14. Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры

Статические моменты площади фигуры относительно оси x, y определяется интегралами: 

, .

Упрощенное вычисление – произведение площади сечения на расстояние от оси до центра тяжести сечения. Для сложной фигуры – сумма соответствующих произведений составляющих фигур.

Ось, относительно которой статический момент площади сечения равен нулю, называется центральной. Центральные оси пересекаются в центре тяжести сечения. Общий подход к определению расстояния от центра тяжести сечения до оси:

, .

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан, т.у. отстоит от основания на 1/3 высоты.

Центр тяжести полуокружности отстоит от диаметра на .

14. Осевые момента инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Осевые моменты инерции площади фигуры относительно оси x, y определяется интегралами: 

, .

Для простых сечений:

Прямоугольник высотой и основанием - относительно центральных осей , ;

- относительно сторон , ;

Равнобедренный треугольник высотой и основанием - относительно центральных осей

, ;

- относительно основания ;

Окружность диаметром d - относительно центральной оси ,

Полуокружность диаметром d относительно центральных осей , .

Для сложной фигуры из k простых , где - расстояние от центра тяжести i-ой фигуры до оси.

14. Главные оси и главные моменты инерции

Главными называются оси, относительно которых центробежный момент инерции

=0.

Или: оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Главные оси инерции можно провести через любую точку плоской фигуры.

Если одна из осей является осью симметрии – оси главные. Сумма моментов инерции при повороте осей не меняется.

В главных осях моменты инерции экстремальны относительно повернутых. Как следствие, при равных главных моментах инерции все повернутые оси главные.

14. Моменты инерции простых и сложных сечений

Вся теория изложена выше.

ДЕ №6

14. Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры

Связь поперечной силы и погонной нагрузки .?????

Связь изгибающего момента и поперечной силы .

Поперечная сила Q_y в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Момент в произвольном поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_z изображено на рисунке… ????????

14. Напряжения в поперечном сечении стержня при плоском изгибе

При плоском поперечном изгибе нормальные напряжения по ширине сечения балки распределяются равномерно.

При плоском изгибе стержня нормальные напряжения по высоте поперечного сечения имеют линейный закон распределения; равны нулю на нейтральной линии и достигают максимума в точках, наиболее удаленных от нее.

Нормальные напряжения в точке с координатой равно .

Максимальные нормальные напряжения в сечении определяются формулой ,

где момент сопротивления . Например, для прямоугольника , для круга .

Вывод формулы для определения нормальных напряжений при чистом изгибе основывается на гипотезе плоских сечений и гипотезе об отсутствии взаимного надавливания продольных слоев балки.

Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе определяются по формуле ; равны нулю на поверхности (при и ) и максимальны в центре тяжести сечения (при ).

Направление касательных напряжений соответствует направлению суммы внешних сил слева от сечения. ????. Направление касательных напряжений в продольном сечении определяется по закону парности касательных напряжений.