Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

В.В. Аристов

Дискретная математика

Конспект лекций

Омск 2006

Введение

Дискретная математика является одним из основных разделов теоретической кибернетики – науки, являющейся основой анализа и синтеза современных вычислительных систем. Широкое и повсеместное использование ЭВМ и микропроцессорных систем управления требует фундаментальных знаний прикладных специализированных дисциплин, читаемых в технических вузах, таких как «Теоретическая информатика», «ЭВМ и вычислительные системы», «Теория конечных автоматов» и др. Среди всех этих дисциплин «Дискретная математика» составляет базу для создания математического обеспечения современных компьютерных и информационных технологий. Формальные языки дискретной математики позволяют создавать математические модели вычислительных процессов и цифровых логических устройств, используемых в современных автоматизированных системах. Вот почему основная цель настоящего сборника – привить навыки решения логических задач, описанных с помощью формального языка дискретной математики, что позволит развить в дальнейшем способности к логическому мышлению в любой прикладной области.

В сборнике уделено основное внимание таким разделам дискретной математики, как «множества» и «логика». В свою очередь логика делится на три подраздела: «логику Буля», «логику высказываний» и «логику предикатов».

Для наглядного восприятия основных положений теории множеств использованы диаграммы Венна и круги Эйлера. На этих диаграммах рассмотрены основные логические операции над множествами.

Логика Буля имеет особое прикладное значение для проектировщика систем автоматизации, так как формализм ее языка позволяет описывать логические процессы, характеризующие работу дискретных автоматов. Впервые в мире возможность использования методов логики Буля для описания и преобразования релейно-контактных схем электроавтоматики была доказана в 1938 году В.И.Шестаковым. А спустя 10 лет М.А. Гавриловым были решены проблемы формального анализа и синтеза дискретных устройств управления на основе основных положений логики Буля. В нашем сборнике основная часть заданий по логике Буля посвящена преобразованию и минимизации булевых функций, а также представлению булевых функций в различных формах.

Логика Буля основывается на отношении эквивалентности, при котором левая и правая части логического выражения содержат равное количество «истины». Логика высказываний и логика предикатов базируются уже на отношении порядка, при котором правая часть выражения (заключение) содержит больше «истины», чем левая часть (посылка), т.е. «истинность» заключения оказывается выше «истинности» посылки. Логика высказываний исходит корнями из философии древности, от Платона и Аристотеля. На первый взгляд некоторые высказывания лишены здравого смысла, однако формализм логики высказываний позволяет моделировать многие субъектные ситуации на ЭВМ.

В каждой теме перед заданиями для практической и самостоятельной работы приводятся основные необходимые теоретические положения и рассматриваются примеры решений и доказательств.