физика, механіка, 1 семестр / ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 новая

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»

Кафедра физики

ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. БИЕНИЯ

Методические указания

к лабораторной работе № 1 по разделу «Механика» курса физики

для студентов всех специальностей

Могилев 2010

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. БИЕНИЯ

Цель работы: изучение сложения гармонических колебаний в системе двух связанных маятников.

Приборы и оборудование: система связанных физических маятников, секундомер.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Рассмотрим колебания, возникающие в результате сложения двух гармонических колебаний одного направления. Предположим, что частоты складываемых колебаний одинаковы. Тогда уравнения колебаний можно представить в виде:

Для нахождения результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм. Сущность этого метода заключается в представлении

временем по закону

3

математического описания результирующего колебания на диаграмме представлены, как координатная ось ОХ, так и координатная ось ОУ.

Векторами A1 и A2 , ориентированными под углами 1 и 2 к оси ОХ и вращающимися с угловой скоростью 0 вокруг точки О, представлены гармонические колебания, которые описываются уравнениями (1) и (2). Результирующее колебание, изображаемое вектором A , находим как геометрическую сумму векторов A1 и A2 . Модуль вектора A равен амплитуде результирующего колебания. На рисунке 1 использованы следующие обозначения: начальная фаза результирующего колебания, х1 и х2 - проекции векторов A1 и A2 на ось ОХ, у1 и у2 - проекции этих же векторов на ось ОУ. Так как частоты складываемых колебаний одинаковы, то разность фаз

результирующее колебание тоже будет являться гармоническим и может быть описано уравнением вида

используя векторную диаграмму (рис.1). Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим

Возводя выражения (5) и (6) в квадрат и складывая их согласно формуле (4), путем несложных преобразований получаем

Начальную фазу результирующего колебания найдем из того же прямоугольного треугольника (см.рис.1) и выражений (5) и (6):

На основании вышеизложенного приходим к выводу, что если тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, то результирующее колебание совершается в том же направлении и с той же частотой. Причѐм амплитуда результирующего колебания (см.формулу (7)) определяется разностью фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим три частных случая, следующих из анализа формулы (7):

4

складываемые колебания происходят в одинаковой фазе, то амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

разности амплитуд складываемых колебаний, если последние происходят в противофазе.

направления с одинаковыми амплитудами и близкими частотами. Для удобства будем считать, что начальные фазы складываемых колебаний равны 0. Тогда уравнения колебаний можно представить в виде:

Колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и характеризуются периодическим изменением амплитуды результирующего колебания со временем, называются биениями. Поэтому выражение (12), описывающее такие колебания, в свою очередь, называют

уравнением биений.

5

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Установка состоит из трех связанных физических маятников, два из которых представляют собой массивные диски, закрепленные на длинных плоских стержнях, вдоль которых они могут перемещаться. Изменение положения диска приводит к изменению частоты колебаний маятника. Таким образом, перемещая диск вдоль стержня, можно устанавливать частоту колебаний маятника.

6

В верхней части маятники соединены друг с другом посредством тонкого цилиндрического стержня, на который насажен третий маятник, выполненный в виде небольшой металлической стрелки. Эта стрелка показывает результирующее колебание, возникающее в результате сложения колебаний двух физических маятников, описанных выше. Шкала, размещенная в верхней части прибора, позволяет определить амплитуду результирующего колебания в некоторых условных единицах.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание 1. Изучение сложения гармонических колебаний с

одинаковыми частотами.

1.Закрепите диски обоих маятников в одинаковых положениях. Выведите один из маятников из положения равновесия и определите по шкале показания маятника-стрелки. В ту же самую сторону и на такой же угол отклоните второй маятник. Определите показания маятника-стрелки второй раз.

Оба маятника отклоните от положения равновесия на одинаковый угол

иотпустите их. Наблюдайте результирующее колебание. По результатам измерений и наблюдений ответьте на вопрос: "Какому частному случаю сложения колебаний соответствует результирующее колебание?"

2.Отклоните маятники от положения равновесия в противоположные стороны на одинаковые углы. Отпустите маятники и определите амплитуду результирующего колебания маятника-стрелки. Какому случаю сложения колебаний, описанных к разделе "КРАТКАЯ ТЕОРИЯ", соответствует наблюдаемое результирующее колебание?

Задание 2. Изучение биений.

1.Закрепите диски на стержнях таким образом, чтобы они были смещены относительно друг друга приблизительно на расстояние, равное диаметру диска.

2.Определите частоты колебаний маятников v1 и v2 . Для этого измерьте

время 20 полных колебаний сначала одного, а затем второго маятника. Измерения для каждого маятника повторите три раза. Рассчитайте среднее время 20 колебаний для каждого маятника. Вычислите частоты колебаний по формуле

где N - полное число колебаний, ti - время N полных колебаний. По формуле (16) рассчитайте теоретическое значение частоты биений.

3. Отклоните оба маятника от положения равновесия на одинаковые углы (≈8-10°) и отпустите их. Наблюдайте за колебанием маятника-стрелки. Измерьте время между двумя последовательными событиями, когда амплитуда маятника-стрелки становится равной нулю (или близка к нулю). Это время является периодом биений. Измерения повторите три раза. Вычислите среднее

7

значение периода биений.

4.Рассчитайте частоту биений. Сравните полученное значение частоты биений с теоретическим значением.

5.Постройте график биений. Для этого используйте компьютерную программу обработки результатов измерений. Копию программы можно получить у лаборанта лаборатории "Механика и молекулярная физика".

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какое колебательное движение можно считать гармоническим? Напишите уравнение гармонического колебания.

2.Объясните физический смысл характеристик гармонических колебаний: амплитуды, частоты, периода, фазы колебаний.

3.В чѐм сущность метода векторных диаграмм?

4.Какое колебание получается в результате сложения двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты? Используя метод векторных диаграмм, выведите выражения для амплитуды и фазы результирующего колебания.

5.Применяя метод векторных диаграмм, рассчитайте амплитуду результирующего колебания, возникающего в результате сложения двух

гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами равными А1=А2=2 см и начальными фазами φ1=150 и φ2=750.

6.Как определить амплитуду результирующего колебания, если складываются два гармонических колебания одного направления, одинаковой частоты и с одинаковой фазой?

7.Как определить амплитуду результирующего колебания, если складываются два гармонических колебания одного направления, одинаковой частоты, но с противоположными фазами?

8.Как определить амплитуду результирующего колебания, если складываются два гармонических колебания одного направления, одинаковой

частоты и разностью фаз кратной 2 .

9.Какие колебания называют биениями?

10.Каким образом меняется со временем амплитуда биений?

11.Сделайте вывод уравнения биений.

12.Что называют периодом и частотой биений? Каким образом можно рассчитать частоту биений, если известны частоты складываемых колебаний?

13.Сравните период изменения амплитуды колебаний и период

биений.

8