- •Устойчивость многомерных стационарных систем
- •Устойчивость сау с переменными коэффициентами
- •Точность сау на установившемся режиме
- •Коэффициенты ошибок
- •Повышение точности сау
- •1. Увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы
- •2. Повышение порядка астатизма
- •Улучшение качества процессов регулирования
- •Синтез сау
- •Элементы теории нелинейных сау
- •Точные методы исследования нелинейных сау
- •1.Неоднозначная нелинейная характеристика
- •2.Система с релейной характеристикой
- •3.Нелинейность типа реле
- •Абсолютная устойчивость процессов
- •Приближенные методы исследования нелинейных сау
- •Исследование сау на фазовой плоскости
Синтез сау
До сих пор мы в основном изучали задачу анализа САУ, когда математическая модель замкнутой САУ считалась заданной, и требовалось определить качество её работы: устойчивость, точность воспроизведения входного сигнала и т.п.
Важной, и более сложной, является задача синтеза, когда заданными считаются математическая модель управляемого объекта ( и может быть измерительного и исполнительного устройств). Требуется выбрать структуру САУ, закон управления и числовые значения параметров регулятора, определяющие желаемое качество САУ.
С задачами синтеза мы уже встречались. Синтез САУ можно проводить, используя критерии устойчивости, Д-разбиение, методы корневых годографов.
Синтез одномерных одноконтурных САУ с единичной ООС с помощью ЛАФЧХ разомкнутой системы
Этот метод использует тесную связь между переходной функцией замкнутой САУ при ступенчатом воздействии и вещественной частью частотной характеристики замкнутой САУ.
, здесь . (1)
.
Т.о. по частотным характеристикам разомкнутой системы можно определить частотные характеристики замкнутой системы и наоборот. Имеются номограммы, связывающие эти частотные характеристики.
По мы можем оценить переходный процесс (см. (1)).Таким образом, зная, мы можем оценить переходный процесс в системе.
Решать задачу синтеза САУ по частотным характеристикам удобнее, когда частотные характеристики построены в логарифмическом масштабе.
В логарифмическом масштабе по оси ординат у откладывается вдб.
увеличение этого соотношения в 10 раз соответствует увеличению
По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе.
Декада – изменение частоты в 10 раз.
Главное преимущество построения частотных характеристик в логарифмическом масштабе состоит в том, что их можно строить приближенно, практически без вычислений.
Возьмем инерционное звено . Его передаточная функция ,
-АЧХ. Частота, где , т.е.- частотасопряжения.
При приближенном построении ЛАЧХ:
1) впренебрегаеми, адБ
2) впренебрегаем 1 ии в логарифмическом масштабе
Определим наклон при :
.
Наклон== - 20дб/дек.
Следовательно, строя АЧХ в логарифмическом масштабе, можно убывающую часть характеристики заменить прямой с наклоном - 20дб/дек. Наибольшая погрешность будет в точке изгиба ( ).
Интегрирующее звено.
, ,, при.
Наклон:
Наклон=-20 дб/дек
Аналогично можно показать, что у дифференцирующего звена наклон будет + 20 дб/дек.
Рассмотрим сначала на примере принцип построения приближенной ЛАЧХ (ФЧХ рассчитываются точно по формулам).
Приближенность построения ЛАЧХ заключается в том, что в частотной характеристике в членах :
при пренебрегают членоми звено рассматривают как усилительное;
при пренебрегают 1 и рассматривают их как интегрирующее звено с частотной характеристикой, наклон характеристики которого– 20 дб/дек и при величина амплитуды равна20lgK.
Частота , где -называетсячастотой сопряжения.
Определим частоты сопряжения, где ()
Во что превратится с учетом сделанных предположений:
.
.
Откладываем на оси частот частоты сопряжения.
Построение начинаем с интегрирующего звена: на частоте откладываем20lgK=20lg100=40дб и проводим линию с наклоном -20дб/дек. На частоте «подсоединяем» еще одно интегрирующее звено – наклон стал-40дб/дек.
На частоте «подсоединяются» два дифференцирующих звена. У одного дифференцирующего звена наклон+20дб/дек, у двух интегрирующих звеньев наклон будет +40дб/дек, следовательно, результирующий наклон прибудет -40дб/дек+40дб/дек=0 дб/дек.
На частоте «подсоединится еще одно интегрирующее звено и наклон станет - 20 дб/дек.
Фазо-частотная характеристика рассчитывается.
1зв 2зв | |||||
0 | |||||
0,2 | |||||
0,8 | |||||
25 | |||||
∞ |
С помощью ЛАЧХ и ФЧХ нетрудно установить устойчивость замкнутой системы.
Согласно критерию устойчивости Найквиста, замкнутая САУ устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы имеет вид (астатическая система):
- запас устойчивости по амплитуде. , а до равенства амплитуды 1 не хватает.
Теперь перенесем всё это на ЛАФЧХ.
Когда фаза равна , то- запас устойчивости по амплитуде.
Для устойчивости САУ необходимо, чтобы на
Синтез САУ с помощью ЛАЧХ
проводится следующим образом:
САУ представляют
В входят объекти известные элементы регулятора, например, измерительные, исполнительные устройства.
-корректирующее устройство, котороенадо определить в процессе синтеза.
Тогда передаточная функция разомкнутой системы
Здесь - передаточная функция САУ, динамика которой удовлетворяет требованиям, предъявляемым к проектируемой системе.
Тогда в логарифмическом масштабе
.
Для минимально-фазовых САУ вид ЛАЧХ полностью определяет переходный процесс и не надо рассматривать фазо-частотную характеристику.
Минимально-фазовые звенья (системы) – такие, у которых корни числителя и знаменателя расположены в левой полуплоскости. Таким образом, передаточная функция минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов в левой полуплоскости.
.
В литературе приводятся таблицы, связывающие вид с
и с соответствующими схемами корректирующих устройств, реализующих эти . Приведенная вышеможет быть реализована в виде следующей корректирующей цепочки:
Здесь имы знаем.
По графику определяеми,.
- отсюда находим.
По графику определяем.
=- отсюда определяем.
=- отсюда определяем.
- отсюда определяем .
отсюда определяем .
- отсюда определяем .
Определив параметры корректирующего звена, вводим его в систему и моделируем САУ, получаем переходный процесс. Если он не устраивает – меняем параметры звена.
Требования к .
Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится из общих требований к системе:
точность ( определяет коэффициент усиления),
порядок астатизма,
время переходного процесса,
перерегулирование.
.
А можно по другому:
,- находится из номограмм, определяющих зависимость, здесь- перерегулирование.
Например,
2. Для того, чтобы САУ была устойчивой, должна пересекать ось частот с наклоном- 20 дб/дек.
3.Для обеспечения заданного
4.Среднечастотную часть характеристики надо делать как можно шире. Чем больше диапазон , тем ближе процесс к экспоненциальному.
Среднечастотная часть в основном и определяет качество переходного процесса.
Низкочастотная часть определяет точность процесса управления.
Существует и другой способ определения конечных точек центрального отрезка:
Запас устойчивости по фазе в точке при, определяемый по ЛФЧХ, должен быть не меньше
Запас устойчивости по модулю (по амплитуде) в точке L2 выбирается в зависимости от перерегулирования :
Высокочастотная часть, чтобы не усложнять корректирующее устройство, выбирают аналогичной исходной ЛАЧХ.
После построения надо проверить запас устойчивости по фазе. (на)
К сожалению, этот метод синтеза не гарантирует требуемого качества переходного процесса.
Порядок расчетов при синтезе САУ с последовательным
корректирующим устройством
Строится ЛАЧХ неизменной части САУ (без корректирующего уст-
ройства) .
2.По заданным требованиям к качеству строится желаемая ЛАЧХ .
3. По строится соответствующая ЛФЧХ.
4. Определяются запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
5. Путем вычитания из находят ЛАЧХ корректирующего устройства.
6.По выбирают его технический аналог.
7. Если технический аналог отличается, надо скорректировать с учетом технического аналога.
Если получен хороший результат, то решение задачи синтеза заканчивается. Если результат не удовлетворяет выбирается другой аналог.
Синтез САУ методом корневых годографов
Качество проектируемой САУ с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы.
Зная корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости. Корни могут быть определены расчетами с использованием стандартных программ.
Чем больше - степень устойчивости, и чем меньше- степень колебательности, тем лучше качество САУ.
При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которая называется траекторией корней или корневым годографом. Построив траектории всех корней , можно выбрать такое значение варьируемых параметров, которые соответствуют наилучшему расположению корней.
Пусть имеется передаточная функция замкнутой системы
.
Коэффициенты числителя и знаменателя определенным образом выражены через параметры объекта, регулятора, корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра, то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех остальных параметров, а для искомого параметра задавать различные числовые значения. Для каждого задаваемого значения варьируемого параметра необходимо вычислять значения корней числителя и знаменателя и строить траектории корней, по которым выбирают то значение параметра, которое обеспечивает наилучшее расположение корней.
Синтез с использованием стандартных переходных процессов
(метод стандартных коэффициентов)
Частный способ использования этого метода – диаграмма Вышнеградского для систем третьего порядка.
Стандартные переходные процессы строятся в нормированном виде при единичном входном воздействии по безразмерному времени , где- среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющего быстродействие системы ( не степень устойчивости).
.
Пусть все корни вещественные и равные.
Тогда характеристическое уравнение
(1)
Здесь - коэффициенты бинома Ньютона или биноминальные коэффициенты, которые определяются из треугольника Паскаля.
Коэффициенты имеют вид:
Порядок уравнения |
Коэффициенты |
n=1 |
1 |
n=2 |
1,2,3 |
n=3 |
1,3,3,1 |
n=4 |
1,4,6,4,1 |
n=5 |
1,5,10,10,5,1 |
Например. n=5, заданное tпп=3.По графику (ниже) находим, что .
Тогда
Тогда передаточная функция, обеспечивающая tпп=3 будет иметь вид:
Как проводится синтез с использованием этого метода:
Выбирается приемлемый вид стандартного переходного процесса.
По нему определяется , из которого находится
По ,n и коэффициентам бинома Ньютона ( из таблицы) находят коэффициенты передаточной функции.
Введением корректирующих устройств и выбором других параметров регулятора добиваются, чтобы коэффициенты передаточной функции системы равнялись коэффициентам
Синтез линейных САУ путем выделения границ устойчивости и границ заданной степени устойчивости
Выделив методом Д-разбиения область устойчивости, мы должны выбирать рабочую точку (определяемую параметрами системы) внутри этой области. Однако разным точкам будет соответствовать разное распределение корней характеристического уравнения, а следовательно, и разный характер переходного процесса. Хотелось бы иметь хороший переходный процесс.
Известно, что длительность переходного процесса определяется ближайшим к мнимой оси корнем.
. Если нам задано требуемое время переходного процесса , то мы можем определить.Если корни будут расположены левее, то длительность переходного процесса будет меньше заданного .
С помощью метода Д-разбиения можно отобразить на комплексную плоскость не только мнимую ось, но и границу заданной степени устойчивости
Выбирая рабочую точку внутри области ,будем иметь длительность переходного процесса , меньше заданного .
Для построения границы заданной степени устойчивости в характеристическое уравнение
(1)
надо подставить
Тогда
(2)
Преобразуем (2):
(3)
В уравнении (3) коэффициенты являются функциямии.
Если в уравнении (3) параметры, в плоскости которых хотим построить границу заданной степени устойчивости, входят в характеристическое уравнение линейно независимо, то к уравнению (3) можно применить рассмотренный раньше метод Д- разбиения. Выделенная граница будет линией заданной степени устойчивости.