Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

487_Algebra_11

.pdf
Скачиваний:
236
Добавлен:
10.04.2015
Размер:
1.25 Mб
Скачать
og2 x

њангоми x 3 будан тарафи чапи муодила маъно надорад, чунки барои чунин ќимат њам x 1 0 ва њам x 1 0 аст. Пас адади x 3 решаи муодилаи квадратї буда, решаи муодилаи аввала нест. Љ а в о б: 3.

М и с о л и 2. Решањои муодилаи

ogх (x2 3x 3) 1

-ро меёбем.

Ќисми чапи муодила маъно дорад, агар x 0, x 1 ( x асо-си

логарифм аст) ва x2 3x 3 0 бошад. Аз таърифи лога-рифм бевосита

x2 3x 3 x

бармеояд. Аз ин љо x2 4x 3 0. Ададњои 1 ва 3 решањои ин

муодилаи квадратианд.

Вале x 1 решаи муодилаи аввала нест.

Њангоми x 3 будан

x2 3x 3 32 3 3 3 3 0 аст. Пас

танњо адади 3 њалли муодила аст. Љ а в о б: 3.

М и с о л и 3. Муодилаи

og22 x og2 x 2 0

-ро њал менамоем.

Њанўз дар п.11 (ниг. ба тарзи њалли мисоли 4) ќайд карда будем, ки агар функсияи номаълумдор дар муодила дар дараљањои гуногун ояд, муодиларо бо дохил кардани таѓйирё-бандаи нав њал кардан

мумкин аст. Дар муодилаи мазкур чунин функсия мебошад. t og2 x ишорат карда ба љои муодилаи аввала муодилаи

t2 t 2 0

-ро њосил мекунем.

Ададњои t1 1

ва t2 2 решањои ин

муодилаанд. Акнун ќиматњои матлуби x -ро меёбем:

t og

 

 

x 1,

x 2 1

 

1

 

;

2

 

1

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

og

2

x 2 ,

x 22

4 .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Њар ду ќимати ёфташуда муодиларо ќаноат мекунонанд, чунки

91

соњаи ќиматњои имконпазири ифодаи тарафи чапи муодила ададњои

мусбат аст. Љавоб: 1 ; 4.

2

М и с о л и 4. Муодилаи og0,6 x og5 x 3 -ро њал мекунем.

3

Дар љамъшавандаи дуюм ба логарифми асосаш 0,6 мегузо-рем. Барои ин формулаи гузаришро истифода мекунем (ниг. ба хулосаи

2-и п.15):

 

 

 

 

 

og5 x

og0,6 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

og

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

3

1

 

3

 

Азбаски og

0,6

 

og3

 

 

 

og

3

 

 

 

og

3

 

 

1 аст, пас

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

5

og5 x og0,6 x . Акнун муодилаи додашуда намуди 3 og0,6 x 3

3

 

 

 

 

 

 

ё og0,6 x 1 мегирад. Аз ин љо x (0,6) 1

1

 

5

1

2

.

 

 

 

0,6

3

3

 

Љ а в о б: 12 3

М и с о л и 5. Решаи муодилаи 37 2x 5 -ро меёбем.

Пеш аз њал хотирнишон мекунем, ки ин муодила ба њамон гурўњи муодилањо дохил мешавад, ки дар бораашон дар эзоњи 2-и п.11 сухан ронда будем.

Аз њар ду тарафи муодила аз рўи асоси 3 логарифм гирифта

њосил мекунем:

 

 

og3 37 2x og3 5

ё 7 2x og35 .

Инак, x 3,5

1

og2 5 аст.

 

 

 

2

 

 

Ќайд мекунем, ки ин намуд муодилањои нишондињандагиро, ки танњо бо истифодаи таърифи логарифм њал мешаванд, њанўз дар п.14 дида баромадан мумкин буд.

92

____________________________?_____________________________

1. Баробарињоеро, ки хосиятњои асосии логарифмро ифода мекунанд, нависед. 2. Чаро муодилаи оддитарини логарифмї танњо якто реша дорад. 3. Бо мисолњо фањмонед, ки њангоми табдилдињии айниятии ифодаи логарифмї соњаи муайянии ифодаи њосил мешудагї васеътар буданаш мумкин аст.

__________________________________________________________

Муодиларо њал кунед (210-219):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

210. а)

8x 0,4 ;

б)

(0,2)x 4 ;

 

 

в) 3x 7

 

г) 9x

e .

211. а)

(0,3)x 1 2 ;

б) 4x2

5 ;

в) 102x 6

 

г) e2 5x

2 .

212. а)

og3 x 2 ;

б)

og0,2 x 1;

в) gx

1

г) gx 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

213. а)

og3 (2x 1) 2 ;

 

 

б)

n(x2 2x 4) n7 ;

в)

n(4 x) 0 ;

 

 

 

 

 

г) og1 (5 x) 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

214. а)

oga x oga 4 2 oga 5;

 

б) nx n(9x 10) 3 ;

в)

oga x 2 oga 3 oga 2

 

г) g(3x 2) g25 3.

215. а)

og2 x 1

 

 

2;

 

 

б)

 

1

 

 

 

2

1;

og2 (4x 15)

 

 

 

5 gx

1 gx

в)

gx 5

 

13 gx

2;

 

г) n(16 6x) 2 nx .

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

216. а)

og2

x 3 og

x 2 0 ;

 

б) n2 x nx 2 0;

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 2 og

2 x 7 og

x 3 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) n(x2 6x 9) n3 n(x 3) .

 

 

 

 

217. а)

ogx 1(x2 5x 7) 1;

 

б) ogx (x2 7x 1) 2 ;

в) og7 46 og3 (x 5) 2 ;

 

г) og2 og5 (4 x) 6 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

218. а)

oga x og

 

 

 

4 og1

5 ;

б) og9 x og3x 3;

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

1

 

в) 2 og2 x og1 x 5;

 

 

г) ogx 2 og4 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

219. а)

og3 (10 3x ) 2 x ;

 

б)

og4 (2 4x 2 1) 2x 4 ;

 

x gx 1 100 ;

 

 

1

gx

 

 

 

в)

 

г)

x 3 3 100 .

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

220. Муодиларо њал кунед:

2x 2 2x 5x 5x 1 .

221. Ифодаро содда кунед:

1

 

1

3

2

 

5

 

1

 

 

 

a

b

 

 

(ab

 

)

 

.

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

222.Масофаи ду шањр 720 км аст. Ду ќатора ба пешвози њамдигар њаракат карда дар миёнаљойи роњ бо њамдигар вохўрданд. Маълум аст, ки ќатораи дуюм 1 соат пас аз ќатораи якум ба роњ баромада, 4 км/соат тезтар роњ тай мекард. Суръати њар як ќатораро ёбед.

223.0,1% -и адади (2 11) : 0,25-ро ёбед.

4

224. Нуќтањои критикии функсияи f (x) x4 3x3 -ро ёбед.

19. НОБАРОБАРИИ ЛОГАРИФМЇ

Нобаробариеро, ки таѓйирёбанда дар он дар тањти аломати логарифм аст, нобаробарии логарифмї меноманд. Њангоми њалли чунин нобаробарињо аз хосияти афзуншавї ё камшавии (монотонии)

функсияи логарифмї истифода мекунем:

 

 

 

а) њангоми

a 1 будан: агар

0 x 1

бошад,

он

гоњ

oga x oga1

аст, яъне oga x 0 ;

агар x 1

бошад,

он

гоњ

oga x oga1,

яъне oga x 0 .

 

 

 

 

94

б) њангоми 0 a 1 будан: агар

0 x 1 бошад, он гоњ

oga x 0 аст; агар x 1 бошад, он гоњ oga x 0 аст.

М и с о л и 1. Нобаробарии

og3 (2x 1) og3 5

-ро њал мекунем.

Асоси логарифм a 3 0 аст. Пас њангоми љой доштани нобаробарии мазкур нобаробарии

2x 1 5

љой дорад. x 2 њалли ин нобаробарї аст. Вале таѓйирёбандаи x бояд чунин бошад, ки ифодањои дар нобаробарї буда, маъно дошта

бошанд.

Ќисми чапи нобаробарии мазкур маъно дорад, агар

2x 1 0

ё x

1

бошад.

 

 

2

 

 

 

1

;

2

 

Инак, њалли нобаробарї фосилаи

 

аст.

2

 

 

 

 

 

М и с о л и 2. Њалли нобаробарии

 

 

 

 

 

og1 (x2 2x) 1

3

-ро меорем.

1

 

 

 

 

 

 

Азбаски

1 аст, пас

 

њангоми

љой

доштани нобаробарии

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

1

 

мазкур њатман нобаробарии x

 

2x

 

 

3 љой дорад. Инчунин

 

 

 

 

 

 

3

 

 

барои маъно доштани ифодаи тарафи чапи нобаробарї зарур аст,

ки x2 2x 0

бошад. Њамин тариќ, нобаробарии

додашуда ба

системаи нобаробарињои

 

 

x2 2x 3 0,

 

 

 

 

 

x2 2x 0.

 

баробарќувва

аст. Фосилаи (-3;1) њалли

нобаробарии

x2 2x 3 0 , фосилањои ; 2 ва 0; њалли нобаробарии

x2 2x 0 мебошанд. Ќисми умумии ин фосилањо фосилањои баробарќувва (-3;-2) ва (0;1) мебошанд.

95

Инак, фосилањои (-3;-2) ва (0;1) њалли нобаробарии мазкуранд.

__________________________?_____________________________

1. Фањмонед, ки чаро нобаробарии oga f (x) b њангоми a 1

будан ба нобаробарии f (x) ab нобаробарќувва шуда метавонад.

Вале нобаробарии oga f (x) b ба нобаробарии

f (x) ab

баробарќувва аст, њангоми a 1 будан. 2. Моњияти татбиќи методи фосилањоро дар њалли нобаробарињо шарњ дињед.

________________________________________________________

Нобаробарињоро њал кунед (225-230):

225.

а) og2 x 1; б) og1 x 2 ;

в) og0,6 x 1; г) og2,5 x 2 .

 

 

4

 

 

 

 

 

 

226.

а) og3 (x 2) 2 ;

б) og1 (2 3x) 1;

 

 

 

 

 

2

 

 

в) og5 (3x 1) 2 ;

г) og1 (7x 1) 2 .

 

 

 

 

 

6

 

 

227.а) g(2x 3) g(x 1) ;

б) g(2x 4) g(x 1) ;

в) og2 (4x 3) og2 (3x 4) ;

г) og0,3 (2x 7) og0,3 (4x 1) .

228.а) og (x 1) og x og 2 ;

б) nx n(x 1) n6 ;

в) og2 (x2 x 12) 3;

г) og1 (8 x) og1 (x2 2) .

2

2

96

229.

а) n2 x nx 0 ;

 

б)

 

og21 x 3 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

в) g2 x 3 gx 4 ;

г) og2 x 25 0.

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

230.

а) og2

cos x

1

;

б)

 

 

2 nx

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) og1

sin 2x 1;

 

г)

 

3 nx 1

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

231.Муодилаи 2sin 2 x 5cos x 2 -ро њал намоед.

232.Муодиларо њал кунед: og2 (5x 3) og2 (5x 3) 4 .

233.Фосилањои афзуншавию камшавї ва нуќтањои экстремуми функсияи y x2 6x 8 -ро ёбед.

27 27a 9a2 a3

234. Содда кунед:

 

 

.

a2

 

 

6a 9

235. Комбайн 4 соат кор карду баъд ба он комбайни дуюм њамроњ шуд. Њар ду пас аз ин даравро дар 8 соат ба охир расониданд. Њар як комбайн дар алоњидагї даравро дар чанд соат ба охир мерасонд, агар маълум бошад, ки барои ин комбайни дуюм бояд 8 соат зиёд дарав мекард.

20. СИСТЕМАИ МУОДИЛАЊОИ ЛОГАРИФМЇ ВА ОМЕХТА

Барои њал кардани системаи муодилањои логарифмї тарзи маъмули ёфтани њалли муодилањои логарифмиро истифода карда, системаи муодилањои алгебравии муќаррариро њосил мекунанд. Ин системаро њал карда аз байни онњо њалли системаи муодилањои логарифмиро људо менамоянд.

Усули умумии њалли системањои омехта (системањое, ки дар таркиби худ ѓайри муодилаи логарифмї боз муодилањои намуди дигарро, масалан, муодилањои хаттї, квадратї, ирратсионалї, нишондињандагї ва ѓайраро доранд) низ аз њосил кардани системаи муќаррарии алгебравї иборат аст.

97

М и с о л и 1. Системаи

og2 x og2 y 1,

 

og2 (xy) 3

 

-ро њал мекунем.

 

 

 

 

x

 

 

Муодилаи

якуми системаро дар

намуди

og

2

 

1 навишта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

меёбем:

x

2

ё x 2y . Аз муодилаи дуюм

xy 23

8 . Дар ин

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

љо x 2y гозошта њосил мекунем, ки

y 2

аст.

 

Аз

x 2y бар-

меояд, ки x 4 . Вале ќисми чапи система маъно дорад, агар x 0 ва y 0 бошад. Бо назардошти ин њалро меёбем. Љ а в о б: (4; 2).

Э з о њ. Системаи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

og

 

 

 

x

1,

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

og

2

(xy) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дуто њал дорад: (4; 2) ва (-4; -2). Инро маънидод кунед.

М и с о л и 2. Системаи зеринро њал менамоем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

y

 

512,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy 1 g2.

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аз 512 29 ва 1 g2 g10 g2 g(10 2) g20 истифо-

да карда системаи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y 9,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u ва

 

гузорем, он гоњ ба

-ро њосил мекунем. Агар

 

 

 

x

y

системаи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 9,

u 20

доро мешавем. Дар муодилаи дуюми ин система u 9 гузошта

муодилаи квадратии 2 9 20 0-ро соњиб мешавем. Решањои он

98

 

 

 

 

 

 

 

 

9 81 4 20

 

9 1

,

 

 

4 , 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мебошанд.

 

Аз u 9 бармеояд: u1

5 ,

 

 

u2

4.

Вале

 

x

u ,

 

 

 

 

 

 

 

 

x u2 ,

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

ё

 

 

аст. Пас (25;

16)

ва

(16;25)

њалњои

системаи аввалаанд.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Системаи муодилањоро њал кунед (236-238):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

236. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

og

1

 

(x y) 2,

 

 

 

 

 

og2 x og4 y 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

(x y) 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

og

5

 

 

 

 

 

og4 x og2 y 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

og

2

 

(x y) 5 og

2

(x y),

 

 

 

 

g( y x) g2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gx g4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;

 

 

 

og

2

x 4 og

2

3 og

2

y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gy g3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

237. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

x

 

2

y

80,

 

 

 

 

 

 

 

3

x

 

2

y

972,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

og

 

 

 

 

(x y) 2;

 

 

 

 

 

og

 

 

 

(x y) 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x y

81,

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

xy 1 g3;

g

 

 

 

 

 

238. а)

x y 90,

gx gy 3;

в)

og4x og2 y 0,

 

x2 2y2 8 0;

 

gx gy g15 1,

 

10 g(3x 2 y) 39.

 

б)

og4x og4 y 1 og49,

 

x y 20 0;

 

г)

og4 (x y) 0,

(x 14)(x y) 64.

99

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

239. Ифодаро содда намоед:

 

a

 

5 a

:

3a 5

 

 

 

 

 

.

 

 

 

5 a

 

5 a

 

a 5

240. Системаи нобаробарињоро њал кунед:

2x

9 6x 5,

x 1. 2

241. Велосипедрон аз нуќтаи А ба пункти Б, ки масофаашон 45 км аст равон шуд. Пас аз 30 даќиќа аз паси ў велосипедрони дигар ба роњ баромад. Вай ба пункти Б 15 даќиќа тезтар омада расид. Суръати велосипедрони аввала чанд аст, агар маълум бошад, ки суръати вай нисбати суръати дигарї 3 км/соат кам аст?

242*. Муодиларо њал кунед: 16 ogx

2 8x .

243. Айниятро исбот кунед:

1

cos sin tg .

 

cos

§7. ЊОСИЛА ВА ФУНКСИЯИ ИБТИДОИИ ФУНКСИЯЊОИ НИШОНДИЊАНДАГИЮ ЛОГАРИФМЇ ВА ДАРАЉАГЇ

21. ЊОСИЛАИ ФУНКСИЯИ НИШОНДИЊАНДАГЇ

Дар п.17 њангоми дохил кардани мафњуми логарифми натуралї

фарз када будем, ки

нисбати афзоиши функсияи y 10x бар

афзоиши аргумент дар нуќтаи x 0 њангоми ба нул майл кардани

афзоиши аргумент бо

 

1

майл мекунад, яъне

 

 

 

M

100 x 100

10 x 1

1

 

 

 

 

 

 

 

, њангоми x 0 .

(3)

 

 

 

x

x

M

 

Инчунин ќайд карда будем, ки M 0,4343... аст.

100