Исчисление
предикатов
Модуль 3. Умозаключения
Основные теоремы исчисления предикатов
Основная идея исчисления предикатов:
Некоторое конечное множество формул объявляется исходным и даются правила, которые позволяют на основе одних тавтологий строить другие
Теорема о корректности.
Все формулы, выводимые в исчислении предикатов, являются общезначимыми.
Теорема о полноте (теорема Гёделя). Всякая общезначимая формула выводима в
исчислении предикатов.
Правила вывода
Правило вывода – правило, определяющее переход от посылок к следствиям .
Правила вывода записываются в виде дроби, в знаменателе которой находится секвенция-посылка, а в числителе – секвенция-заключение.
Если над чертой находится аксиома, то и под чертой находится аксиома.
Если |
* – логическая связка, |
то |
правило →* называется правилом введения * в заключение;
правило *→ называется правилом введения *в посылку.
Правила вывода в исчислении предикатов
Правила вывода для исчисления высказываний применимы и в исчислении предикатов
В исчислении предикатов применяются еще две пары правил введения кванторов общности и существования:
1. Правила, имеющие ограничения на переменные
A(a) |
|
|
|
xA(x) |
|||
|
|||
A(a) |
|
||
xA(x) |
|||
|
при условии, что a не содержится в посылке, в противном случае вместо переменной a вводим какую-нибудь новую переменную: b, c, …
2. Правила, не имеющие ограничения на переменные
|
A(a) |
|
на место переменной а будем ставить такую |
|
|
xA(x) |
|||
|
|
переменную, при которой в заключении |
||
|
A(a) |
|
|
|
|
|
возможно появление аксиомы |
||
xA(x) |
|
|||
|
|
Правила вывода в исчислении предикатов
Очерёдность применения правил вывода в исчислении предикатов:
1.При движении снизу вверх первыми применяются правила логики высказываний, а затем – кванторные правила.
2.При движении снизу вверх из кванторных правил в первую очередь выполняются те, которые имеют ограничения на переменные, а потом те, которые не имеют ограничений на переменные.
Обозначения:
Правила вывода |
Г, Δ, Г1,Δ1 – |
|
списки формул; |
||
|
||
|
A,B – формулы. |
|
|
|
Пример проверки формулы логики предикатов на выводимость
Проверим на выводимость формулу: x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)
Пусть P(x) – x черный; Q(x) – x маленький.
Тогда «Если все либо чёрные, либо маленькие, то либо все чёрные, либо все маленькие »
Опровергающая
модель
|
|
|
|
|
аксиома |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(a) P(a)Q(b) |
|
|
не аксиома |
|
|
Ни какими перестановкам аксиомы здесь не |
|||
|
|
|
|
|
P(a) Q(b)P(a) |
|
Q(a) Q(b)P(a) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получить |
|||||
|
|
|
|
|
P(a) Q(a) Q(b)P(a) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку переменная а уже содержится |
|||||
|
|
|
|
|
x(P(x) Q(x)) Q(b)P(a) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в секвенции под чертой, мы обязаны |
||||
|
|
|
|
|
x(P(x) Q(x)) xQ(x)P(a) |
|
|
|
|
|
ввести новую переменную b. |
|
|
x(P(x) Q(x)) P(a) xQ(x) |
|
||
|
|
x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x) |
|||
|
|
|
|
||
|
|
x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|