Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
50
Добавлен:
12.04.2015
Размер:
66.05 Кб
Скачать

Исчисление

предикатов

Модуль 3. Умозаключения

Основные теоремы исчисления предикатов

Основная идея исчисления предикатов:

Некоторое конечное множество формул объявляется исходным и даются правила, которые позволяют на основе одних тавтологий строить другие

Теорема о корректности.

Все формулы, выводимые в исчислении предикатов, являются общезначимыми.

Теорема о полноте (теорема Гёделя). Всякая общезначимая формула выводима в

исчислении предикатов.

Правила вывода

Правило вывода – правило, определяющее переход от посылок к следствиям .

Правила вывода записываются в виде дроби, в знаменателе которой находится секвенция-посылка, а в числителе – секвенция-заключение.

Если над чертой находится аксиома, то и под чертой находится аксиома.

Если

* – логическая связка,

то

правило →* называется правилом введения * в заключение;

правило *→ называется правилом введения *в посылку.

Правила вывода в исчислении предикатов

Правила вывода для исчисления высказываний применимы и в исчислении предикатов

В исчислении предикатов применяются еще две пары правил введения кванторов общности и существования:

1. Правила, имеющие ограничения на переменные

A(a)

 

 

xA(x)

 

A(a)

 

xA(x)

 

при условии, что a не содержится в посылке, в противном случае вместо переменной a вводим какую-нибудь новую переменную: b, c, …

2. Правила, не имеющие ограничения на переменные

 

A(a)

 

на место переменной а будем ставить такую

 

xA(x)

 

 

переменную, при которой в заключении

 

A(a)

 

 

 

 

возможно появление аксиомы

xA(x)

 

 

 

Правила вывода в исчислении предикатов

Очерёдность применения правил вывода в исчислении предикатов:

1.При движении снизу вверх первыми применяются правила логики высказываний, а затем – кванторные правила.

2.При движении снизу вверх из кванторных правил в первую очередь выполняются те, которые имеют ограничения на переменные, а потом те, которые не имеют ограничений на переменные.

Обозначения:

Правила вывода

Г, Δ, Г11

списки формул;

 

 

A,B – формулы.

 

 

Пример проверки формулы логики предикатов на выводимость

Проверим на выводимость формулу: x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)

Пусть P(x) – x черный; Q(x) – x маленький.

Тогда «Если все либо чёрные, либо маленькие, то либо все чёрные, либо все маленькие »

Опровергающая

модель

 

 

 

 

 

аксиома

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(a) P(a)Q(b)

 

 

не аксиома

 

 

Ни какими перестановкам аксиомы здесь не

 

 

 

 

 

P(a) Q(b)P(a)

 

Q(a) Q(b)P(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получить

 

 

 

 

 

P(a) Q(a) Q(b)P(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку переменная а уже содержится

 

 

 

 

 

x(P(x) Q(x)) Q(b)P(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в секвенции под чертой, мы обязаны

 

 

 

 

 

x(P(x) Q(x)) xQ(x)P(a)

 

 

 

 

 

ввести новую переменную b.

 

 

x(P(x) Q(x)) P(a) xQ(x)

 

 

 

x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)

 

 

 

 

 

 

x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)