1 Содержание
Введение 2
Решение задач линейного программирования Симплекс-методом 3
Задача о загрузке емкости. 14
Задача о наборе высоты и скорости летательным аппаратом. 17
Лабораторная работа №6 21
Введение
Данные методические указания являются описанием лабораторных работ по курсу «Исследование операций». Они имеют цель дать обучающимся возможность самостоятельной разработки и реализации наиболее популярных алгоритмов курса
При выполнении лабораторных работ используется язык программирования Турбо Паскаль либо другой по согласованию с преподавателем.
Методические указания предназначены для студентов факультета автоматизации и вычислительной техники, и могут быть использованы студентами других специальностей для выполнения лабораторных работ по курсу «Исследование операций» а также «Основы алгоритмизации и программирования».
Решение задач линейного программирования Симплекс-методом Теоретические положения
Симплекс-метод применяется для решения основной задачи линейного программирования (ОЗЛП), которая ставится следующим образом.
Для
ряда переменных 
требуется найти такие неотрицательные
значения этих переменных, которые
удовлетворяли бы системе линейных
уравнений:
и, кроме того, обращали бы в максимум называемую целевой (ЦФ) линейную функцию
Очевидно, случай поиска минимума ЦФ сводится к предыдущему, если изменить знак функции и рассмотреть вместо неё функцию
Условимся называть допустимым решением ОЗЛП любую совокупность переменных
удовлетворяющую уравнениям (1.1).
Оптимальнымрешением будем называть то из допустимых решений, при котором ЦФ (1.2) обращается в максимум.
Будем
считать, что все уравнения нашей системы
линейно независимы (т.е. никакое из них
нельзя представить в виде линейной
комбинации других). Тогда, если число
уравнений ОЗЛП 
меньше числа переменных 
,
то система линейных уравнений имеет
бесчисленное множество решений. При
этом 
переменным мы можем придавать произвольные
значения (так называемые свободные
переменные), а остальные
переменных выразятся через них (эти 
переменных мы будем называть базисными).
На практике ограничения в задаче линейного программирования часто задаются не уравнениями, а неравенствами.
Пусть
имеется задача линейного программирования
с 
переменными, с ограничениями, заданными
в виде неравенств. Т.к. ограничения со
знаком неравенства "
"
сводятся к ограничениям со знаком "
"
простой переменой знака обеих частей,
зададим все ограничения неравенства в
стандартной форме:
Введём обозначения:
где
— некоторые новые переменные, которые
мы будем называть "добавочными".
Согласно условиям , эти добавочные
переменные, так же, как и основные, должны
быть неотрицательными.
Таким
образом, перед нами в чистом виде основная
задача линейного программирования
(ОЗЛП): найти такие неотрицательные
значения 
переменных 
,
чтобы они удовлетворяли системе уравнений
и одновременно обращали в максимум
линейную функцию этих переменных:
Уравнения
заданы в форме, уже разрешённой
относительно базисных переменных 
,
которые выражены через свободные
переменные 
.
Общее количество переменных равно 
.
Таким образом, задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами сведена нами к ОЗЛП, но с большим числом переменных, чем было первоначально.
Преобразуем теперь систему уравнений , представив их правые части как разности между свободными членами и суммой остальных:
где
;
;
… ;
.
Форму записи уравнений будем называть стандартной. Приведём также к стандартной форме и целевую функцию:
где
; 
;
… ;
.
Очевидно, вместо того, чтобы полностью записывать уравнения , (1.6), можно ограничиться заполнением стандартной таблицы, где указаны только свободные члены и коэффициенты при переменных:
Таблица 1.1.
|
|
Свободный член |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
… |
|
Для дальнейшего удобства переобозначим коэффициенты:
Таблица 1.2
|
|
Свободный член |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
… |
|
Нахождение решения каждой задачи линейного программирования распадается на два этапа:
отыскание опорного решения;
отыскание оптимального решения, максимизирующего линейную целевую функцию.
Оба этапа используют табличный алгоритм обмена переменных.