6. Сжатие при помощи алгоритма Лемпела-Зива.

1. Цель теста

Суть этого теста – число савокупно-определённых образцов (слов) в последовательности. Цель этого теста – определить, как сильно тестируемая последовательность может быть сжата. Последовательность принимается неслучайной, если она может быть существенно сжата. Случайная последовательность будет иметь характерное число определённых образцов.

2. Вызов функции

LempelZivCompression(n), где:

n Длина строки бит.

 Последовательность бит, вырабатываемая генератором случайных чисел, который тестируется;  =  1,  2, … ,  n.

3. Тестовая статистика.

Wobs: Число разъединённых и савокупно-определённых слов в последовательности.

Соответствующее распределение для тестовой статистики – нормальное распределение.

4. Описание теста

(1) Делаем «грамматический разбор» последовательности в последовательные, разъединённые и определённые слова, которые будут образовывать «словарь» слов в последовательности. Это заканчивается созданием подстрок из непрерывных бит последовательности, пока не будет создана подстрока, которая не встречалась прежде в последовательности. Результирующая подстрока – это новое слово в словаре.

Пусть Wobs = число савокупно-определённых слов.

Например, если ε = 010110010, то просмотр происходит следующим образом:

Табл. 3.12 «Грамматический разбор» последовательности.

В "словаре" пять слов: 0, 1, 01, 10, 010. Следовательно, Wobs = 5.

(2) Вычисляется P-значение = erfc, где и, когда. Для других значений n, значения и должны быть вычислены. Заметим, что т.к. нет известной теории для определения точных значений и , эти значения были вычислены (в предположении случайности) с помощью генератораSHA-1. Blum-Blum-Shub генератор даст сходные значения для и .

Т.к. длина последовательности в нашем примере намного меньше рекомендуемой длины, значения для ибудут не обоснованы. Поэтому, предположим, что тест проводится для последовательности длиной 1000000 бит, и было получено значениеWobs = 69600, тогда P-значение = erfc

5. Правило принятия решения (1%- уровень)

Если вычисленное P-значение < 0.01, то считаем, что последовательность неслучайна. В противном случае, считаем, что последовательность случайна.

6. Выводы и интерпретация результатов.

Т.к. полученное на шаге 2 пункта 4 P-значение 0.01 (P-значение = 0.949310), делаем вывод, что последовательность случайна.

Заметим, что для n = , если бы Wobs опустилось ниже 69561, то мы заключили бы, что последовательность может быть существенно сжата и, поэтому, неслучайна.

7. Рекомендации

Рекомендуется для тестирования брать последовательности длиной минимум бит (т.е.n≥).

7. Тест линейной сложности.

1. Цель теста

Суть этого теста – длина сдвигового регистра с линейной обратной связью (LFSR). Цель этого теста – определить, будет или нет последовательность достаточно сложной, чтобы считаться случайной. Случайные последовательности характеризуются длинными сдвиговыми регистрами LFSR. Слишком короткий сдвиговый регистр LFSR подразумевает неслучайность.

2. Вызов функции

LinearComplexity(M, n), где:

M Длина блока в битах.

n Длина строки бит.

 Последовательность бит, вырабатываемая генератором случайных чисел, который тестируется;  =  1,  2, … ,  n.

K Число степеней свободы; K = 6 было принято в тестовом коде.

3. Тестовая статистика.

: Мера того, насколько хорошо наблюдаемое число включений сдвиговых регистров LFSR фиксированной длины соответствует числу включений в предположении случайности.

Соответствующее распределение для тестовой статистики – это распределение .

4. Описание теста

(1) Делим n-битную последовательность на N независимых блоков из M бит, где n = MN.

(2) Используя специальный алгоритм (Berlekamp-Massey algorithm), определяем линейную сложность Li каждого из N блоков (i = 1,…,N). Li – это длина самой короткой последовательности сдвиговых регистров с линейной обратной связью, которая порождает все биты в блоке i. Внутри любой Li-битной последовательности, некоторая комбинация бит, когда складывается по модулю 2, производит следующий бит в последовательности (бит Li + 1).

Например, если M = 13 и тестируемый блок 1101011110001, то Li = 4, и последовательность порождается сложением 1-ого и 2-ого бита внутри a 4-битной подстроки чтобы получить следующий бит (5-ый бит). Процесс происходит следующим образом:

Табл. 3.13 Алгоритм определения линейной сложности

Первые 4 бита и результирующий 5-й бит:

Биты 2-5 и результирующий 6-й бит:

Биты 3-6 и результирующий 7-й бит:

.

.

.

.

.

.

Биты 9-12 и результирующий 13-й бит:

Для этого блока работает алгоритм с пробной линейной обратной связью. Могут применяться для блока и другие алгоритмы с линейной обратной связью (например, сложение бит 1-ого и 3-его для получения 5-ого бита, или сложение 1, 2 и 3-его бит для получения 6-ого бита, и.т.д.).

(3) Предполагая случайность, вычисляем теоретическое значение :

.

Для нашего примера,

(4) Для каждой подстроки , вычисляются значения Ti, где .

Для нашего примера, .

(5) Записываем значения Ti в v0,…, v6 следующим образом :

Если: Ti ≤ -2.5 Увеличиваем v0 на единицу.

-2.5 < Ti ≤ -1.5 Увеличиваем v1 на единицу.

-1.5 < Ti ≤ -0.5 Увеличиваем v2 на единицу.

-0.5 < Ti ≤ 0.5 Увеличиваем v3 на единицу.

0.5 < Ti ≤ 1.5 Увеличиваем v4 на единицу.

1.5 < Ti ≤ 2.5 Увеличиваем v5 на единицу.

Ti > 2.5 Увеличиваем v6 на единицу.

(6) Вычисляется , где.

(7) Вычисляется P-значение = igamc.

5. Правило принятия решения (1%- уровень)

Если вычисленное P-значение < 0.01, то считаем, что последовательность неслучайна. В противном случае, считаем, что последовательность случайна.

6. Выводы и интерпретация результатов.

Т.к вычисленное на шаге 7 пункта 4 P-значение 0.01, делаем вывод, что последовательность случайна.

Заметим, что если бы P-значение было < 0.01, это указывало бы на то, что наблюдаемые частотные отсчёты Ti хранящиеся в отличаются от ожидаемых значений; предполагается, что распределение частотыTi (в ) должно быть пропорционально, как показано на шаге 6 пункта 4.

7. Рекомендации

Выбираем . Значение M должно быть 500≤ M ≤ 5000, и N ≥ 200 для получения правильного значения .