4.8 Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Известно, что плоскости частного положения - это проеци­рующие плоскости, т.е. перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. Прямая а

пересекается с горизонтально проецирующей плоскостью α, в точке К (черт.102).

Если фронтально проецирующая плоскость β задана ∆ АВС (черт.103), то его фронтальная проекция А"В"С" проецируется в прямую линию (если бы β была задана следами, тогда fo_β =А"В"С"). На месте пересечения проекции а" с А"В"С" получаем фронтальную проекцию точки К (К"), опустив линию связи до а' получим горизонтальную проекцию К'.

Чтобы рассматривать пересечение прямой линии с плоскостью общего положения необходимо научиться строить линию пересечения двух плоскостей.

4.9 Построение линий пересечения двух плоскостей, заданных следами

Две плоскости пересекаются по прямой линии, общей для обеих плоскостей. Значит, для построения линии пересечения достаточно определить две точки, общие для обеих заданных плоскостей.

Если пересекающиеся плоскости заданы следами, то наиболее рационально отметить общие точки, являющиеся точками пересечения одноимённых следов (черт. 104). Точки F и Н принадлежат линии пересечения плоскостей b (b',b"), проекции которой мы получим, соединив одноименные проекции точек F и Н.

Рассмотрим примеры построения линии пересечения плоскостей, заданных следами, когда одна из них (черт. 105,106) или обе (черт.97,107) являются плоскостями частного положения.

Чтобы перейти к построению линии пересечения плоскостей общего положения, заданных плоскими фигурами или следами и плоской фигурой, необходимо овладеть теорией пересечения прямой линии с плоскостью общего положения, ведь в п. 4.8 мы рассматривали примеры, когда прямая пересекала только плоскости частного положения.

4.10 Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Для определения точки "встречи" прямой а с плоскостью применяется следующая последовательность построения:

1) через данную прямую а провести некоторую вспомогательную проецирующую плоскость β ;

2) построить линию пересечения данной плоскости α и вспомо­гательной β;

3) определить положение точки пересечения прямых: данной (а) и построенной по п.2 (т).

Это последовательность можно применять независимо от способа задания плоскости α.

Пример 1. Исходная плоскость α задана ∆АВС, прямая а - об­щего положения, определить положение точки их пересечения К (черт. 108).

Пример 2. Плоскость α задана следами, прямая а - общего по­ложения, определить точку К как результат пересечения прямой и плоскости (черт. 109).

4.11 Пересечение двух плоскостей общего положения, заданных плоскими фигурами или плоской фигурой и следами

На чертеже 110 плоскость α задана ∆ABC, а плоскость β - следами. Решение задачи упрощает то, что плоскость β - горизонтально проецирующая, потому что, приняв стороны треугольника АС и ВС за отдельные прямые линии, мы сразу находим две общие точки К и N (вначале определяем N' и К', затем N,"K"). Соединив одноимённые проекции, получим линию пересечения KN. Попутно решим проблему видимости элементов. Следует запомнить, что, если плоскость перпендикулярна плоскости проекций, то она не может ничего закрыть, проецируясь на эту плоскость в виде прямой. Чтобы определить видимость ∆AВС на π₂, необходимо смотреть в направлении S. По способу конкурирующих точек, изложенному в разделе 2.5, сравниваем координаты Y для точек А и I, Y_I > Y_А, поэтому элемент А"В''Н"К" треугольника А'В'С' условно обозначаем невидимым (штриховкой на чертеже 110).

Если две пересекающиеся плоскости общего положения заданы: α - следами и β - ∆AВС (возможно задавать плоскость β любой плоской фигурой), то построение их линии пересечения сложнее, чем в только что рассмотренном примере (черт. 111). Здесь необходимо в плоскости ∆AВС выбрать две прямые линии, например, стороны ВС и АС, и найти их пересечение с плоскостью α (К и К₁) , т.е. дважды решить задачу на пересечение прямой с плоскостью (см. п. 4.10). Найдя две точки К и К₁ , соединим их одноимённые проекции.

Теперь рассмотрим пример, когда две пересекающиеся плоскости заданы плоскими фигурами, например: ∆АВС и ∆ЕРG (черт. 112). В этом случае перед нами та же задача: найти две точки, общие для двух плоскостей. Как и в предыдущем примере необходимо выбрать две любые прямые, можно в разных данных плоскостях. Удобнее брать уже имеющиеся прямые - стороны треугольников, например, ЕG и РG. Необходимо найти точки их пересечения с плоскостями. Найдя проекции этих точек и соединив одноимённые, мы построим линию пересечения. Элементы видимости определяют с помощью конкурирующих точек (см. п. 3.7).