Глава 4. Регрессионный анализ данных в сфере управления (двумерный случай)

4.1. Виды регрессионных моделей

Довольно часто исследователь сталкивается с необходимостью анализа данных, преследуя конечную цель – построение математических моделей.

Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике, общественных науках, даже в исследованиях политических процессов. Их роль не ограничивается анализом сущности происходящих процессов. Модели, если они адекватны описываемым явлениям, могут быть использованы для прогноза значений зависимой переменной в будущем или для других наборов значений объясняющих (независимых) переменных. Первая задача носит название экстраполяция, вторая – интерполяция.

Для анализа и/или прогноза применяются три основных класса моделей:

- тренда:

y(t) = T(t) + _t, (4.1)

где T(t) – временной тренд заданного параметрического вида (например, линейный T(t) = a + bt), где _t — случайная компонента;

- сезонности:

y(t) = S(t) + _t, (4.2)

где S(t) – периодическая (сезонная) компонента, _t – случайная компонента;

- тренда и сезонности:

y(t) = T(t) + S(t) + _t (аддитивная) (4.3)

или

y(t) = T(t)  S(t) + _t (мультипликативная), (4.4)

где T(t) – временной тренд заданного параметрического вида, S(t) – периодическая (сезонная) компонента, _t – случайная компонента.

Кроме этих простейших, к моделям временных рядов относится также множество более сложных моделей, таких как модели адаптивного прогноза, модели авторегрессии и скользящего среднего и др. Все эти модели имеют общую черту: они объясняют поведение временного ряда, основываясь только на его предыдущих значениях. Такие модели могут применяться для изучения и прогнозирования объема продаж билетов на различные виды транспорта, спроса на товары сезонного ассортимента, краткосрочного прогноза процентных ставок и т.п.

Регрессионные модели с одним уравнением

В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная представляется в виде функции

y = f(x, ) = f(x₁, x₂, ..., x_k, ₁, ₂, ..., _р), (4.5)

где x₁, x₂, ..., x_k – независимые (объясняющие) переменные, ₁, ₂, ..., _р – параметры, определяемые из наблюдений. В зависимости от вида функции f(x, ) различают линейные (по параметрам) и нелинейные модели.

Область применения таких моделей, даже линейных, значительно шире. В основном нас интересуют именно эти модели. Многие процессы и явления могут быть описаны линейными (по параметрам) регрессионными моделями.

Системы одновременных уравнений

Эти модели представляется в виде системы уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых, помимо объясняющих переменных, может включать в себя также объясняемые переменные из других уравнений системы. В качестве иллюстрации приведем модель спроса и предложения, широко применяемую в экономике.

Пусть Q_t^D – спрос на товар в момент времени t (demand), Q_t^S – предложение товара в момент времени t (supple), P_t – цена товара в момент времени t (price level), Y_t – доход в момент времени t (income). Составим следующую систему уравнений «спрос – предложение»:

Q_t^S = ₀ + ₁ P_t + ₂ P_t-1 + _t (предложение), (4.6)

Q_t^D = ₀ + ₁ P_t + ₂ Y_t + u_t (спрос), (4.7)

Q_t^S = Q_t^D (равновесие). (4.8)

Цена товара P_t и спрос на товар Q_t=Q_t^S=Q_t^D определяются из уравнений модели одновременно (отсюда и термин «одновременные уравнения»), и поэтому обе эти переменными должны считаться эндогенными. Предопределенными (экзогенными) переменными в данной модели являются доход Y_t и значение цены в предыдущий момент времени P_t-1.

При моделировании социально-экономических процессов мы встречаемся с двумя видами данных: пространственные данные (cross-sectional data) и временные ряды (time-series data).

Пространственными данными является, например, набор статистических показателей по разным регионам, измеренных в один и тот же момент времени («пространственный срез» в широком смысле). Для построения регрессионных моделей пространственные данные используются часто.

Примерами временных данных могут служить ежегодные данные по инфляции, средней заработной плате, национальному доходу и т.п. Отличительной чертой временных данных является то, что они естественным образом упорядочены во времени. (Заметим, однако, что часто наблюдения в близкие моменты времени бывают зависимыми, что вынуждает иногда использовать довольно сложные авторегрессионные модели.)