Для студентов 1 / описание лабораторных работ / 11

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11

Определение моментов инерции физических

маятников различной формы.

Цель работы: определить моменты инерции диска, обруча и цилиндрического стержня.

Введение.

Моментом инерции называют физическую величину, определяющую инертность тела при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки m, удаленной от оси на расстояние r, определяются выражением

Для протяженных тел момент инерции относительно оси определяется как сумма моментов инерции отдельных точек (материальных масс ), на которые можно разбить тело

Момент инерции может быть вычислен путем интегрирования

где - плотность тела

v - объем тела

Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Одно и то же тело относительно разных осей обладает различными моментами инерции.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции I относительно произвольной оси, параллельно данной и проходящей через центр инерции тела m на квадрат расстояния d между осями.

Существуют различные методы определения момента инерции тел. В настоящей работе используется метод физического маятника.

Физическим маятником называют твердое тело, способное совершать колебания около неподвижной горизонтальной оси не проходящей через его центр тяжести.

Если маятник отнести в сторону от положения равновесия и отпустить, то он начнет совершать колебания около положения равновесия. При этом между периодом колебаний и моментом инерции маятника может быть установлена экспериментальная связь, используя которую можно рассчитать момент инерции маятника по измеренным значением периода колебаний.

Для получения расчетной формулы рассмотрим колебания физического маятника.

При отклонении маятника на угол ( в направлении стрелки) вращательный момент, создаваемый силой тяжести, действует в направлении, противоположном отклонению, возвращая маятник к положению равновесия. Поэтому моменту силы и отклонению приписывают противоположные знаки, как например, упругой силе и смещению ()

(1)

где d - расстояние от точки подвеса до центра тяжести тела

l - плечо силы

Физический маятник совершает колебательное движение, которое является периодическим вращательным движением около положения равновесия.

Поэтому его движение описывается основным уравнением динамики вращательного движения

(2)

где М - момент силы тяжести определяется выражением (1)

I - момент инерции физического маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса

- угловое ускорение определяется как вторая производная по времени от угла поворота

Приравнивая части уравнений (1) и (2) получим

Если угол отклонения не превышает 3-5⁰, то можно воспользоваться приближенным равенством sin

(3)

Решение уравнения (3) имеет вид

(4)

Дифференцируем уравнение (4) дважды по времени, заменяем и в уравнении (3) и после преобразований получаем

(5)

Использую известное соотношение , приводим уравнение (5) к виду

(6)

Порядок выполнения работы.

Для экспериментального определения моментов инерции физических маятников необходимо выполнить следующие измерения.

1. Взвесить физический маятник

2. Измерить штангенциркулем или линейкой расстояние d от оси вращения до центра тяжести физического маятника, т.е. расстояние от ребра призмы до центра тяжести

3. Определить период колебаний физического маятника

Для этого отклонить маятник на угол не более 5⁰ и измерить время t, за которое совершается 20 полных колебаний. Период определить по формуле , где N=20

Для данного физического маятника период определить трижды и найти среднее значение.

Задания.

1. Определить момент инерции однородного диска по формуле (6) и проверить найденное экспериментальное значение по теореме Штейнера. При этом

, где

R - радиус диска

2. Определить момент инерции обруча по формуле (6) и проверить по теор. Штейнера

Принять

, где

R₁ , R₂ - внутренний и внешний радиусы обруча

3. Определить момент инерции тонкого цилиндра относительно оси, проходящей через торец цилиндра по формуле (6).

Проверить экспериментально значение по теор. Штейнера

Принять

, где

l - длине цилиндра

4. Сравнить полученные значения моментов инерции физических маятников (диска, обруча, тонкого цилиндра) имеющих одинаковые массы и линейные размеры, но различное распределение массы относительно оси.

Сделать выводы.