To Students / Вопросы к экзамену для РТИ-2 по Д.М. 2013г

Вопросы к экзамену по дискретной математике,

РТИ-2, 2013 учебный год.

Множества и отношения.

1. Понятие множества. Элементы множества. Конечные и бесконечные множества. Подмножества. Равенство множеств.

2. Операции над множествами. Свойства операций над множествами.

3. Прямое произведение множеств. Бинарные отношения. Операции над отношениями. Обратное отношение. Композиция отношений. Матрицы отношений.

4. Специальные типы бинарных отношений: рефлексивное, антирефлексивное, симметричное, антисимметричное, транзитивное отношения. Определения этих отношений, их матрицы. Привести примеры.

5. Разбиение множества на классы. Отношение эквивалентности. Связь между разбиением множества на классы и отношением эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество. Отношение сравнения по модулю p, как отношение эквивалентности. Классы вычетов по модулю p.

6. Отношения нестрогого и строгого порядков. Привести примеры.

7. Функции (отображения). Биективные функции. Подстановки. Композиция отображений. Тождественное отображение. Обратное отображение. Движение. Привести примеры на все понятия.

8. Бинарные алгебраические операции и их свойства. Привести примеры.

Булева алгебра.

1. Высказывания и операции над высказываниями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность, штрих Шеффера, стрелка Пирса. Таблицы истинности этих логических операций.

2. Формулы алгебры логики и функции алгебры логики. Существенные и фиктивные переменные. Выполнимые, опровержимые, тождественно истинные, тождественно ложные формулы. Число булевых функций от n переменных. Булева алгебра логических функций.

3. Равносильные преобразования в булевой алгебре функций.

4. Принцип двойственности для булевых функций. Самодвойственные функции.

5. Дизъюнктивная нормальная форма. Алгоритм приведения к ДНФ. Первая теорема Шеннона о разложении булевой функции по веем переменным.

6. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Приведение к СДНФ.

7. Конъюктивная нормальная форма. Алгоритм приведения к КНФ. Вторая теорема Шеннона о разложении булевой функции по веем переменным.

8. Совершенная конъюктивная нормальная форма. Приведение к СКНФ.

9. Литера, конституента единицы, импликанта, простая импликанта, сокращенная ДНФ, тупиковая ДНФ, минимальная ДНФ. Привести примеры на все понятия.

10. Метод Квайна-Мак-Клоски построения сокращенной ДНФ. Теорема Квайна. Обобщенное склеивание, правило поглощения. Метод Блейка построения сокращенной ДНФ.

11. Построение сокращенной и минимальной ДНФ с помощью карт Карно. Привести примеры.

12. Построение тупиковых и минимальных ДНФ методом Квайна. Матрица Квайна. Метод Патрика перечисления всех тупиковых.

13. Алгебра Жегалкина. Основные соотношения в алгебре Жегалкина. Полином Жегалкина. Теорема о представлении булевой функции полиномом Жегалкина.

14. Полные системы булевых функций. Классы Поста. Теорема Поста о функциональной полноте.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Группы и подгруппы.

1. Определение группы. Мультипликативная и аддитивная группа. Абелева группа. Конечная группа. Таблица Кэли. Порядок группы. Степени элемента. Примеры групп.

2. Доказать основные свойства группы: единственность единицы группы, единственность обратного элемента, правило сокращения.

3. Гомоморфизм, изоморфизм, автоморфизм групп. Свойства гомоморфизма групп. Порядок элемента группы. Сохранение конечного порядка элемента при гомоморфизме групп. Примеры гомоморфизма групп.

4. Подгруппы. Критерий подгруппы (теорема), пересечение подгрупп. Примеры подгрупп.

5. Подгруппа, порожденная элементами группы. Циклическая группа. Теорема об изоморфизме бесконечной циклической группы группе и изоморфизме конечной циклической группы группе .

6. Группа подстановок. Теорема Кэли.

7. Классы смежности. Теорема о классах смежности. Теорема о числе элементов в группе H и gH. Теорема Лагранжа. Нормальный делитель. Фактор-группа.

8. Определение и примеры колец. Кольцо многочленов. Кольцо классов вычетов по модулю p. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Тело. Тело кватернионов.

9. Свойства колец. Делители нуля. Область целостности, Примеры.

10. Определение и примеры полей. Поле .

11. Характеристика поля. Свойства полей. Характеристика конечного поля.

12. Многочлены над кольцом. Кольцо многочленов. Теорема о делении с остатком. Теорема Безу. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Приводимые и неприводимые многочлены над полем. Теорема о разложении многочлена над полем в произведение неприводимых.

13. Идеалы. Примеры идеалов. Главный идеал. Кольцо классов вычетов по модулю идеала (фактор-кольцо). Примеры. Кольцо классов вычетов .

14. Поля Галуа. Построение полей Галуа .

15. Мультипликативная группа поля Галуа.