kursovaya_2A / 1 задача / задача1.4

1.4 Метод наложения

Метод наложения является одним из методов расчёта сложных электрических цепей с несколькими источниками питания.

Сущность данного метода заключается в следующем:

1 В каждой ветви рассматриваемой цепи направление тока выбирается произвольно.

2 Количество расчётных схем цепи равно количеству источников в исходной схеме.

3 В каждой расчётной схеме действует только один источник, а остальные источники заменяются их внутренним сопротивлением.

4 В каждой расчётной схеме методом свёртывания определяем частичные токи в каждой ветви. Направление частичных токов в ветвях зависит от полярности источника.

5 Искомые токи каждой ветви схемы определяются как алгебраическая сумма частичных токов для этой ветви. Частичный ток, совпадающий по направлению с искомым, считается положительным, а несовпадающий – отрицательным. Если сумма частичных токов имеет положительный знак, то направление искомого тока в ветви совпадает с произвольно выбранным, если же отрицательный, то направление тока противоположно выбранному.

Данная расчетная схема содержит два источника электрической энергии. Для определения истинных токов поочередно исключаем каждую ЭДС. Рассчитываем частичные токи от действия каждой ЭДС в отдельности. Истинные токи в ветвях определяем алгебраическим сложением частичных токов.

Исключим из схемы источник ЭДС E₂ и рассчитаем частичные токи I₁’, I₂’, I₃’, I₄’, I₅’, I₆’, от действия ЭДС Е₁, рисунок 2.

Для упрощения расчетов в схеме, рисунок 2 преобразуем треугольник сопротивления R₆, R₅, R₂, r₀₂ в эквивалентную звезду R_a, R_в, R_c.

Упрощенная расчетная схема примет вид рисунок 3.

Сопротивление эквивалентной звезды R_a, R_в, R_c, Ом вычисляют:

R_a = = = 6,523;

R_в = = = 24, 869;

R_c = = = 7,508.

После расчета сопротивлений R_a, R_в, R_c cхема примет вид, рисунок 3.

Сопротивление параллельного участка R_пар, Ом вычисляют:

R_пар = = = 24,194.

Эквивалентное сопротивление R_экв, Ом вычисляют:

R_экв = R₁+ r₀₁+ R_a + R_пар = 37+6,523+24,194 = 67,717.

По закону Ома ток в неразветвленной части цепи I₁’, А вычисляют :

I₁’= = = 0,59.

Напряжение параллельного участка U_пар, В вычисляют:

U_пар = I₁’ • R_пар = 0,59 • 24,194 = 14,274.

Частичные токи в параллельных ветвях, I₃’, I₄’, A вычисляют:

I₃’ = = = 0,292;

I₄’ = = = 0,294.

Возвращаемся к первоначальной схеме рисунок 2 и определяем, используя законы Кирхгофа недостающие токи.

Для нахождения тока I₂’ составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для I контура:

E₁ = I₁’(R₁ + r₀₁) + I₂’(R₂ + r₀₂) + I₃’R_3.

Частичный ток I₂’, A вычисляют:

-I₂’ = = = - 0,21;

I₂’ = 0,21.

Для нахождения токов I₅’ и I₆’ составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 2,3:

(2) I₆’+ I₂’- I₃’= 0;

(3) -I₅’+ I₁’- I₂’= 0.

Частичные токи I₅’, I₆’, A вычисляют:

I₆’ = -I₂’ + I₃’ = -0,21+0,292 = 0,082;

-I₅’ = - I₁’ + I₂’ = -0,59 +0,21 = - 0,38;

I₅’ = 0,38.

Исключим из схемы источник ЭДС E₁ и рассчитаем частичные токи I₁’’, I₂’’, I₃’’, I₄’’, I₅’’, I₆’’, от действия ЭДС Е₂, рисунок 4.

Для упрощения расчетов в схеме, рисунок 4 преобразуем треугольник сопротивления R₄, R₅, R₁, r₀₁ в эквивалентную звезду R_a, R_в, R_c.

Cхема для определения частичных токов примет вид, рисунок 5.

Сопротивление эквивалентной звезды R_a, R_в, R_c, Ом вычисляют:

R_a = = = 6,298;

R_в = = = 16,138;

R_c = = = 6,979.

После расчета сопротивлений R_а, R_в, R_с схема примет вид, рисунок 5.

Сопротивление параллельного участка R_пар , Ом вычисляют:

R_пар = = = 25,378.

Эквивалентное сопротивление R_экв, Ом вычисляют:

R_экв = R₂+ r₀₂+ R_a + R_пар = 53+6,298+25,378 = 84,676.

По закону Ома ток в неразветвленной части цепи I₂’’, А вычисляют:

I₂’’= = = 0,236.

Напряжение параллельного участка U_пар, В вычисляют:

U_пар = I₂’’ • R_пар = 0,236 • 25,378 = 5,989.

Частичные токи в параллельных ветвях, I₆’’, I₃’’, A вычисляют:

I₆’’ = = = 0,088;

I₃’’ = = = 0,149.

Возвращаемся к первоначальной схеме рисунок 4 и определяем, используя законы Кирхгофа недостающие токи.

Для нахождения тока I₅’’ составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для III контура:

E₂ = I₂’’(R₂ + r₀₂) + I₅’’R₅ + I₆’’R_6.

Частичный ток I₅’’, A вычисляют:

-I₅’’ = = = - 0,133;

I₅’’= 0,133.

Для нахождения токов I₁’’ и I₄’’ составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 3,4:

(3) -I₁’’- I₅’’+ I₂’’= 0;

(4) I₅’’- I₄’’- I₆’’= 0.

Частичные токи I₁’’, I₄’’, A вычисляют:

-I₁’’ = -I₂’’ + I₅’’ = -0,236 +0,133 = - 0,103;

I₁’’ = 0,103

I₄’’ = -I₅’’ + I₆’’ = (-0,133) + 0,088 = - 0,045.

Истинные токи ветвях расчетной схемы рисунок 1, определяем алгебраическим сложением частичных токов.

Истинные токи в ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆, A вычисляют:

I₁ = I₁’ - I₁’’ = 0,59 - 0,103 = 0,487;

I₂ = -I₂’ + I₂’’ = - 0,21 + 0,236 = 0,026;

I₃ = I₃’ - I₃’’ = 0,292 - 0,149 = 0,143;

I₄ = - I₄’ + I₄’’ = - 0,294 + (- 0,045) = - 0,339;

I₅ = -I₅’ - I₅’’ = - 0,38 - 0,133 = - 0,513;

I₆ = I₆’ + I₆’’ = 0,082 + 0,089 = 0,17.

При расчете токи I₄, I₅ получились со знаком «-». На схеме, рисунок 1, изменим направление токов I₄, I₅ на противоположное направление.

Для проверки правильности решения задачи построим потенциальную диаграмму.