To Students / ТР по Дискретной математике для ЗРЗ-319, ЗРП-319
.pdfТР по дискретной математике для ЗРП.
ОМГТУ 2009г.
1
|
|
Содержание |
|
Задача 1. Операции над множествами |
3 |
||
Задача 2. Эквивалентные множества. Мощность |
4 |
||
Задача 3. Группы, подгруппы |
5 |
||
Задача 4. Кольца, поля |
7 |
||
Задача 5. Таблицы истинности. |
8 |
||
Задача 6. |
Построение ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ |
8 |
|
Задача 7. |
Основные понятия по теории графов |
8 |
|
Задача 8. |
Изоморфизм графов |
9 |
|
Задача 9. |
Дополнение графа, реберный граф |
15 |
|
Задача 10. |
Остовное дерево минимального веса |
17 |
|
Задача 11. |
Кратчайшие пути в графе. Алгоритм Дейкстры |
19 |
|
Задача 12. |
Эйлеровы циклы. Алгоритм Флери |
21 |
|
Список литературы |
23 |
2
Задача 1. Операции над множествами
Найти элементы множеств, доказать тождества, упростить выражения, используя определения операций над множествами или свойства операций над множествами.
(1)Найти элементы множества A [ B \ C, если A = f0; 1; 2; 3; 4g; B = fx : x < 12; x 2 Ng; C = fx : x > 9; x 2 Ng.
(2)Найти элементы множества A \ B, если A = f0; 1; 2; 3; 4g; B = f2; 3; 4; 5g; C = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g.
(3)Даны множества A = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g; B = f3; 4; 6; 7; 9g; C = f0; 5; 6; 7; 8g; U = f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 9g. Найти элементы множеств: B n (A \ C) и A n (B n C).
(4)Даны множества A = f0; 1; 2; 4; 5g; B = f1; 2g; U = f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 9g. Найти элементы множеств: (A [ B) n (A n B) и (A n B) [ (B n A).
(5)Даны множества A = fa; b; cg; B = fa; c; d; eg. Найти элементы множествa A¢B.
(6)Даны множества A¢B = f1; 2; 3; 4; 5g; A [ B = f8g; U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g. Найти элементы множествa A \ B.
(7)Найти элементы множества A \ B \ C [ A \ B [ B, где A = f1; 3; 5; 7g; B = f4; 5; 6; 7g; C = f1; 2g.
(8)Упростить выражение: A \ C [ B \ C [ A \ D.
(9)Упростить выражение: A \ B [ A \ B \ C [ A \ B \ D.
(10)Упростить выражение: A \ B [ B.
(11)Упростить выражение: A n (B n (C n A)).
(12)Упростить выражение: A [ B \ C [ C.
(13)Упростить выражение: A [ B [ ((A \ B \ C) [ (A \ B \ C)).
(14)Упростить выражение: (A n B) \ (B n A).
(15)Упростить выражение: A \ B \ B \ B.
(16)Доказать тождество: A n (A n B) = A \ B
(17)Доказать тождество: A [ (A \ B) = A \ (A [ B) = A.
(18)Доказать тождество: (A \ B) [ (C \ D) = (A [ C) \ (B [ C) \ (A [ D) \ (B [ D).
(19)Доказать тождество: A n B = A n (A \ B).
(20)Доказать тождество: A [ B = A [ (B n A).
3
(21)Доказать тождество: (A [ B) \ A = A \ B.
(22)Доказать тождество: A n (A n B) = A \ B.
(23)Доказать тождество: (A n B) n C = A n (B [ C).
(24)Доказать тождество: (A n B) \ C = (A \ C) n (B \ C).
(25)Доказать тождество: (A n B) [ (B n A) = (A [ B) n (A \ B).
Задача 2. Эквивалентные множества. Мощность
1.Установить биекцию между интервалами (0; 1) и (¡2; 9).
2.Установить биекцию между множеством рациональных чисел отрезка [a; b] и множеством рациональных чисел отрезка [c; d], где a; b; c; d - рациональные числа.
3.Установить биекцию между множеством рациональных чисел полуинтервала [0; 1)
имножеством рациональных чисел не меньших числа 2.
4.Установить биекцию между множеством точек прямой и множеством точек полуокружности.
5.Установить биекцию между множеством точек произвольной окружности с одной выколотой точкой и множеством точек прямой.
6. Установить биекцию между точками прямоугольника P = f(x; y) : a < x < b; c <
y< dg и точками плоскости R2 = f(x; y) : ¡1 < x < 1; ¡1 < y < 1g.
7.Установить биекцию между точками плоскости R2 и точками полуплоскости y > 0.
8.Установить биекцию между точками полосы ¦ = f(x; y) : a < x < b; ¡1 < y < 1g и точками плоскости R2 = f(x; y) : ¡1 < x < 1; ¡1 < y < 1g.
9.Установить биекцию между точками полосы ¦1 = f(x; y) : a < x < b; ¡1 < y < 1g и точками полосы ¦2 = f(x; y) : ¡1 < x < 1; c < y < dg.
10.Установить биекцию между поверхностью сферы с одной выколотой точкой и плоскостью.
11.Установить биекцию между точками окружности и точками сторон квадрата.
12.Установить биекцию между точками открытого единичного круга и внутренними точками пятиконечной звезды.
13.Установить биекцию между точками эллипса x2=4 + y2=9 = 1 и точками окружности x2 + y2 = 16.
4
14.Установить биекцию между точками линий ½ = cos 4' и ½ = sin 4'; ½ и ' - полярные координаты.
15.Установить биекцию между точками кардиоиды ½ = 1 + cos ' и точками окружности; ½ и ' - полярные координаты.
16.Установить биекцию между точками графиков функций y = sin x и y = tan x.
17.Доказать, что множество всех окружностей на плоскости с рациональными радиусами и рациональными координатами центров счетно.
18.Доказать, что на плоскости можно построить не более чем счетное множество попарно непересекающихся кругов.
19.Доказать, что произвольный набор попарно непересекающихся интервалов на прямой не более чем счетен.
p
20.Какую мощность имеют числа вида mk 2n ; k; n; m 2 N?
21.Какую мощность имеет множество иррациональных чисел вида p + p2q, где p; q
-рациональные числа?
22.Какую мощность имеет множество всех иррациональных чисел?
23.На плоскости построено некоторое множество попарно непересекающихся оружностей. Какой может быть мощность этого множества?
24.Какова мощность множества комплексных чисел z = x + iy с рациональной действительной частью x и иррациональной мнимой частью y?
25.Какова мощность множества параллельных прямых на плоскости?
26.Какова мощность множества все матриц, элементами которых являются рациональные числа?
Задача 3. Группы, подгруппы
В задачах 1-13 определить образуют ли следующие множества чисел группу по сложению и умножению
1.Все положительные числа.
2.Отрицательные числа.
3.Все действительные числа, отличные от нуля.
4.Положительные иррациональные числа.
5.Комплексные числа с модулем, равным единице.
6.Комплексные числа с модулем больше единице.
7.Числа вида a + ib, где a и b - целые числа.
8.Числа вида a + ib, где a и b - рациональные числа.
5
9.Числа вида a + ib, где a и b - рациональные числа, кроме числа 0.
10.Числа f¡1; 1g.
11.Числа f1; ¡1; i; ¡ig.
12.Числа f1=2; 1; 2g.
13.Числа f2n; n 2 Zg.
14.Образует ли группу множество действительных чисел с операцией a ¤ b = a2 ¢ b2?
15.Доказать, что множество комплексных чисел вида m + in, где m и n – четные целые числа, образует подгруппу группы всех комплексных чисел относительно операции умножения.
16.Показать, что треугольные матрицы вида
0 1 a b 1 @ 0 1 c A
0 0 1
образуют мультипликативную группы GL(n; R). 17. Матрицы вида
0 c2 |
c0 |
c1 |
1 |
; |
c0 |
c1 |
c2 |
A |
|
@ c1 |
c2 |
c3 |
|
строки которой состоят из одних и тех же элементов ci 2 R, а каждая следующая строка получается из предыдущей сдвигом на один элемент, называются циклическими. Показать, что невырожденные циклические матрицы n-го порядка образуют абелеву группу относительно матричного умножения.
В задачах 18 – 22 доказать, что следующие множества квадратных матриц 2-го порядка являются мультипликативными группами:
½µ b a |
¶ |
|
|
2 R |
|
¾ |
½µ b a |
¶ |
|
2 Q |
|
¾ |
||||||
18: |
a ¡b |
|
: a; b |
|
|
; a2 + b2 > 0 ; 19: |
a 3b |
|
: a; b |
|
¶ |
; a2 + b2 > 0 ; |
||||||
½µ b |
a |
¶ |
|
|
2 Q |
|
¾ |
|
½µ sin ' |
cos ' |
|
2 R¾ |
||||||
20: |
a |
¡3b |
: |
a; b |
|
|
; a2 + b2 > 0 |
; |
21: |
cos ' |
¡ sin ' |
|
: ' |
; |
||||
22: 80 |
|
¼k |
¡ |
|
2¼k |
1 : k = 0; 1; 2; : : : ; n ¡ 19: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
cos 2¼k |
|
sin |
2¼k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
@ |
|
n |
|
|
|
|
n |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
: |
sin 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
< |
|
cos |
|
n |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
23. Доказать, что множество F = ff1; f2; f3; f4g функций с операцией – композицией преобразований – является группой:
1 |
1 |
|
||
f1(x) = x; f2(x) = ¡x; f3(x) = |
|
; f4(x) = ¡ |
|
: |
x |
x |
24.Показать, что множество F = ff1; f2; f3; f4g функций, где f1(x) = x; f2(x) = ¡x; f3(x) = x1 ; f4(x) = ¡x1 , с операцией композиции является группой.
25.Показать, что множество F = ff1; f2; f3; f4g функций, где f1(x) = x; f2(x) =
¡x1 ; f3(x) = xx¡+11 ; f4(x) = ¡xx+1¡1 , с операцией композиции является группой.
6
Задача 4. Кольца, поля
В задачах 1 - 4 показать, что множество Z £ Z со следующими операциями является коммутативным кольцом с единицей:
1: < a1; b1 > + < a2; b2 >=< a1 + a2; b1 + b2 >; < a1; b1 > ¢ < a2; b2 >=< a1 ¢ a2; b1 ¢ b2 >;
2: < a1; b1 > + < a2; b2 >=< a1 + a2; b1 + b2 >;
<a1; b1 > ¢ < a2; b2 >=< a1 ¢ a2 + b1 ¢ b2; a1 ¢ b2 + a2 ¢ b1; >; 3: < a1; b1 > + < a2; b2 >=< a1 + a2; b1 + b2 >;
<a1; b1 > ¢ < a2; b2 >=< a1 ¢ a2 + 3b1 ¢ b2; a1 ¢ b2 + a2 ¢ b1; >; 4: < a1; b1 > + < a2; b2 >=< a1 + a2; b1 + b2 >;
<a1; b1 > ¢ < a2; b2 >=< a1 ¢ a2 ¡ 3b1 ¢ b2; a1 ¢ b2 + a2 ¢ b1; > :
Указать в каждом из этих кольцах обратимые элементы.
В задачах 5 -16 показать, что каждое из следующих множеств матриц с обычными операциями сложения и умножения матриц являются кольцом:
5: ½µ b a |
¶ : a; b 2 Z¾; |
6: |
½µ b a |
¶ : a; b 2 2Z¾; |
|
|
||||||||||||
|
a |
3b |
¶ |
|
2 Q¾ |
|
a |
3b |
¶ |
|
|
|
2 Z¾ |
|
|
|
||
½µ b a |
|
|
½µ b a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7: |
a 3b |
|
: a; b |
|
; |
8: |
a ¡b |
: a; b |
|
|
; |
: |
|
|||||
½µ b a |
¶ |
2 Z¾ |
|
½µ b a |
¶ |
|
|
|
2 Q¾ |
|
||||||||
9: |
a ¡b |
|
: a; b |
|
3 ; |
10: |
a ¡b |
|
: a; b |
|
|
; |
g¾ |
|||||
|
½µ b |
a |
¶ |
|
2 Z¾ |
|
½µ 2 |
2 |
|
¶ |
|
|
|
|
||||
|
a |
|
3b |
|
|
|
|
|
a |
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
11: |
|
¡ |
|
: a; b |
|
; |
12: |
b |
¡a |
2 |
|
: a; b -целые числа одной четности ; : |
||||||
|
½µ b |
¡a |
¶ : a; b 2 Q¾ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13: |
; |
14: ½µ b a ¶ : a; b 2 Z¾; |
|
|||||||||||||||
|
a |
|
3b |
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
15: |
0 |
b |
¶ |
: a; b |
2 |
Z ; 16: 80 |
0 a b |
1 |
: a; b; c |
2 |
Z9 |
; |
||||||
|
½µ |
|
|
¾ |
|
<@ |
0 0 a |
A |
|
|
|
= |
|
|||||
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
a b |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Какие из этих колец |
коммутативны? Какие содержат единице? В таких кольцах указать |
|||||||||||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
обратимые элементы. В кольцах с делителями нуля найти все делители нуля.
В задачах 17-22 выяснить, какие из следующих числовых множеств с обычными операциями сложения и умножения являются кольцами. Какие из этих колец содержат
единицу? В таких кольцах указать обратимые элементы. |
||||||||||||||||
17. |
fa + bp3 |
|
|
+ cp3 |
|
: a; b; c 2 Qg; |
||||||||||
2 |
4 |
|||||||||||||||
18. |
fa + ib : a; b 2 Qg; |
|||||||||||||||
19. |
fa + ibp |
3 |
: a; b 2 Zg; |
|||||||||||||
20. f |
a+ibp |
|
|
: a; b – целые числа одинаковой четностиg; |
||||||||||||
3 |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
21. |
fa + ibp |
|
: a; b 2 Qg; |
|||||||||||||
3 |
||||||||||||||||
22. |
|
a+ip |
|
b |
, где a и b целые числа одинаковой четности. |
|||||||||||
3 |
||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. Доказать, что множество M = fag с одним элементом и операциями a + a = a; a ¢ a = a является кольцом, но не полем.
24. Доказать, что множество M = fa; bg с двумя элементами и операциями a + a = b + b = a; a + b = b + a = b; a ¢ a = a ¢ b = b ¢ a = a; b ¢ b = b является полем.
7
25. Показать, что (N4; ©; -)
© |
0 |
1 |
2 |
3 |
- |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
0 |
2 |
3 |
1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
0 |
3 |
0 |
3 |
1 |
2 |
является полем.
Задача 5. Таблицы истинности.
Составить таблицу истинности формулы
1) (x _ y) » (y # x); 5) (x _ y) ! (y © x); 9) x » (y ! (y # x)); 13) x # (y ! (y _ x)); 17) (x _ y) ! (y # x); 21) (x # (y © (y ! x); 25) x » (y ^ (y ! x)):
2) (x » y) _ (y # x); 6) (x © y) » (yjx); 10) x # (y ! (yjx)); 14) x © (y ! (y » x)); 18) (x _ y) # (y ! x); 22) xj(y © (y _ x);
3) (x _ y) » (y # x); 7) (x _ y) # (y ! x); 11) x » (y ! (y © x)); 15) (x # y)j(y _ x); 19) (x © y)j(y # x); 23) x © (y ! (y » x);
4)(x » y) _ (y # x);
8)(x © y) ! (y # x);
12)x ! (yj(y © x));
16)(xjy) ! (y © x);
20)(x ^ y) » (y # x);
24)(x _ y) ! (y © x);
Задача 6. Построение ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ
С помощью эквивалентных преобразований привести формулу к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Построить полином Жегалкина.
1) (x _ y) ! (z © x); 5) (x _ y) ! (z » x); 9) (z ! x) » (xjy); 13) ((x # y) ! z) © y; 17) (x _ y) ! (z » y); 21) ((x » y)jz) © y; 25) ((x » y) ! z)jy:
2) (x _ y) ! (z © x); 6) (xjy) © (z ! x); 10) (z ! x) © (xjy); 14) ((x # y) ! z) » y; 18) (xjy) © (z ! y); 22) ((x # y) ! (z » y);
3) (x _ y) ! (z © x); 7) (z ! x) » (yjx); 11) ((x # y) ! z) © y;
15)((x # y) ! z) » y;
19)((x # y) ! z) » x;
23)((x # y) ! z) » y;
4) (x _ y) ! (z » x); 8) (xjy) © (z ! x);
12)((x # y) ! z) © y;
16)((x # y) ! z) © y;
20)(x _ y) ! (z » x);
24)(x _ y) ! (z » y);
Задача 7. Основные понятия по теории графов
1.Нарисовать все кубические графы с не более чем 8 вершинами.
2.Сколько ребер содержит полный трехдольный граф, если jV1j = 4; jV2j = 5; jV3j = 6, где V1; V2; V3 - множество вершин его долей?
3.Найти число ребер в дополнении к простому циклу на 10 вершинах.
4.Может ли регулярный двудольный граф степени больше 1 иметь мосты?
5.Можно ли построить граф, в котором число вершин четной степени нечетно?
6.Нарисуйте все связные подграфы простой цепи P7.
7.Каково количество ребер в 4-регулярном графе на 10 вершинах?
8.Существуют ли графы, в которых степени всех вершин различны? (Рассмотреть различные примеры)?
9.Нарисуйте граф на 7 вершинах, в котором одна вершина имеет степень 3, а остальные вершины имеют степени 2 или 4.
8
10.В полном графе 18 вершин. Сколько в нем ребер, инцидентных одной вершине?
11.Граф имеет 9 вершин и 8 ребер. Сколько ребер имеет дополнение графа?
12.Из полного графа на 20 вершинах удалили несколько вершин. В оставшемся подграфе стало 66 ребер. Сколько удалено вершин и ребер?
13.В полном двудольном графе 143 ребра. Определить jV1j и jV2j, если jV1j > 1 и
jV2j > 1.
14.В двудольном графе jV1j = 18, jV2j = 10, число ребер равно 18. Найти число ребер дополнения до полного двудольного графа.
15.Привести примеры (когда это возможно): a) двудольного регулярного графа; b)
кубического графа порядка 9; с) платонова двудольного графа; d) связных графов, являющихся регулярными графами степени 4.
16.В графе Петерсена найти: a) маршрут длины четыре; b) циклы длины пять, шесть, восемь и девять.
17.Найти дополнения к графам, соответствующим тетраэдру, кубу и октаэдру.
17.Сколько мостов имеет дерево c m ребрами?
18.Чему равна сумма числа ребер n-вершинного графа и числа ребер его дополнения?
19.Найти матрицы смежности графов K6; E7; C5.
20.Чему равна сумма элементов матрицы смежности неориентированного графа?
21.Чему равна сумма элементов матрицы инцидентности ориентированного графа?
22.Построить матрицы смежности для графов K4 и K3;2.
23.Какова связь между матрицами смежности простого графа и его дополнения.
24.Пусть Gn - неориентируемый граф, вершины которого пронумерованы натуральными числами f1; 2; :::; ng, а множество ребер определяется следующим условием: несов-
падающие вершины vi и vj смежны тогда и только тогда, когда числа i и j взаимно просты. Требуется: a) записать матрицу смежности графа G5, установить является ли этот граф связным; b) изобразить графы G4 и G8 и найти их матрицы смежности.
25.Нарисовать все неизоморфные деревья порядка шесть.
Задача 8. Изоморфизм графов
Какие из трех указанных графов являются изоморфными, а какие - неизоморфными? Для изоморфных графов указать соответствие вершин, сохраняющих смежность. Для неизоморфных графов пояснить причину этого.
9
10