EL112 / CIRC6P

ГЛАВА 7

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

7.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Процессы происходящие при изменении режима в электрической цепи называются переходными (включение, выключение, короткое замыкание и т.д.).

В некоторых устройствах переходные процессы являются рабочими.

В электрических цепях содержащих только активные сопротивления R переходные процессы не возникают.

Для электрических цепей, которые содержат линейные постоянные элементы R, L, C переходные процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

7.2 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ R,L,C (Ðèñ.7.1).

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.1

Дифференциальное уравнение цепи

ﾵ ﾧ

и его решение в виде

ﾵ ﾧ

ﾵ ﾧ

Частное решение

Åñëè t ® ¥ è e = E, то согласно схеме (Рис.7.2)

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.2

установившиеся значения будут

ﾵ ﾧ è ﾵ ﾧ

Общее решение

В этом случае получим схему (Рис.7.3) и дифференциальное уравнение

ﾵ ﾧ.

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.3

Решение такого уравнения для напряжения получается в виде

ﾵ ﾧ

И тогда ток будет

ﾵ ﾧ.

Здесь: À₁ è À₂ - постоянные интегрирования;

ð₁ è ð₂ - корни характеристического уравнения ﾵ ﾧ.

Полное решение для напряжения представляет сумму

ﾵ ﾧ

è äëÿ òîêà

ﾵ ﾧ

Начальные условия решения уравнений находятся согласно законам коммутации:

1) Ток в цепи с индуктивностью не может измениться скачком

ﾵ ﾧ;

2) Напряжение на емкости не может измениться скачком

ﾵ ﾧ.

Решение для t=0 , находим как

ﾵ ﾧ

ﾵ ﾧ,

откуда получаем постоянные интегрирования

ﾵ ﾧ ﾵ ﾧ.

Однако характер переходного процесса зависит от корней характеристического уравнения ﾵ ﾧ

ﾵ ﾧ.

Рассмотрим три случая по порядку:

1) åñëè ﾵ ﾧ, òî ﾵ ﾧ комплексные сопряженные корни и процесс будет колебательным (Рис.7.4 кривая à).

2) åñëè ﾵ ﾧ, òî ﾵ ﾧ è ﾵ ﾧ действительные разные корни и процесс будет апериодическим (Рис.7.4 кривая á).

3) åñëè ﾵ ﾧ, òî ﾵ ﾧ действительные равные корни и будем иметь предельный случай апериодического процесса (Рис.7.4 кривая â).

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.4

7.2.1 Заряд конденсатора через резистор (Ðèñ.7.5)

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.5

Дифференциальное уравнение цепи

ﾵ ﾧ

и его решение находим в виде

ﾵ ﾧ

Частное решение

Åñëè t ® ¥, то получим

ﾵ ﾧ.

Общее решение

В этом случае дифференциальное уравнение будет

ﾵ ﾧ

и его решение всегда получается в виде

ﾵ ﾧ,

ãäå: À - постоянная интегрирования;

p= -1/RC - единственный корень характеристического уравнения

ﾵ ﾧ.

Величина t = RC называется постоянной времени заряда. Чем больше t, тем больше время переходного процесса. Для t = (4-5)t переходный процесс практически заканчивается.

Полное решение уравнения для напряжения находим как сумма

ﾵ ﾧ.

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

ﾵ ﾧ

и тогда À = -Å.

Следовательно

ﾵ ﾧ,

à òîê

ﾵ ﾧ,

ãäå ﾵ ﾧначальное значение тока.

Таким образом ток в этой цепи изменяется скачком и затем спадает до нуля, а напряжение монотонно возрастает до величины э.д.с.(Рис.7.6).

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.6

7.2.2 Разряд конденсатора через резистор (Ðèñ.7.7)

Дифференциальное уравнение будет таким же, как при заряде конденсатора, однако Å=0 и тогда ﾵ ﾧ.

Решение уравнения находим в виде

ﾵ ﾧ.

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.7

Частное решение

Åñëè t ® ¥, то получим

ﾵ ﾧ

Общее решение

В этом случае решение получается в виде

ﾵ ﾧ.

Полное решение уравнения для напряжения находим как сумма

ﾵ ﾧ.

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

ﾵ ﾧ

и тогда À = Å.

Следовательно

ﾵ ﾧ,

à òîê

ﾵ ﾧ,

ãäå ﾵ ﾧначальное значение тока.

То есть как и в предыдущем случае ток в этой цепи изменяется скачком и затем спадает до нуля, однако напряжение монотонно спадает до нуля (Рис.7.8).

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.8

7.2.3 Подключение индуктивности к иточнику постоянной э.д.с. через резистор (Ðèñ.7.9)

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.9

Диффференциальное уравнение электрического состояния такой цепи будет

ﾵ ﾧ

и его решение для тока получим в виде

ﾵ ﾧ.

Частное решение

Åñëè t ® ¥, то получим

ﾵ ﾧ.

Общее решение

В этом случае дифференциальное уравнение будет

ﾵ ﾧ

и его решение всегда получается в виде

ﾵ ﾧ,

ãäå: À - постоянная интегрирования;

p= -R/L - единственный корень характеристического уравнения

ﾵ ﾧ.

Величина t = L/R называется постоянной времени процесса.

Полное решение уравнения для тока находим как сумма

ﾵ ﾧ.

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

ﾵ ﾧ

и тогда À = -Å/R.

Следовательно

ﾵ ﾧ.

Напряжение на резисторе определим по закону Ома

ﾵ ﾧ,

а на индуктивности исходя из формулы

ﾵ ﾧ.

На рисунке 7.10 представлены кривые тока и напряжений на резисторе и индуктивности, из которых видно, что напряжение u_L в этой цепи изменяется скачком и затем спадает до нуля, в то время как ток и напряжение u_R монотонно возрастают.

ﾵ ﾧ

Ðèñ.7.10