1.9. Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму зако­нам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравне­ний с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только (– 1) уравнений являются независи­мыми друг от друга. Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый по­следующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Ос­тальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений. Контур называется независи­мым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры. Соста­вим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 1.26). Схема со­держит четыре узла и шесть ветвей. Поэтому по первому закону Кирхгофа соста­вим уравнения, а по второму, также три урав­нения. Произвольно выберем положительные направления токов во всех вет­вях (рис. 1.26). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке. Со­ставляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

;

Рис. 1.26

;;

;.

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при рас­чете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.

1.10. Метод контурных токов

Расчет любой сложной электрической цепи может быть сведен к решению системы из уравнений, если использовать так называемые контур­ные токи, т.е. токи, замыкающиеся в независимых контурах. В соответствии с этим методом составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа, для чего выбирается необходимое число контуров. При расчете полагают, что в каж­дом контуре течет свой контурный ток.

Последовательность расчета и вывод основных уравнений проведем приме­нительно к схеме, показанной на рис. 1.26.

Для расчета по методу контурных токов в схеме выделяют независимые контуры. Если в левом верхнем контуре протекает ток, в правом верх­нем –, в нижнем –, то при направлении обхода всех контуров по часовой стрелке для контурных токов можно составить следующие уравнения по второму закону Кирхгофа

;

. (1.45)

После преобразования получим:

. (1.46)

Введем обозначения

;;;

;;;

;;,

где – полные или собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров;– сопротивления смежных ветвей между пер­вым и вторым, первым и третьим, вторым и третьим контурами, взятые со зна­ком минус;– контурные ЭДС первого, второго и третьего конту­ров (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с на­правлением обхода контура).

Перепишем уравнения (1.46)

; (1.47)

.

По контурным токам определяют токи в ветвях:

1) токи в наружных ветвях равны контурным токам и совпадают с ними по направлению, если контурный ток является положительным; если контурный ток – отрицательный, то направление тока в ветви меняется;

2) ток в смежной ветви, которая является общей для двух контуров, опреде­ляется как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.

Так, для схемы на рис. 1.26 имеем

Порядок расчета методом контурных токов:

1) для каждого независимого контура произвольно выбирают положитель­ное направление контурного тока;

2) для каждого контура составляют уравнение (1.46) по второму закону Кирхгофа. Для этого направление обхода контура выбирают совпадающим с на­правлением контурного тока;

3) решают систему уравнений относительно контурных токов;

4) определяют токи в ветвях через контурные токи;

5. проверяют решения по второму закону Кирхгофа.