Исследование сау на фазовой плоскости
Для изучения процессов в САУ введем понятие фазового пространства системы. Для этого уравнения САУ представим в форме Коши:
При
- ненулевые начальные условия:
.
При
фазовое пространство вырождается в
фазовую плоскость с координатами
и
.
n=3 Трехмерное фазовое пространство
САУ удобно исследовать на фазовой плоскости , но для этого их надо упрощать до дифференциального уравнения второго порядка путем пренебрежения параметрами и выбора двух наиболее существенных фазовых координат.
Рассмотрим фазовые траектории САУ второго порядка.
(1)
Сделаем подстановку
(2)
Тогда
.
(3)
Учтем, что из (2)
Тогда (3) перепишется
и уравнение фазовых траекторий примут вид:
На фазовой плоскости точка
находится в начале
координат и является точкой установившегося
состояния или особой
точкой.
Точка называется особой, так как через нее проходит множество траекторий ( к установившемуся состоянию можно придти путем многих переходных процессов)
Если фазовый портрет входит в эту точку , то установившееся состояние устойчивое, если выходит –неустойчивое.
Связь фазовых траекторий и переходных процессов.
Рассмотрим фазовые траектории САУ второго порядка при различных его параметрах, т.е. при разных корнях характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (1):
1.
2. .
При этом соотношения
коэффициентов таково, что
3.
Соотношение параметров таково, что корни – вещественные.
4.
