- •Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 4
- •Указания к выполнению контрольной работы 1
- •Решение
- •Метод Крамера.
- •Тема 2. Введение в математический анализ
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Основные формулы
- •Указания к выполнению контрольной работы 2
- •Решение
- •Тема 5. Комплексные числа
- •Тема 6. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Задания контрольной работы № 2
- •151 – 175.
- •Формулы интегрирования
Решение
Построим тело, полученное вращением фигуры, ограниченной линиями: ,х = 0, у = вокруг оси Оу.
–парабола, с вершиной в точке (0; 0).
Точка пересечения с осями координат (0; 0).
у
у =
0 х
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу вычисляется по формуле .Выразим .
(ед3).
б) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: , у = -4.
Решение
Построим тело, полученное вращением фигуры, ограниченной линиями: , у = -4 вокруг оси Ох.
–парабола, с вершиной в точке (0; 0), ветви параболы направлены вниз.
Точка пересечения с осями координат (0; 0).
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох вычисляется по формуле .
.Выразим .
Найдем точки пересечения параболы и прямойу = - 4:
, ,
у
4
- 4
(ед3).
№ 8. Найти длину окружности с центром в начале координат и радиуса R.
Решение
Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах находится по формуле:
. у
0 х
Так как , то.
Найдем часть ее длины от точки (0;R).
Значит, .
Если уравнение окружности записать в параметрическом виде:
х = R cos t, y = R sin t (), то длина l кривой находится по формуле:
.
,
.
Задания контрольной работы № 2
1 – 25. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить график.
1. . 2..
3. . 4..
5. . 6..
7. . 8..
9. . 10.
11. . 12..
13. . 14..
15. . 16..
17. . 18..
19. . 20..
21. . 22..
23. . 24..
25. .
26 – 50. Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел. Изобразить все числа на комплексной плоскости. Записать комплексные числа z1 и z2 в тригонометрической и показательной форме.
26. z1 = 3 - 3i, z2 = - 1 – i. 27. z1 = 3i, z2 = - 1 + i.
28. z1 = - 2 - i, z2 = - 1 – i. 29. z1 = - 3 + 3i, z2 = 2 – 2i.
30. z1 = - 2i, z2 = - – i. 31. z1 = - 5 + 5i, z2 = –2 i.
32. z1 = 6 + 6i, z2 = - + i. 33. z1 = 2 - i, z2 = 1 – i.
34. z1 = - 4 + 4i, z2 = 2 + 2i. 35. z1 = 2i, z2 = 2 – 2i.
36. z1 = 5i, z2 = – i. 37. z1 = 7 - 7i, z2 = – i.
38. z1 = 1 - i, z2 = - i. 39. z1 = 3 - i, z2 = 3 i.
40. z1 = 4i, z2 = 2 - 2i. 41. z1 = 2 - 2i, z2 = 1 + i.
42. z1 = 2 + 2i, z2 = - 2 + 2i. 43. z1 = - 5i, z2 = + i.
44. z1 = - 7 + 7i, z2 = 7 i. 45. z1 = 1 + i, z2 = - 3 + i.
46. z1 = - 3 + i, z2 = -7 i. 47. z1 = - 4i, z2 = - 2 - 2i.
48. z1 = - 4 - 4i, z2 = 1 - i. 49. z1 = - 8 + 8i, z2 = 1 - i.
50. z1 = 6i, z2 = 2 + 2i.
51 – 75. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и в) результаты проверить дифференцированием.
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б) ;
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
а) ; б);
в) г).
а) ; б) ;
в) ; г).
а) ; б);
в) ; г).
76 – 100. вычислить определенный интеграл.
76. . 77..
78. . 79..
80. . 81..
82. . 83..
84. . 85..
86. . 87..
88. . 89..
90. . 91..
92. . 93..
94. . 95..
96. . 97..
98. . 99..
100. .
101–125. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
101. . 102..
103. . 104..
105. . 106..
107. . 108..
109. . 110..
111. . 112..
113. . 114..
115. . 116..
117. . 118..
119. . 120..
121. . 122..
123. . 124..
125. .
126 – 150. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми.
126. . 127..
128. . 129..
130. . 131..
132. . 133..
134. . 135..
136. . 137..
138. . 139..
140.. 141.
142. . 143..
144. . 145.
146. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
r = 3(1 + сos ).
147. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
х =a (t – sin t), y = a (1 – сos t) () и осью Ох.
148. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой
r = 4 sin 2.
149. Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой
r = 4 sin 3.
150. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли
r2 = 2 cos 2.