- •Самарский государственный университет путей сообщения
- •Сопротивление материалов расчет статически определимых балок на прочность при изгибе
- •1. Основные понятия
- •Условие прочности при изгибе
- •2. Задание к расчетно-графической работе
- •3. Пример выполнения расчетно-графической работы Задача 1.
- •Задача 2.
- •Определение опорных реакций.
- •2. Определение количества участков балки.
- •3. Составление аналитических выражений внутренних усилий Qy и Mx.
- •4.Построение эпюр Qy и Mx для всей балки.
- •5. Подбор поперечных сечений балок.
- •5.1. Подбор двутавра
- •5.2. Подбор прямоугольного, квадратного, круглого и кольцевого сечений.
2. Определение количества участков балки.
Границами участков являются места расположения тех сечений, где происходит скачкообразное изменение: физико-механических характеристик материала конструкций, формы или размеров, а также внешних нагрузок. Рассматриваемая двухопорная балка имеет постоянное поперечное сечение и четыре участка, обозначенные как: участок I AB, участок II BC, участок III CD, участок IV DE (рис.10).
3. Составление аналитических выражений внутренних усилий Qy и Mx.
Используем метод сечений. На каждом участке проводим условный разрез в любом месте и берём в рассмотрение одну из двух частей всей балки, ту, к которой приложено меньше нагрузок. Рассматриваем равновесие отсечённой части.
Участок AB. 0 z1 0,6 м.
Рассмотрим равновесие левой части балки длиной z1 (рис. 12, a). Составим уравнения равновесия всех сил относительно точки сечения о :
∑Fy=0 Q(z1 ) RA=0; Q(z1)= RA=109,4 кН, (постоянная величина).
∑Мо=0 M(z1 )m + RA∙ z1=0; M(z1 )= m RA∙ z1, (уравнение прямой линии).
Подставив в полученное выражение для изгибающего момента значения z1 , соответствующие граничным сечениям участка AB, определим величины M(z1), возникающие в этом сечении:
M(0 )= m =24 кН∙м; M(0,6 )=24109,4∙0,6= 41,6 кН∙м.
а) б)
Рис.12
а)
б)
в)
г)
Рис.13
Участок BC. 0 z2 0,72 м.
Рассмотрим равновесие левой части балки длиной z2 (рис. 12, б). Составим уравнения равновесия всех сил относительно точки сечения о :
∑Fy=0 Q(z2)+F RA=0; Q(z2)=F RA=34,6 кН, (постоянная величина).
∑Мо=0 M(z2 )m F∙ z2+ RA∙ (z2+0,6)=0; M(z2 )= m + F∙ z2 RA∙( z2+0,6).
Подставив в полученное выражение для изгибающего момента значения z2 , соответствующие граничным сечениям участка BC, определим величины M(z2), возникающие в этом сечении:
M(0 )= m RA∙0,6 = 24109,4∙0,6 = 41,6 кН∙м.
M(0,72 )= m + F∙ 0,72 RA∙(0,72+0,6)= 24+144∙0,72109,4∙1,32= 16,7 кН∙м.
Участок DE. 0 z3 0,36 м.
Рассмотрим равновесие правой части балки длиной z3 (рис. 14, а). Составим уравнения равновесия всех сил относительно точки сечения о :
∑Fy=0 Q(z3 ) q∙ z3=0; Q(z3)= q∙ z3, (уравнение прямой линии).
Подставив в полученное выражение для поперечной силы значения z3 , соответствующие граничным сечениям участка DE, определим величины Q(z3), возникающие в этом сечении:
Q(0)=0; Q(0,36)=40∙0,36=14,4 кН.
∑Мо=0 M(z3 )+q∙ z3∙ =0; M(z3 )= q∙ , (уравнение параболы).
Подставив в полученное выражение для изгибающего момента значения z3 , соответствующие граничным сечениям участка DE, определим величины M(z3), возникающие в этом сечении:
M(0 )=0; M(0,36 )= 2,6 кН∙м.
Участок CD. 0 z4 1,08 м
Рассмотрим равновесие правой части балки длиной z4 (рис. 14, б). Составим уравнения равновесия всех сил относительно точки сечения о :
∑Fy=0 Q(z4 )+ RD q∙(z4+0,36)=0; Q(z4)= RD +q∙(z4+0,36),
(уравнение прямой линии).
а) б)
Рис.14
Подставив в полученное выражение для поперечной силы значения z4 , соответствующие граничным сечениям участка CD, определим величины Q(z4),
Q(0)= RD +q∙0,36= 23+40∙0,36= 8,6 кН.
Q(1,08)= RD +q∙(0,36+1,08)= 23+40∙1,44= 34,6 кН.
∑Мо=0 M(z4 )+q∙( z4+0,36) ∙ RD∙ z4=0;
M(z4 )= q∙ +RD∙ z4, (уравнение параболы).
Подставив в полученное выражение для изгибающего момента значения z4 , соответствующие граничным сечениям участка CD, определим величины M(z4), возникающие в этом сечении:
M(0 )= q ∙ = 40 ∙ 0,065= 2,6 кН∙м.
M(1,08 )= q ∙ + RD∙ 1,08= 40 ∙1,04 + 23∙1,08= 16,7 кН∙м.
Поперечная сила Q(z4) на этом участке принимает в некотором сечении нулевое значение и меняет знак при прохождении через него (рис. 12, в). Поэтому в сечении, где Q(z4)== 0, будет экстремальное значение изгибающего момента M(z4). Для его определения найдем величину z0 , при котором Q(z4) = 0. Приравняв выражение для Q(z4) к нулю, получим:
Q(z4)=0; RD +q∙(0,36+z0)=0; z0===0,22 м.
Подставив найденное значение z0 = 0,22 м в выражение для M(z4), найдем величину экстремального значения изгибающего момента Mmax на этом участке:
Mmax= q∙ +RD∙ z0= q ∙ 0,17 + 23 ∙ 0,22 = 1,7 кН∙м.