физика, механіка, 1 семестр / ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12 (новая)
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь Учреждение образования
«Могилевский государственный университет продовольствия»
Кафедра физики
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ
Методические указания
к выполнению лабораторной работы №12 по разделу «Молекулярная физика и термодинамика» курса физики для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения
Могилев 2011
УДК 532.516
Рассмотрены и рекомендованы к изданию
на заседании кафедры физики Протокол №9 от 12.05.2011
Составитель кандидат физ.-мат. наук, доцент
А.С. Скапцов
Рецензент доктор физ.-мат.наук, профессор
В.А. Юревич
УДК 532.516 ©Учреждение образования
«Могилевский государственный университет продовольствия», 2011
2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ
Цель работы: определение длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы азота (который составляет 78,1% воздуха) по коэффициенту внутреннего трения (вязкости).
Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндрический сосуд с капилляром, дополнительный капилляр, секундомер, стеклянный стаканчик, весы, разновесы, термометр, барометр.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Заметное отклонение молекул от прямолинейных траекторий при тепловом движении происходит только при их достаточном сближении. Такое взаимодействие между молекулами называется столкновением. Процесс столкновения молекул удобно характеризовать величиной эффективного диаметра молекулы. Под ним понимается минимальное расстояние, на которое могут сблизиться центры молекул при их столкновении.
Расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега молекулы. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как число молекул газа достаточно велико и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о некоторой средней длине свободного пробега молекул. Именно эта величина традиционно определяется для газов.
Средняя длина свободного пробега молекул газа может быть рассчитана по формуле:
Vар |
, |
(1) |
z |
|
|
где 
Vар 
- средняя арифметическая скорость движения газовых молекул; 
z
- среднее число соударений, испытываемых одной молекулой за время 1 с.
Для определения 
z
представим молекулу газа в виде шарика диаметром d, которая движется среди других молекул газа, находящихся в состоянии покоя.
Vар 
Vар
d
Рисунок 1 – Траектория движения молекулы газа
3
Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях равных или меньших d, т.е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (см. рис.1). Число столкновений за время 1 с равно числу молекул, находящихся в объеме «ломаного» цилиндра:
z |
nV |
(2) |
где n – концентрация молекул; |
V - объем, |
который за время равное 1 с |
занимает молекула газа (V 
d 2 
Vар 
). Таким образом, число столкновений можно оценить по формуле:
z n d 2 V . |
(3) |
ар |
|
Если учесть, что все молекулы газа находятся в состоянии хаотического движения, то для среднего числа столкновений формула (3) примет вид:
z |
2n d 2 V . |
(4) |
|
ар |
|
Среднее число столкновений для большинства газов при нормальных условиях составляет от 109 до 1010 с-1.
Подставляя выражение (4) в (1), находим среднюю длину свободного пробега молекул:
|
1 |
. |
(5) |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
2 d 2n |
|||
|
|
|
||
Вмолекулярно-кинетической теории идеальных газов получены формулы,
вкоторых макроскопические параметры газа (давление, объем, температура) связаны с его микропараметрами (размером молекулы, ее массой, скоростью). Пользуясь этими формулами и выполнив измерения давления и температуры, можно оценить размер молекул и их среднюю длину свободного пробега.
Согласно молекулярно-кинетической теории вязкость газа связана со средней длиной свободного пробега молекулы соотношением
|
|
|
|
1 |
г |
|
Vар |
, |
(6) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|||||
где - коэффициент динамической вязкости; |
|
г - плотность газа. |
|||||||
Из формулы (6) находим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
г Vар |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Средняя арифметическая скорость молекул описывается полученной из закона распределения молекул идеального газа по (закон Максвелла):
|
|
|
1 |
|
|
|
8RT |
2 |
|
||
Vар |
|
, |
|||
М |
|||||
|
|
|
|
||
формулой, скоростям
(8)
где R – универсальная газовая постоянная; Т - абсолютная температура; М - молярная масса воздуха.
Рассмотрим движение газа по каналу кругового сечения (капилляру). При малых скоростях потока течение газа является ламинарным (слоистым). В этом
4
случае скорость уменьшается по мере удаления от оси канала к стенкам по параболическому закону. С увеличением скорости потока характер течения меняется, постепенно переходя из ламинарного - в турбулентное, при котором происходит перемешивание слоев газа. При турбулентном течении скорость газа в каждой точке пространства быстро меняет и величину и направление, а сохраняется только средняя величина скорости.
Характер течения газа в канале (ламинарный или турбулентный) определяется безразмерным параметром, который носит название число Рейнольдса:
Re |
Ur г |
, |
(9) |
|
где U - средняя скорость потока; r - радиус канала.
В гладких каналах круглого сечения (трубах) переход от ламинарного к турбулентному течению происходит приблизительно при числах Рейнольдса
Re>2300.
При установившемся течении объемный расход газа в канале Q (объем газа, проходящего через поперечное сечение за единицу времени) определяется формулой Пуазейля:
Q |
V |
|
r4 |
p2 , |
(10) |
|
г |
|
|
p1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
8l |
|
|
|
где Vг – объем газа; l – длина канала; p1 |
p2 |
p - разность давлений на |
||||
концах канала.
При выводе и использовании формулы Пуазейля действуют определенные ограничения, заключающиеся в следующем:
1 Течение газа в канале должно быть ламинарным (число Рейнольдса
Re<2300);
2 Газ является несжимаемым; 3 Формула Пуазейля справедлива для участков канала, на которых
параболический профиль скорости газа по сечению не меняется при движении вдоль потока, т.е. течение считается установившимся.
В момент попадания газа в цилиндрический канал скорости слоев одинаковы по всему сечению (см. участок А, рис.2).
А |
B |
C |
|
D |
|
|
|
|
|
L0
Рисунок 2 – Изменение профиля скорости течения газа в цилиндрическом канале при удалении от входа
5
По мере продвижения газа по каналу картина распределения скорости меняется (см. участки B, C и D, рис.2), так как сила трения о стенку тормозит прилежащий к ней слой. Характерное для ламинарного течения параболическое распределение скорости устанавливается на некотором расстоянии L0 от входа в канал, которое зависит от радиуса канала r и числа Рейнольдса следующим образом:
|
|
|
L0 |
0,2r Re . |
(11) |
|||||||
Коэффициент динамической вязкости газа можно определить, |
||||||||||||
воспользовавшись формулой Пуазейля (10) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p r |
4 t |
. |
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
8lVг |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив выражения (8) и (12) в формулу (7) и выполнив |
||||||||||||
преобразования, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
p r4 t |
|
М |
2 . |
(13) |
|||
0,74 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
г lVг |
|
RT |
|
||||
Эффективный диаметр молекулы можно вычислить из формулы (5), выражающей его связь с длиной свободного пробега:
dэф |
|
1 |
. |
2 |
|
||
|
|
n |
Воспользуемся уравнением состояния идеального газа p чтобы определить концентрацию молекул n при данных условиях:
n kTp .
Здесь р - атмосферное давление, k - постоянная Больцмана. Подставив (15) в (14), получаем выражение для расчета
диаметра молекул газа (воздуха)
kT
dэф 
2
p .
(14)
nkT , для того
(15)
эффективного
(16)
Для вычисления длины свободного пробега по формуле (13) необходимо знать радиус и длину канала (капилляра), через который протекает газ, перепад давлений на его концах, а также температуру воздуха и объем газа, прошедшего через капилляр за определенное время.
Для вычисления эффективного диаметра молекул воздуха по формуле (16) следует измерить температуру и давление окружающей среды и рассчитать на основе экспериментальных данных среднюю длину свободного пробега молекул.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Использование формул (13) и (16) для расчета средней длины свободного пробега молекул и эффективного диаметра молекул предполагает наличие информации о характеристиках воздуха (плотность, молярная масса,
6
температура) и параметрах экспериментальной установки (длина и радиус капилляра). По результатам измерений можно рассчитать объем газа, проходящего через капилляр, и перепад давления на концах капилляра. Для того чтобы получить соответствующие выражения, рассмотрим схему экспериментальной установки. На штативе 1 крепится цилиндрический сосуд 2, верхняя часть которого закрыта резиновой пробкой 3.
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1
5 |
h2 |
6
7
Рисунок 3 – Схема экспериментальной установки
В пробке просверлено отверстие, в которое вставлен стеклянный капилляр 4 длиной l и радиусом r. В нижней части сосуда расположен другой капилляр 5 большего радиуса R. На выходе этого капилляра находится двухходовой кран 6, с помощью которого регулируется течение воды из сосуда 2. Вытекающая вода попадает в мерный стакан 7.
Перепад давления на концах капилляра 4 ( р) можно оценить, воспользовавшись уравнением Бернулли (законом сохранения энергии применительно к установившемуся течению жидкости):
u2 |
gh p1 |
u2 |
p2 |
(17) |
|
1 |
2 |
||||
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
где - плотность воды при температуре опыта; g - ускорение свободного падения; u1 - скорость понижения уровня воды в стеклянном сосуде 2; u2 - скорость истечения воды из капилляра 5 в мерный стакан 7; р1 - давление на поверхности воды в стеклянном сосуде; р2 - атмосферное давление, h - высота столба воды в стеклянном сосуде.
7
Величины р1 и р2 в формуле (17) представляют собой статическое
давление, величины |
u |
2 |
и |
|
|
u 2 |
- |
динамическое давление, величина |
gh - |
||
1 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
гидростатическое давление воды. |
|
|
|
||||||||
Решая уравнение (17), определяем искомую разность давлений: |
|
||||||||||
|
|
p |
|
|
u2 |
u2 |
gh . |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что скорость перемещения поверхности воды (u1) намного |
|||||||||||
меньше скорости вытекания воды из капилляра (u2), имеем: |
|
||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
u2 |
gh . |
(18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, перепад давления на концах капилляра зависит как от h, так и от скорости истечения жидкости (u2).
При небольших изменениях высоты столба воды можно считать, что скорость u2 будет постоянной величиной. В этом случае высота h будет линейной функцией времени и формулу (18) можно представить в виде:
p |
|
u2 |
g |
h1 h2 |
, |
(19) |
|
|
|||||
2 |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
||||
где h1 и h2 - начальная и конечная высоты столба воды в сосуде 2. Скорость u2 можно определить, зная время t истечения жидкости из
стеклянного сосуда 2 и ее объем V, а также площадь сечения S большего капилляра 5, из которого вытекает вода:
u2 |
V |
. |
(20) |
|
|||
|
St |
|
|
Подставив (20) в (19), и учитывая, что S= R2, где R - радиус нижнего |
|||
капилляра, получаем: |
|
|
|
|
|
|
V 2 |
|
h |
h |
|
|
p |
|
|
|
g |
1 |
2 |
. |
(21) |
|
|
2 R4 t 2 |
|
|
||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1 Заполните сосуд 2 водой и измерьте начальный уровень h1 воды в сосуде.
2 Подставьте предварительно взвешенный мерный стакан 7 под капилляр 5. Откройте кран 6 так, чтобы вода вытекала из сосуда равномерно непрерывной струйкой. Одновременно с поворотом крана 6 включите секундомер.
3Когда в стакан нальется 50 - 70 см3 воды, перекройте воду краном и остановите секундомер. Запишите время истечения жидкости.
4Измерьте уровень воды h2, оставшейся в сосуде.
5Взвесьте стакан с водой на аналитических весах. По массе вытекающей воды определите ее объем V (см.формулу 21), который будет равен объему воздуха Vг (см.формулу 13), вошедшего в сосуд через капилляр 4.
6По формуле (21) определите перепад давления на концах капилляра 4.
8
7 Атмосферное давление определите по барометру, а температуру воздуха и воды измерьте комнатным термометром.
8 По формуле (13) рассчитайте среднюю длину свободного пробега молекул воздуха, а по формуле (16) - эффективный диаметр молекул.
9 Повторите опыт 3 раза и по результатам измерений определите средние
значения 
и dэф.
10 Оцените погрешность результатов измерений и результат представьте в виде:
cp
11. При выполнении расчетов пользуйтесь следующими величинами: R=8,31 Дж/(моль К) – универсальная газовая постоянная;
k =1,38 10-23Дж/К - постоянная Больцмана; М =29 10-3кг/моль – молярная масса воздуха; ρг =1,21 кг/м3 – плотность воздуха; ρ =1000 кг/м3 – плотность воды.
12 Сравните рассчитанные значения средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул со справочными данными.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что такое эффективный диаметр молекул и средняя длина свободного пробега молекулы?
2.От чего зависит среднее число столкновений молекул газа?
3.Как связаны между собой средняя длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул?
4.Запишите формулу, устанавливающую связь коэффициента динамической вязкости и средней длины свободного пробега.
5.Каков характер ламинарного и турбулентного течений газа в канале?
6. Что характеризует число Рейнольдса?
7. Что рассчитывают по формуле Пуазейля?
8.Какие ограничения применяют при выводе и применении формулы Пуазейля?
9.Запишите уравнение состояния идеального газа.
10.Запишите уравнение Бернулли применительно к экспериментальной установке.
11.Расскажите о порядке проводимых измерений.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Общие требования и правила оформления учебных текстовых документов: СТП СМК 4.2.3-01-2011. -Введ. 07.04.2011. - Могилев: Могилевский государственный университет продовольствия, 2011. – 40 с.
2Савельев И. В. Курс общей физики. В 3т., Т. 2. - СПб.: Лань, 2007.- 336 c.
3Савельев И. В. Курс общей физики. Кн. 1. - М.
АСТ Астрель, 2006. - 336 с.
4Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2007. -558c.
9
Учебное издание
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ
Методические указания
Составитель Скапцов Андрей Сергеевич
Редактор А.А. Щербакова Технический редактор Т.В Багуцкая
Подписано в печать Формат 60х84 1/16 |
Бумага офсетная. |
|
Гарнитура Таймс. Ризография. |
Усл. печ. л. |
Уч.-изд. л. |
Тираж __ экз. |
Заказ ___ |
|
Учреждение образования «Могилѐвский государственный университет продовольствия».
ЛИ №02330/0131913 от 08.02.2007. пр-т Шмидта, 3, 212027, Могилѐв.
Отпечатано в учреждении образования «Могилѐвский государственный университет продовольствия».
пр-т Шмидта, 3, 212027, Могилѐв.
10