Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Для Ларисы Викторовны от Ренаты.doc
Скачиваний:
48
Добавлен:
01.04.2015
Размер:
2.75 Mб
Скачать

Решение

Построим тело, полученное вращением фигуры, ограниченной линиями: ,х = 0, у = вокруг оси Оу.

парабола, с вершиной в точке (0; 0).

Точка пересечения с осями координат (0; 0).

у

у =

0 х

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу вычисляется по формуле .Выразим .

(ед3).

б) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: , у = -4.

Решение

Построим тело, полученное вращением фигуры, ограниченной линиями: , у = -4 вокруг оси Ох.

парабола, с вершиной в точке (0; 0), ветви параболы направлены вниз.

Точка пересечения с осями координат (0; 0).

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох вычисляется по формуле .

.Выразим .

Найдем точки пересечения параболы и прямойу = - 4:

, ,

у

4

- 4

(ед3).

8. Найти длину окружности с центром в начале координат и радиуса R.

Решение

Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах находится по формуле:

. у

0 х

Так как , то.

Найдем часть ее длины от точки (0;R).

Значит, .

Если уравнение окружности записать в параметрическом виде:

х = R cos t, y = R sin t (), то длина l кривой находится по формуле:

.

,

.

Задания контрольной работы № 2

1 – 25. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить график.

1. . 2..

3. . 4..

5. . 6..

7. . 8..

9. . 10.

11. . 12..

13. . 14..

15. . 16..

17. . 18..

19. . 20..

21. . 22..

23. . 24..

25. .

26 – 50. Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел. Изобразить все числа на комплексной плоскости. Записать комплексные числа z1 и z2 в тригонометрической и показательной форме.

26. z1 = 3 - 3i, z2 = - 1 – i. 27. z1 = 3i, z2 = - 1 + i.

28. z1 = - 2 - i, z2 = - 1 – i. 29. z1 = - 3 + 3i, z2 = 2 2i.

30. z1 = - 2i, z2 = - – i. 31. z1 = - 5 + 5i, z2 = –2 i.

32. z1 = 6 + 6i, z2 = - + i. 33. z1 = 2 - i, z2 = 1 – i.

34. z1 = - 4 + 4i, z2 = 2 + 2i. 35. z1 = 2i, z2 = 2 – 2i.

36. z1 = 5i, z2 = – i. 37. z1 = 7 - 7i, z2 = – i.

38. z1 = 1 - i, z2 = - i. 39. z1 = 3 - i, z2 = 3 i.

40. z1 = 4i, z2 = 2 - 2i. 41. z1 = 2 - 2i, z2 = 1 + i.

42. z1 = 2 + 2i, z2 = - 2 + 2i. 43. z1 = - 5i, z2 = + i.

44. z1 = - 7 + 7i, z2 = 7 i. 45. z1 = 1 + i, z2 = - 3 + i.

46. z1 = - 3 + i, z2 = -7 i. 47. z1 = - 4i, z2 = - 2 - 2i.

48. z1 = - 4 - 4i, z2 = 1 - i. 49. z1 = - 8 + 8i, z2 = 1 - i.

50. z1 = 6i, z2 = 2 + 2i.

51 – 75. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и в) результаты проверить дифференцированием.

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б) ;

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) г).

  1. а) ; б) ;

в) ; г).

  1. а) ; б);

в) ; г).

76 – 100. вычислить определенный интеграл.

76. . 77..

78. . 79..

80. . 81..

82. . 83..

84. . 85..

86. . 87..

88. . 89..

90. . 91..

92. . 93..

94. . 95..

96. . 97..

98. . 99..

100. .

101–125. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

101. . 102..

103. . 104..

105. . 106..

107. . 108..

109. . 110..

111. . 112..

113. . 114..

115. . 116..

117. . 118..

119. . 120..

121. . 122..

123. . 124..

125. .

126 – 150. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми.

126. . 127..

128. . 129..

130. . 131..

132. . 133..

134. . 135..

136. . 137..

138. . 139..

140.. 141.

142. . 143..

144. . 145.

146. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

r = 3(1 + сos ).

147. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

х =a (t – sin t), y = a (1сos t) () и осью Ох.

148. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой

r = 4 sin 2.

149. Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой

r = 4 sin 3.

150. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

r2 = 2 cos 2.