2.3.2.Непротиворечивость и полнота аксиоматической теории исчисления высказываний

Нет ничего проще создания аксиоматических теорий! Как сказал один известный математик: "Аксиоматизация сродни воровству!".

Определив свой язык, придумав свои аксиомы и правила вывода, вы получаете

свою аксиоматическую теорию.

Например, в качестве языка возьмем любые последовательности символов @, единственной аксиомой объявим один символ @, а правило вывода будет

@ @@.

Тогда в данной теории будет выводима любая последовательность из одного или более символов @.

Одно плохо, толку в таких теориях обычно никакого нет…

А вот рассмотренная ранее аксиоматическая теория исчисления высказываний имеет ряд важных (интересных, замечательных) свойств. Формулы этой теории можно интерпретировать как формулы алгебры высказываний, записанные с использованием (функционально полного набора!) операций:и(отрицания и импликации).

Для этой теории доказано, что она полна. То есть в этой теории могут быть выведены все тавтологии логики высказываний (которые могут быть записаны с помощьюи).

Более того, данная теория непротиворечива. То есть в этой теории не могут быть выведены какая-то формула Ф и ее отрицание (Ф).

Докажем непротиворечивость этой теории.

Прямой проверкой доказывается, что все аксиомы, получаемые из схем аксиом, являются тавтологиями. Например, для первой схемы аксиом:

А (ВА)

А	В	Ф
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	1

А из тавтологий с помощью m.p. (A , A  B  B) можно получить только тавтологии. А поскольку любая полученная в этой теории формула Ф есть тавтология,

то ее отрицание Ф было бы противоречием, которое не выводимо.

Полнота и непротиворечивость очень важные свойства. Увы, большинство более сложных аксиоматических теорий не может похвастаться полнотой (открытый Геделем принцип неполноты). В них могут существовать формулы, для которых невозможно доказать как выводимость, так и невыводимость…

Что же касается непротиворечивости, то это очень жесткое требование.

Стоит допустить в теории возможность хотя бы одного противоречия (для одной формулы Ф допустит возможность вывода и Ф), как теория становится бессмысленной, так как тогда в ней можно вывести любую формулу. (Из ложной посылки может следовать что угодно).

2.4.Аксиоматические теории первого порядка

Зададим аксиоматическую теорию, используя расширенный язык предикатов:

1. Язык :

1). Символы: служебные:,¬, (, ),,

предметные переменные: z, y, x, ...

вещественные переменные: a, b, c, ...

функциональные символы: f, g, h, ...

символы предикатов: P, Q, R, ...

2). Терм:

Константа или переменная есть терм.

Если t₁, t₂, ... t_n- термы, то f(t₁, t₂, ... t_n) - тоже терм.

3). Формула:

Если t₁, t₂,...t_n- термы, то Р(t₁, t₂,...t_n) - формула.

Если P, Q - формулы, то

(Р), P Q,¬P,xP,xP - также формулы.

2. Аксиомы:

1)-3) - соответствуют схемам аксиом логики высказываний.

4)x A(x)A(t)

5)A(t) x A(x)

где терм tсвободен дляx.

Терм tназываетсясвободным для переменной x, если никакое свободное вхождениеxвAне лежит в области действия никакого квантораy, гдеy переменная, входящая вt.

Например, терм y свободен для переменной x в A(x), но не свободен для переменной x в y A(x). Терм f(x, z) свободен для x вyA(x, y)B(x), но не свободен для х вzyA(x, y)B(x).

3. Правила вывода:

1). A, A BB (m.p.)

2) B A(x)Bx A(x)

3) A(x) Bx A(x)B

Вышеприведенное исчисление называют еще исчислением предикатов.

На практике, как правило, к этим аксиомам, называемым логическими аксиомами

(коль скоро они описывают логическую составляющую рассматриваемого "мира"), добавляют еще аксиомы, описывающие конкретную "предметную область". Например, законы управления автоматическим регулятором или роботом.

Такие аксиомы называются собственными аксиомами теории, а сами теории -аксиоматическими теориями первого порядкаили короче,теориями первого порядка.

Теории первого порядка неполны, но, как правило, непротиворечивы. (Хотя специалистов по искусственному интеллекту больше интересуют "локально-противоречивые системы". Однако, чем больше такой интерес, тем дальше они отходят от "классической математической логики" со всеми вытекающими последствиями).

Говоря о теориях первого порядка нельзя хотя бы не намекнуть на существование теорий более высоких порядков. Так, например, формула PxP(x) – уже не принадлежит к языку теорий первого порядка из-за квантораP.