪХЕН УМЕДХАЭЙЕ ПВПЪОБЮЕОЙС: f(n) = O(g(n)) щ УХЭЕУФЧХАФ ЛПОУФБОФЩ у, N > 0, ФБЛЙЕ ЮФП f(n) Ј ую g(n) ДМС ЧУЕИ n і N f(n) = W (g(n)) щ УХЭЕУФЧХАФ ЛПОУФБОФЩ у, N > 0, ФБЛЙЕ ЮФП f(n) і ую g(n) ДМС ЧУЕИ n і N. фП ЕУФШ, Ч ЮБУФОПУФЙ, f(n) = W (g(n)) ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ g(n) = O(f(n)).

  уПЗМБУОП ЧЩЫЕЙЪМПЦЕООПНХ БМЗПТЙФНХ РТЙ ПРЙУБОЙЙ БМЗПТЙФНБ ОБИПЦДЕОЙС РХФЕК Ч ВЕУЛПОФХТОПН ЗТБЖЕ НЩ НПЦЕН РТЕДРПМПЦЙФШ, ЮФП ЛБЦДБС ДХЗБ ЙДЕФ ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ У НЕОШЫЙН ОПНЕТПН Ч ЧЕТЫЙОХ У ВПМШЫЙН ОПНЕТПН.

бМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙК ПФ ЙУФПЮОЙЛБ ДП ЧУЕИ ЧЕТЫЙО Ч ВЕУЛПОФХТОПН ЗТБЖЕ

дБООЩЕ: пТЙЕОФЙТПЧБООЩК ЗТБЖ <V, E> , ЗДЕ V = {v1, ... , vn}, Й ДМС РТПЙЪЧПМШОПК ДХЗЙ В vi, vjУ пE ЙНЕЕН i < j. ьФПФ ЗТБЖ ПРТЕДЕМЕО УРЙУЛБНЙ ЙОГЙДЕОФОПУФЙ ртеды[v], v п V. тЕЪХМШФБФЩ: тБУУФПСОЙС ПФ v1 ДП ЧУЕИ ЧЕТЫЙО ЗТБЖБ:

D[vi] = d(v1, vi), i = 1, ..., n.

1 begin 2 D[v1] := 0; 3 for j := 2 to n do D[vj] := Ґ ; 4 for j := 2 to n do 5 for vi п ртеды [vj] do D[vj] := min(D[vj]), D[vi] + A[vi, vj]) 6 end

  оЕФТХДОП ДПЛБЪБФШ ЙОДХЛГЙЕК РП j, ЮФП РПУМЕ ЧЩРПМОЕОЙС ГЙЛМБ 4 ДМС ОЕЛПФПТПЗП ЪОБЮЕОЙС j ЧЩРПМОСЕФУС ТБЧЕОУФЧП D[vi] = d(v1, vi), i = 1, ..., j. дПУФБФПЮОП ЧПУРПМШЪПЧБФШУС ФЕН ЖБЛФПН, ЮФП ЧУЕ РТПНЕЦХФПЮОЩЕ ЧЕТЫЙОЩ ЛТБФЮБКЫЕЗП РХФЙ ЙЪ v1 Ч vi ЙНЕАФ ОПНЕТБ НЕОШЫЕ j. уМПЦОПУФШ БМЗПТЙФНБ РПТСДЛБ O(m), ФБЛ ЛБЛ ЛБЦДБС ДХЗБ В vi, vjУ БОБМЙЪЙТХЕФУС Б УФТПЛЕ 5 Ч ФПЮОПУФЙ ПДЙО ТБЪ. пРЙУБООЩЕ БМЗПТЙФНЩ ОБИПДСФ РТЙНЕОЕОЙС, Ч ЮБУФОПУФЙ, Ч НЕФПДБИ ХРТБЧМЕОЙС ЧЩРПМОЕОЙЕН РТПЕЛФБ, ОБЪЩЧБЕНЩИ PERT (Project Evaluation and Review Technique) ЙМЙ CPM  (Critical Path Method). ьФЙ НЕФПДЩ ПУОПЧЩЧБАФУС ОБ РПУФТПЕОЙЙ ЗТБЖБ (УЕФЙ PERT ЙМЙ УЕФЙ CPM), ДХЗЙ ЛПФПТПЗП УППФЧЕФУФЧХАФ ОЕЛПФПТЩН ЬМЕНЕОФБТОЩН ЪБДБЮБН, УПУФБЧМСАЭЙН РТПЕЛФ, Б ЙИ ЧЕУБ ХЛБЪЩЧБАФ ОБ ЧТЕНС, ОЕПВИПДЙНПЕ ДМС ТЕЫЕОЙС ПФДЕМШОЩИ ЪБДБЮ. лТПНЕ ЬФПЗП, НЩ РТЕДРПМБЗБЕН, ЮФП ДМС РТПЙЪЧПМШОЩИ ДХЗ ЬФПЗП ЗТБЖБ В u, vУЙ Вv, tУ ЪБДБЮБ, ЙЪПВТБЦБЕНБС ДХЗПК В u, vУ, ДПМЦОБ ВЩФШ ЪБЛПОЮЕОБ РЕТЕД ОБЮБМПН ТЕЫЕОЙС ЪБДБЮЙ, ЙЪПВТБЦБЕНПК ДХЗПК Вv, tУ . мЕЗЛП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП ФБЛПК ЗТБЖ ДПМЦЕО ВЩФШ ВЕУЛПОФХТОЩН. оБЫЕК ЪБДБЮЕК СЧМСЕФУС ОБИПЦДЕОЙЕ УБНПЗП ДМЙООПЗП РХФЙ ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ s, УППФЧЕФУФЧХАЭЕК ОБЮБМХ РТПЕЛФБ, ДП ЧЕТЫЙОЩ t, УППФЧЕФУФЧХАЭЕК ЕЗП ПЛПОЮБОЙА. фБЛПК РХФШ ОБЪЩЧБЕФУС ЛТЙФЙЮЕУЛЙН РХФЕН. еЗП ДМЙОБ ПРТЕДЕМСЕФ ЧТЕНС, ОЕПВИПДЙНПЕ ДМС ТЕБМЙЪБГЙЙ ЧУЕЗП РТПЕЛФБ. пЮЕЧЙДОП, ЮФП ЪБДБЮБ УЧПДЙФУС Л ЪБДБЮЕ П ЛТБФЮБКЫЕН РХФЙ РХФЕН ЙЪНЕОЕОЙС ЪОБЛБ ЛБЦДПЗП ЧЕУБ a(u, v), ЗДЕ u (r)  v, ОБ ПВТБФОЩК.

лТБФЮБКЫЙЕ РХФЙ НЕЦДХ ЧУЕНЙ РБТБНЙ ЧЕТЫЙО, ФТБОЪЙФЙЧОПЕ ЪБНЩЛБОЙЕ ПФОПЫЕОЙС

пЮЕЧЙДОП, ЮФП ЪБДБЮХ ПРТЕДЕМЕОЙС ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ЧУЕНЙ РБТБНЙ ЧЕТЫЙО НПЦОП ТЕЫЙФШ, ЙУРПМШЪХС n ТБЪ (РППЮЕТЕДОП ДМС ЛБЦДПК ЧЕТЫЙОЩ) ПДЙО ЙЪ ТБОЕЕ ЙЪМПЦЕООЩИ НЕФПДПЧ ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙК ПФ ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ. фБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ РПМХЮБЕН БМЗПТЙФН УП УМПЦОПУФША O(n4) (РТЙ ЙУРПМШЪПЧБОЙЙ НЕФПДБ жПТДБ - вЕММНБОБ) ЙМЙ O(n3) ДМС ВЕУЛПОФХТОЩИ ЗТБЖПЧ ЙМЙ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩИ ЧЕУПЧ. пДОБЛП ПЛБЪЩЧБЕФУС, ЮФП Ч ПВЭЕН УМХЮБЕ n-ЛТБФОПЕ ЙУРПМШЪПЧБОЙЕ НЕФПДБ жПТДБ - вЕММНБОБ ОЕ СЧМСЕФУС ОБЙМХЮЫЙН НЕФПДПН. тБУУНПФТЙН ДЧБ ВПМЕЕ ЬЖЖЕЛФЙЧОЩИ НЕФПДБ. дМС ЬФПЗП ТБУУНПФТЙН ПТЙЕОФЙТПЧБООЩК ЗТБЖ G = < V, E>, ЗДЕ V = {v1, ..., vn}, Й РТЕДРПМПЦЙН, ЮФП A = [aij] ЕУФШ НБФТЙГБ ЧЕУПЧ (aij = a(vi, vj)). пВПЪОБЮЙЧ ЮЕТЕЪ dij(m) ДМЙОХ ЛТБФЮБКЫЕЗП РХФЙ ЙЪ vi  Ч vj, УПДЕТЦБЭЕЗП ОЕ ВПМЕЕ m ДХЗ, РПМХЮБЕН УМЕДХАЭЙЕ ПЮЕЧЙДОЩЕ ХТБЧОЕОЙС: (1) dij(m+1) = min{dik(m) + akj : 1<k<n}. (2) пФНЕФЙН, ЮФП РПУМЕДОЕЕ ХТБЧОЕОЙЕ ПВОБТХЦЙЧБЕФ ОЕЛПФПТПЕ УИПДУФЧП У ПРТЕДЕМЕОЙЕН РТПЙЪЧЕДЕОЙС ДЧХИ ЛЧБДТБФОЩИ НБФТЙГ. еУМЙ ПРЕТБГЙА min ФТБЛФПЧБФШ ЛБЛ «УХННХ» , ПРЕТБГЙА «+» - ЛБЛ «РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ» , ФП НБФТЙГБ [dij(m+1)] СЧМСЕФУС «РТПЙЪЧЕДЕОЙЕН» НБФТЙГ [dij(m)] Й A = [aij]. пВПЪОБЮЙН ФБЛПЕ «РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ» ДЧХИ НБФТЙГ A Й B ЮЕТЕЪ A*B Й ПФНЕФЙН, ЮФП ДМС ЬФПК ПРЕТБГЙЙ ЕДЙОЙЮОЩН ЬМЕНЕОФПН УМХЦЙФ НБФТЙГБ .

йЪ ХТБЧОЕОЙК (1) Й (2) ФЕРЕТШ МЕЗЛП УМЕДХЕФ, ЮФП [dij(0) = U] Й dij(m) = ((...((A*A)*A)...)*A) (mі 1). (3) чПЪНПЦЕО ПДЙО ЙЪ УМЕДХАЭЙИ УМХЮБЕЧ: (1) dij(n-1) = dij(n) Й Ч ТЕЪХМШФБФЕ dij(m) = dij(n-1) ДМС ЛБЦДПЗП m і  n. фПЗДБ ПЮЕЧЙДОП dij(n-1) = d(vi, vj). (2) dij(n-1) № dij(n) . ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП УХЭЕУФЧХЕФ ЛПОФХТ ПФТЙГБФЕМШОПК ДМЙОЩ. рТПЙЪЧЕДЕОЙЕ A*B ДЧХИ НБФТЙГ ТБЪНЕТОПУФЙ n ґ n НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ ЪБ ЧТЕНС O(n3) (n УМПЦЕОЙК Й n - 1 УТБЧОЕОЙК ОБ ЛБЦДЩК ЙЪ n2 ЬМЕНЕОФПЧ РТПЙЪЧЕДЕОЙС A*B). уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГХ [dij(n-1)] Й ФЕН УБНЩН ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ЧУЕНЙ РБТБНЙ ЧЕТЫЙО НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ ЪБ ЧТЕНС O(n4). рПЛБ УМПЦОПУФШ ЬФПЗП БМЗПТЙФНБ ФБЛБС ЦЕ, ЛБЛ Й ДМС УМХЮБС n-ЛТБФОПЗП ЙУРПМШЪПЧБОЙС БМЗПТЙФНБ жПТДБ - вЕММНБОБ. пДОБЛП НЩ НПЦЕН ЕЕ УОЙЪЙФШ, ЕУМЙ ЪБНЕФЙН, ЮФП ПРЕТБГЙС * БУУПГЙБФЙЧОБ (Ф.Е. (A * B) * C = A * (B * C)). ьФПФ ЖБЛФ РПЪЧПМСЕФ ЧЩЮЙУМСФШ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ (3), РППЮЕТЕДОП ЧПЪЧПДС НБФТЙГХ A Ч ЛЧБДТБФ Й ФЕН УБНЩН ЪБНЕОСС n - 1 ХНОПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ К log nЭ ХНОПЦЕОЙСНЙ. фБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ РПМХЮБЕН БМЗПТЙФН УМПЦОПУФЙ O(n3 log n), ПФЩУЛЙЧБАЭЙК ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ЧУЕНЙ РБТБНЙ ЧЕТЫЙО Ч ЗТБЖЕ ВЕЪ ЛПОФХТПЧ ПФТЙГБФЕМШОПК ДМЙОЩ. бЧФПТБНЙ ЕЭЕ ВПМЕЕ ЬЖЖЕЛФЙЧОПЗП БМЗПТЙФНБ СЧМСАФУС хПТЫБММ Й жМПКД. йДЕС ЬФПЗП БМЗПТЙФНБ УМЕДХАЭБС. пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ dij(m) ДМЙОХ ЛТБФЮБКЫЕЗП ЙЪ РХФЕК ЙЪ vi  Ч vj У РТПНЕЦХФПЮОЩНЙ ЧЕТЫЙОБНЙ Ч НОПЦЕУФЧЕ {v1, ..., vm}. фПЗДБ ЙНЕЕН УМЕДХАЭЙЕ ХТБЧОЕОЙС: dij(0) = aij, (4) dij(m+1) = min(dij(m),dim(m)+dmj(m)). (5) пВПУОПЧБОЙЕ ЧФПТПЗП ХТБЧОЕОЙС ДПУФБФПЮОП РТПУФПЕ. тБУУНПФТЙН ЛТБФЮБКЫЙК РХФШ ЙЪ vi Ч vj У РТПНЕЦХФПЮОЩНЙ ЧЕТЫЙОБНЙ ЙЪ НОПЦЕУФЧБ {v1, ..., vm, vm+1}. еУМЙ ЬФПФ РХФШ ОЕ УПДЕТЦЙФ vm+1, ФП dij(m+1) = dij(m) еУМЙ ЦЕ ПО УПДЕТЦЙФ vm+1, ФП ДЕМС РХФШ ОБ ПФТЕЪЛЙ ПФ vi ДП vm+1 Й ПФ vm+1 ДП vj, РПМХЮБЕН ТБЧЕОУФЧП dij(m+1) = dim(m) +dmj(m). хТБЧОЕОЙС (4) Й (5) ДБАФ ЧПЪНПЦОПУФШ МЕЗЛП ЧЩЮЙУМЙФШ ТБУУФПСОЙС d(vi, vj) = dij(n), 1 Ј  i, j Ј n.

бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС ТБУУФПСОЙК НЕЦДХ ЧУЕНЙ РБТБНЙ ЧЕТЫЙО - НЕФПД жМПКДБ.

дБООЩЕ: нБФТЙГБ ЧЕУПЧ ДХЗ A[i, j], 1 Ј  i, j Јn, ПТЙЕОФЙТПЧБООПЗП ЗТБЖБ ВЕЪ ЛПОФХТПЧ ПФТЙГБФЕМШОПК ДМЙОЩ. тЕЪХМШФБФЩ: тБУУФПСОЙС НЕЦДХ ЧУЕНЙ РБТБНЙ ЧЕТЫЙО D[i, j] = d(vi, vj). 1 begin 2 for i := 1 to n do 3 for j := 1 to n do D[i, j] := A[i, j]; 4 for i := 1 to n do D[i, i] := 0; 5 for m := 1 to n do 6 for i := 1 to n do 7 for j := 1 to n do 8 D[i, j] := min(D[i, j], D[i, m] + D[m, j]; 9 end

  пЮЕЧЙДОП, ЮФП УМПЦОПУФШ ЬФПЗП БМЗПТЙФНБ ЕУФШ O(n3). пФНЕФЙН, ЮФП ФБЛХА ЦЕ УМПЦОПУФШ ЙНЕМ БМЗПТЙФН жПТДБ - вЕММНБОБ ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙК ПФ ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ ДП ЧУЕИ ПУФБМШОЩИ ЧЕТЫЙО. мАВПРЩФОП, ЮФП ДМС ПВЭЕЗП УМХЮБС (Ф.Е. ВЕЪ РТЕДРПМПЦЕОЙС П ОЕПФТЙГБФЕМШОПУФЙ ЧЕУПЧ МЙВП П ВЕУЛПОФХТОПУФЙ ЗТБЖБ) ОЕ ЙЪЧЕУФЕО ОЙ ПДЙО БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙС НЕЦДХ ПДОПК ЖЙЛУЙТПЧБООПК РБТПК ЧЕТЫЙО, ЛПФПТЩК ВЩМ ВЩ ЪОБЮЙФЕМШОП ЬЖЖЕЛФЙЧОЕЕ БМЗПТЙФНБ ОБИПЦДЕОЙС ТБУУФПСОЙК НЕЦДХ ЧУЕНЙ РБТБНЙ ЧЕТЫЙО. у ЪБДБЮЕК ПРТЕДЕМЕОЙС ЛТБФЮБКЫЙИ РХФЕК Ч ЗТБЖЕ ФЕУОП УЧСЪБОБ ЪБДБЮБ ФТБОЪЙФЙЧОПЗП ЪБНЩЛБОЙС ВЙОБТОПЗП ПФОПЫЕОЙС. чУРПНОЙН, ЮФП РПД ВЙОБТОЩН ПФОПЫЕОЙЕН ОБ НОПЦЕУФЧЕ V НЩ РПОЙНБЕН РТПЙЪЧПМШОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП E о Vґ V. фБЛПЕ ПФОПЫЕОЙЕ СЧМСЕФУС ФТБОЪЙФЙЧОЩН, ЕУМЙ ЧЩРПМОСЕФУС ХУМПЧЙЕ

ЕУМЙ Вx, yУ пE Й Вy, zУ пE , ФП Вx, zУ пE

ДМС РТПЙЪЧПМШОЩИ x, y, z п E. ъБНЕФЙН, ЮФП ВЙОБТОПЕ ПФОПЫЕОЙЕ E о Vґ V НПЦОП ПДОПЪОБЮОП РТЕДУФБЧЙФШ ПТЙЕОФЙТПЧБООЩН ЗТБЖПН G = <V, E> . дМС РТПЙЪЧПМШОПЗП ФБЛПЗП ПФОПЫЕОЙС НЩ ПРТЕДЕМСЕН E* = { В x, yУ: Ч <V, E> УХЭЕУФЧХЕФ РХФШ ОЕОХМЕЧПК ДМЙОЩ ЙЪ x Ч y}. оЕФТХДОП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП E* - ФТБОЪЙФЙЧОПЕ ПФОПЫЕОЙЕ ОБ НОПЦЕУФЧЕ V Й E о E*. вПМЕЕ ФПЗП, E* СЧМСЕФУС ОБЙНЕОШЫЙН ФТБОЪЙФЙЧОЩН ПФОПЫЕОЙЕН, УПДЕТЦБЭЙН E, Ф.Е. ДМС РТПЙЪЧПМШОПЗП ФТБОЪЙФЙЧОПЗП ПФОПЫЕОЙС F лE ЧЩРПМОСЕФУС ЧЛМАЮЕОЙЕ E*о F. пФОПЫЕОЙЕ E* ОБЪЩЧБЕФУС ФТБОЪЙФЙЧОЩН ЪБНЩЛБОЙЕН ПФОПЫЕОЙС E. еУМЙ ПФОПЫЕОЙЕ E РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЧЙДЕ ЗТБЖБ <V, E>, Ч ЛПФПТПН ЛБЦДБС ДХЗБ ЙНЕЕФ ЧЕУ 1, ФП ФТБОЪЙФЙЧОПЕ ЪБНЩЛБОЙЕ E* НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ У РПНПЭША БМЗПТЙФНБ жМПКДБ ЪБ ЧТЕНС O(n3); РПУМЕ ЪБЧЕТЫЕОЙС ТБВПФЩ ЙНЕЕН < vi, vj >п E* щ D[i, j] < Ґ . рТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙЙ ФТБОЪЙФЙЧОПЗП ЪБНЩЛБОЙС ХДПВОП РТЙОСФШ (6) фПЗДБ УФТПЛХ 8 Ч БМЗПТЙФНЕ НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ОБ D[i, j] := D[i, j] я (D[i, m] э D[m, j] ), ЗДЕ я Й э - ПВЩЮОЩЕ ВХМЕЧЩ ПРЕТБГЙЙ. рПУМЕ ЪБЧЕТЫЕОЙС ТБВПФЩ БМЗПТЙФНБ, НПДЙЖЙГЙТПЧБООПЗП ФБЛЙН ПВТБЪПН (РТЙОБДМЕЦБЭЕЗП хПТЫБММХ), ПЮЕЧЙДОП, ЙНЕЕН

йЪЧЕУФЕО БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ФТБОЪЙФЙЧОПЗП ЪБНЩЛБОЙС, ВПМЕЕ ЬЖЖЕЛФЙЧОЩК, ЮЕН БМЗПТЙФН хПТЫБММБ. пО ЙУРПМШЪХЕФ УЧСЪШ ЬФПК ЪБДБЮЙ У ХНОПЦЕОЙЕН НБФТЙГ, ПВУХЦДБЧЫХАУС ТБОЕЕ, ЬФБ УЧСЪШ ДМС НБФТЙГ A, ПРТЕДЕМСЕНЩИ ТБЧЕОУФЧПН (6), РТЙЧПДЙФ Л ПВЩЮОПНХ ХНОПЦЕОЙА ВХМЕЧЩИ НБФТЙГ РП ЖПТНХМЕ

фБЛПЕ ХНОПЦЕОЙЕ НПЦОП ЧЩРПМОЙФШ ЪБ ЧТЕНС O(nlog 7), ЮФП ДБЕФ БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ФТБОЪЙФЙЧОПЗП ЪБНЩЛБОЙС, ЙНЕАЭЕЗП УМПЦОПУФШ O(nlog 7 log n). фБЛПК БМЗПТЙФН ЙНЕЕФ УЛПТЕЕ ФЕПТЕФЙЮЕУЛПЕ ЪОБЮЕОЙЕ, РПУЛПМШЛХ НЕФПД ХНОПЦЕОЙС НБФТЙГ ЪБ ЧТЕНС O(nlog 7) СЧМСЕФУС ДПЧПМШОП УМПЦОЩН Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, ПВОБТХЦЙЧБЕФ УЧПЕ РТЕЙНХЭЕУФЧП РЕТЕД ПВЩЮОЩН «ЫЛПМШОЩН» НЕФПДПН ФПМШЛП РТЙ ПЮЕОШ ВПМШЫЙИ ЪОБЮЕОЙСИ n. оБ РТБЛФЙЛЕ ПВЩЮОП УБНЩН ЬЖЖЕЛФЙЧОЩН ПЛБЪЩЧБЕФУС БМЗПТЙФН хПТЫБММБ, УППФЧЕФУФЧХАЭЙН ПВТБЪПН ЪБРТПЗТБННЙТПЧБООЩК. дТХЗЙН УРПУПВПН РПУФТПЕОЙС ФТБОЪЙФЙЧОПЗП ЪБНЩЛБОЙС ПФОПЫЕОЙС E СЧМСЕФУС РТЙНЕОЕОЙЕ РПЙУЛБ Ч ЗМХВЙОХ (ЙМЙ Ч ЫЙТЙОХ) Ч ЗТБЖЕ <V, E> . ьФПФ УРПУПВ ПУПВЕООП ЧЩЗПДЕО, ЛПЗДБ ПФОПЫЕОЙЕ E УЙННЕФТЙЮОП; ПЮЕЧЙДОП, ЮФП ФПЗДБ ФТБОЪЙФЙЧОПЕ ЪБНЩЛБОЙЕ УФТПЙФУС ПФДЕМШОП ДМС ЛБЦДПК УЧСЪОПК ЛПНРПОЕОФЩ, ОБ ЛПФПТЩЕ ТБЪВЙЧБЕФУС ОЕПТЙЕОФЙТПЧБООЩК ЗТБЖ, ПРТЕДЕМСЕНЩК ПФОПЫЕОЙЕН E, Й ЬФП РПУФТПЕОЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОП ЪБ ЧТЕНС O(m + n).

рТЕДЩДХЭЙК ТБЪДЕМ  пЗМБЧМЕОЙЕ    уМЕДХАЭЙК ТБЪДЕМ