Теплотехника шпоры / 9-16

9первый закон термодинамики

Первый закон гласит: все подведенное к рабочему телу теп-

ло расходуется на изменение его внутренней энергии и соверше-

ние работы расширения.

Математическое выражение 1-го закона термодинамики

dq = du + dl = du + pdv.

где q – удельная теплота, Дж/кг;

u – удельная внутренняя энергия, Дж/кг;

l – удельная работа изменения объема, Дж/кг.

Закон

идеальных газов – «Внутренняя энергия идеального газа зависит

лишь от его температуры»

Следовательно, изменение внутренней энер-

гии не зависит от вида процесса, а зависит только от начально-

го и конечного состояний рабочего тела, которые определяются

по его параметрам. dq = du. (1.42а)

Так как процесс изохорный, то

dq = сvdT, (1.42б)

где сv – средняя удельная массовая изохорная теплоемкость,

Дж/(кг·К).

Следовательно,

du = сvdT. (1.43)

После интегрирования получим

u2 – u1 = cv(T2 – T1), (1.43а)

где u1, u2 - удельная внутренняя энергия в начале и в конце про-

цесса, Дж/кг;

T2 и T1 – начальная и конечная температура в термодинами-

ческом процессе, К.

Подставив в уравнение (1.42) выражение

pdv = d(pv) – vdp,

получим

dq = du + d(pv) – vdp

или

dq = d(u + pv) – vdp.

С учетом обозначений

i = u + pv

получим

dq = di – vdp.

Величина i является новой функцией состояния, так как она

определена значениями внутренней энергии u, давления p и

удельного объема v. Эту величину называют удельной энтальпи-

ей, Дж/кг – функцией состояния системы, равной сумме внутрен-

ней энергии u и работы ввода тела удельным объемом v в среду с

давлением p.

14изотермический процесс

Процесс, в котором подвод тепла к рабочему телу (газу) (отвод тепла от него) происходит при постоянной температуре

(T = cоnst), называется изотермическим процессом.

Уравнение изотермического процесса можно вывести из характеристического уравнения для двух состояний 1 и 2:

р1v1 = RT1 и р2v2=RT2, откуда при T = cоnst

р1v1 = р2v2 или рv = cоnst

Площадь, расположенная под кривой процесса (2-v2-v1-1-2),

измеряет работу расширения.

Из математики известно, что площадь, расположенная под

равнобокой гиперболой, а, следовательно, и работа 1 кг идеаль-

ного газа равна

Изотермическому процессу расширения при подводе тепла к газу

(энтропия возрастает) соответствует линия 1-2, изотермическому

сжатию (энтропия уменьшается) – прямая линия 1-3.

16 Политропный процесс

Уравнение политропного процесса

каждому процессу соответствует свое значение показателя по-

литропы. В общем случае он может принимать значение в интер-

вале – ∞ < n < + ∞.

При уравнение политропы будет выражать изохор-

ный процесс. Для доказательства этого представим уравнение

политропного процесса в виде

извлечем корень n-й степени из обеих частей уравнения (1.88б) и

получим

При , следовательно v1 = v2, то есть v = const

Если показателю n придать значение равное нулю (n = 0), то

vn = 1 и уравнение политропы превращается в уравнение изобар-

ного процесса р = const.

При n = 1 уравнение политропы принимает вид уравнения изотермы рv = const, а если n = k, то уравнение рvk = const

опишет кривую адиабаты.

10Внутренняя энергия и энтальпия

«Внутренняя энергия идеального газа зависит

лишь от его температуры»

Следовательно, изменение внутренней энер-

гии не зависит от вида процесса, а зависит только от начально-

го и конечного состояний рабочего тела, которые определяются

по его параметрам. dq = du..

Величина i является новой функцией состояния, так как она

определена значениями внутренней энергии u, давления p и

удельного объема v. Эту величину называют удельной энтальпи-

ей, Дж/кг – функцией состояния системы, равной сумме внутрен-

ней энергии u и работы ввода тела удельным объемом v в среду с

давлением p.

Изменение удельной энтальпии в любом термодинамиче-

ском процессе определяется только начальным и конечным со-

стоянием тела и не зависит от характера процесса.

Теплота, подведенная при постоянном давлении, идет толь-

ко на изменение энтальпии данной системы.

Так как

di = du + d(pv) = cvdT + RdT,

то

di = (cv + R)dT.

В соответствии с законом Майера

cv + R = cp

получим

di = cpdT. (1.47)

Таким образом, изменение энтальпии идеального газа чис-

ленно равно количеству теплоты, подводимой к газу при его на-

гревании при постоянном давлении.

12изохорный процесс

По определению изохорный процесс протекает при постоянном объеме (v = const). Следовательно, внешней работы расширения газа в процессе не происходит

dq = du + dl = du + pdv

В любом процессе количество тепла, подводимое к единице

количества газа, равно

dq = cdT, (1.55а)

для изохорного процесса

dq = cvdT. (1.55б)

Так как v = const, то

dq = du и du = cvdT. (1.55в)

Для одного килограмма газа удельное количество тепла q,

Дж/кг

q = cv( t2 – t1). (1.56)

Характеристические уравнения для двух состояний газа 1, 2

p1v = RT1 и p2v = RT2

и, деля почленно эти два уравнения одно на другое, получим

p2 /p1=T2/T1, откуда р/Т = const. (1.57)

свидетельствует о том, что в изохор-

ном процессе давление газа изменяется прямо пропорционально

его абсолютной температуре

вследствие отсутствия в идеальном

газе сил сцепления между молекулами, уравнение изменения

внутренней энергии будет справедливо для любого процесса

u2 – u1 = cv(T2 – T1) = cv(t2 – t1).

Если в формулу (1.50), определяющую изменение энтропии,

подставить v1 = v2, то для изохорного процесса при сv = const получим.

Для случая подвода тепла к газу эта кривая (1-2) идет в сто-

рону увеличения энтропии и вверх, так как внутренняя энергия, а

вместе с ней и его температура, возрастает.

11Второй закон термодинамики

второй закон

термодинамики устанавливает направление самопроизвольных

процессов в природе и определяет условия превращения теплоты

в работу. Он утверждает, что теплота в природе самопроизволь-

но переходит от более нагретых тел к менее нагретым телам.

Используя равенство

dq = cvdT + pdv,

с учетом того, что р/Т = R/v, получим

Выражение dq/T при равновесном состоянии газа – полный

дифференциал некоторой функции состояния, называемой

энтропией – s, Дж/(кгК)

Исходя из уравнения (1.49), можно сказать, что энтропия

изменяется в равновесных процессах только вследствие подвода

или отвода тепла.

Проинтегрируем (1.48) с учетом (1.49) и, приняв cv = const,

где s1, s2 – значения энтропии в начале и в конце термодинами-

ческого процесса

13 Изобарным процессом называют процесс, проходящий припостоянном давлении (р = const). Следовательно, в этом процессе

происходит внешняя работа расширения газа.

В соответствии с первым законом термодинамики будем иметь

dq = du + dl = cvdT + pdv = cpdT. (1.60)

Работа расширения определится из выражения dl = pdv сле-дующим образом:

Работа в изобарном процессе для идеального газа, учитывая характеристическое уравнение pV = MRT, будет равна

p(V2 – V1) = MR(T2 – T1) (1.63)

или

L = MR(T2 – T1). (1.64)

Тогда

qp = cv (t2 – t1) + R(T2 – T1) (1.65)

или

cp(t2 – t1) = cv(t2 – t1) + R (T2 – T1), (1.66)

где разности температур относятся к одним и тем же состояниям

газа и поэтому равны между собой, а сокращение дает

ср – сv = R. (1.67)

Так как

сp > сv, то при одних и тех же температурах T1 и T2 изменение энтропии в изобарном процессе больше (s2 – s1)р > (s2 – s1)v, чем в

изохорном процессе.

15Адиабатный процесс

Процесс, в котором тепло к газу не подводится и от него не отводится, называют адиабатным.

Аналитическое выражение первого закона термодинамики для адиабатного процесса, при котором q = 0, принимает следующий вид:

(u2 – u1) + l = 0, откуда

l = – (u2 – u1) = сv(T1 – T2).

уравнение адиабаты в следующем виде:

pvk = const.

формула, определяющая работу газа в

адиабатном процессе, примет вид

к-показатель адиабаты, является постоянным