4. Тест с дискретным преобразованием Фурье (спектральный тест).

1. Цель теста

Суть этого теста – высоты пиков в Дискретном Преобразовании Фурье тестируемой последовательности. Цель этого теста – обнаружить периодический характер тестируемой последовательности который бы указал на отклонение от предположения случайности. Наша цель – определить, будет ли число пиков, превышающих 95 %-ый порог существенно отличаться от 5 %.

2. Вызов функции

DiscreteFourierTransform(n), где:

n Длина строки бит.

 Последовательность бит, вырабатываемая генератором случайных чисел, который тестируется;  =  1,  2, … ,  n.

3. Тестовая статистика и распределение.

d: Нормированная разность между наблюдаемым и ожидаемым числом частотных компонент, которые выше 95%-ого порога.

Соответствующее распределение для тестовой статистики – нормальное распределение.

4. Описание теста

(1) Нули и единицы входной последовательности (ε) заменяются значениями –1 и +1 соответственно. В результате получается последовательность X = x1, x2, …, xn, где

xi = 2εi – 1.

Например, если n = 10 и ε = 1001010011, то X = 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1.

(2) Вектор X подвергается Дискретному Преобразованию Фурье (DFT): S = DFT(X). Получится последовательность комплексных переменных, которая представляет периодические компоненты последовательности бит в разных частотах. (смотри в пункте 6 образец диаграммы DFT).

(3) Вычисляются M = modulus(S´) |S'|, где S´ - это подстрока, состоящая из первых n/2

элементов в S, и функция модуля образует последовательность пиковых высот.

(4) Вычисляем T = = 95 %-ое пороговое значение пиковой высоты. Для того, чтобы последовательность была случайной, 95 % значений, полученных при тестировании не должны превышать T.

(5) Вычисляем N0 =0 .95. N0 – это ожидаемое теоретическое (95 %) число пиков (в предположении случайности) которое меньше T.

Для нашего примера, N0 = 4.75.

(6) Вычисляем N1 = действительное наблюдаемое число пиков в M , которые меньше T.

Для нашего примера, N1 = 4.

(7) Вычисляем .

Для нашего примера,

(8) Вычисляем P-значение = erfc.

Для нашего примера, P-значение = erfc.

5. Правило принятия решения (1%- уровень)

Если вычисленное P-значение < 0.01, то считаем, что последовательность неслучайна. В противном случае, считаем, что последовательность случайна.

6. Выводы и интерпретация результатов.

Т.к. вычисленное на шаге 8 пункта 4 P-значение 0.01 (P-значение = 0.123812), делаем вывод, что последовательность случайна.

Слишком маленькое значение d указывало бы на слишком маленькое число пиков (< 95 %) ниже T, и слишком большое число пиков (больше 5 %) выше T.

7. Рекомендации

Рекомендуется для тестирования брать последовательности длиной n≥1000 бит.

5. Универсальный статистический тест Маурэра.

1. Цель теста

Суть этого теста – число бит между соответствующими шаблонами (мера, которая относится к длине сжатой последовательности). Цель этого теста – определить, может или нет последовательность быть сильно сжата без потери информации. Сильно сжимаемые последовательности относятся к неслучайным.

2. Вызов функции

Universal(L, Q, n), где :

L Длина каждого блока. Замечание: использование L в качестве размера блока не соответствует обозначению размера блока (M) используемому в других тестах. Однако, использование L в качестве размера блока было указано в оригинальном источнике теста Маурэра.

Q Число блоков в первоначальной последовательности.

n Длина строки бит.

 Последовательность бит, вырабатываемая генератором случайных чисел, который тестируется;  =  1,  2, … ,  n.

3. Тестовая статистика.

fn : Сумма log2 расстояний между соответствующими L-битными образцами, т.е., сумма числа цифр в расстоянии между L-битными образцами.

Соответствующее распределение для тестовой статистики – это полунормальное распределение (односторонний вариант нормального распределения), которое описано в пункте 1.3.

4. Описание теста

(1) n-битная последовательность (ε) делится на два сегмента : начальный сегмент,

состоящий из Q L-битных непересекающихся блоков, и тестовый сегмент, состоящий из K L-битных непересекающихся блоков. Биты, оставшиеся в конце последовательности, которые не составляют целый L-битный блок, отбрасываются.

Первые Q блоков используются для инициализации теста. Оставшиеся K блоков – тестовые блоки (K =).

Например, если ε = 01011010011101010111, то n = 20. Если L = 2 и Q = 4, то K

= = = 6. Начальный сегмент: 01011010; тестовый сегмент: 011101010111. L-битные блоки показаны в таблице 3.7:

Табл. 3.7 L-битные блоки.

(2) Используя начальный сегмент, создаём таблицу для каждого возможного L-битного значения (т.е., L-битное значение используется в качестве индекса в таблице). Номер блока последнего местоположения каждого L-битного блока записывается в таблицу (т.е., для i от 1 до Q, Tj= i, где j – десятичное представление содержания i-ого L-битного блока).

Для нашего примера создана таблица 3.8 с помощью 4х начальных блоков:

Табл. 3.8 Последнее местоположение каждого L-битного блока.

(3) Просматриваем каждый из K блоков в тестовом сегменте и определяем номер блоков после последнего местоположения того же самого L-битного блока (т.е., i – Tj). Заменяем значение в таблице положением текущего блока (т.е., Tj= i). Прибавляем вычисленное расстояние между местоположениями того же L-битного блока к накопленной сумме log2 всех разниц, определённых в K блоках (т.е., sum = sum + log2(i – Tj)).

Для нашего примера, таблица (см. табл. 3.9) и накопленная сумма выводятся следующим образом:

Для 5-ого блока : 5 расположена в “01” строке таблицы (т.е. T1),

и sum=log2(5-2) = 1.584962501.

Для 6-ого блока : 6 расположена в “11” строке таблицы (т.е., T3), и sum =

1.584962501 + log2(6-0) = 1.584962501 + 2.584962501 = 4.169925002.

Для 7-ого блока : 7 расположена в “01” строке таблицы (т.е., T1), и sum =

4.169925002 + log2(7-5) = 4.169925002 + 1 = 5.169925002.

Для 8-ого блока : 8 расположена в “01” строке таблицы (т.е., T1), и sum =

5.169925002 + log2(8-7) = 5.169925002 + 0 = 5.169925002.

Для 9-ого блока : 9 расположена в “01” строке таблицы (т.е., T1), и sum =

5.169925002 + log2(9-8) = 5.169925002 + 0 = 5.169925002.

Для 10-ого блока: 10 расположена в “11” строке таблицы (т.е., T3), и sum =

5.169925002 + log2(10-6) = 5.169925002 + 2 = 7.169925002.

Состояния таблицы:

Табл.3.9 Последнее местоположение каждого L-битного блока в тестовом сегменте.

(4) Вычисляем тестовую статистику: , где- запись таблицы, соответствующая десятичному представлению содержанияi-ого L-битного блока.

Для нашего примера,

(5) Вычисляем P-значение = erfc, где ожидаемоеЗначение(L) и берутся из таблицы 3.10:

Табл.3.10 Выбор ОжидаемогоЗначения и отклонения.

В предположении случайности, значение ожидаемоеЗначение(L) – теоретически-ожидаемое значение вычисленной статистики для данной L-битной длины. Теоретическое стандартное отклонение задаётся , где.

Для нашего примера, P-значение = erfc

Заметим, что ожидаемое значение и отклонение (variance) для L = 2 не предусмотрены в вышеприведённой таблице, т.к. блок длиной два бита не рекомендуется брать для теста. Однако, это значение L принято в примере для простоты. Значения для ожидаемого значения и отклонения для случая, когда L=2, хоть и не приведены в вышеприведённой таблице, но взяты из книги “Handbook of Applied Cryptography.”

5. Правило принятия решения (1%- уровень)

Если вычисленное P-значение < 0.01, то считаем, что последовательность неслучайна. В противном случае, считаем, что последовательность случайна.

6. Выводы и интерпретация результатов.

Т.к. вычисленное на шаге 5 пункта 4 P-значение0.01 (P-значение = 0.767189), делаем вывод, что последовательность случайна.

Теоретические ожидаемые значения для были вычислены, как показано в таблице на шаге 5 пункта 4. Еслиfn существенно отличается от ожидаемогоЗначения(L), то последовательность сильно сжимаема.

7. Рекомендации

Этот тест требует длинную последовательность бит (n ≥ (Q + K)L), которая делится на два сегмента L-битных блоков, где L должно быть выбрано таким, что 6 ≤ L ≤ 16. Первый сегмент состоит из Q начальных блоков, где Q должно быть выбрано таким, что Q = . Второй сегмент состоит из K тестовых блоков, где K =. Значения L, Q и n должны выбираться следующим образом:

Табл.3.11 Выбор значений L, Q и n.