Kollokvium_Ekzamen / Вопросы для подготовки к экзамену

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (1-ый курс физического факультета) И ПО КУРСУ «АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (1-ый курс ФИТ)

12. Элементы векторной алгебры

1. Определение вектора, характеристики вектора.

2. Сложение векторов: определение, свойства.

3. Умножение вектора на действительное число: определение, свойства.

4. Коллинеарные векторы: определение, свойства, необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векторов (три условия). Базис в пространстве коллинеарных векторов.

5. Компланарные векторы: определение, свойства, необходимые и достаточные условия компланарности трёх векторов (четыре условия). Базис в пространстве компланарных векторов.

6. Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам.

7. Векторное пространство: определение, примеры, базис.

8. Координаты вектора в данном базисе: определение, примеры, свойства. Действия с векторами в координатах.

9. Проекция на прямую параллельно данной плоскости: определение, свойства. Векторная проекция вектора, её свойства.

10. Числовая проекция вектора на ось, её свойства.

11. Ортогональная проекция вектора на ось, её свойства.

12. Скалярное произведение упорядоченной пары векторов: определение, свойства, формулы для вычисления. Применение скалярного произведения векторов к решению задач.

13. Векторное произведение упорядоченной пары векторов: определение, свойства, формула для вычисления, геометрический смысл. Применение векторного произведения к решению задач.

14. Смешанное произведение упорядоченной тройки векторов: определение, свойства, формулы для вычисления, геометрический смысл. Применение смешанного произведения к решению задач.

38. Метод координат на плоскости и в пространстве

15. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат.

16. Аффинные задачи на плоскости и в пространстве:

1) координаты вектора ;

2) координаты точки С, если или ;

17. Метрические задачи на плоскости и в пространстве (расстояние между точками; угол, заданный тремя точками; площади треугольника и параллелограмма; объём тетраэдра и параллелепипеда).

18. Условия, определяющая фигуру в аффинной и прямоугольной системах координат.

lll. Прямая линия на плоскости

19. Уравнения прямой, проходящей через а) данную точку параллельно данному вектору; б) две данные точки. Уравнение прямой в отрезках.

20. Общее уравнение прямой.

21. Исследование взаимного расположения двух и трёх прямых.

22. Уравнения прямой, проходящей через данную точку

а) перпендикулярно данному вектору;

б) под данным углом к оси (ОХ). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

23. Нормальное уравнение прямой. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.

24. Угол между прямыми, заданными а) общими уравнениями; б) уравнениями с угловыми коэффициентами.

25. Расстояние от точки до прямой.

26. Геометрический смысл неравенств Ах + Ву + С  0 (< 0, > 0,  0).

27. Пучок а) параллельных прямых; б) пересекающихся прямых.

lV. Плоскость и прямая в пространстве

28. Уравнения плоскости, проходящей через

а ) данную точку параллельно двум неколлинеарным векторам;

б) три не лежащие на одной прямой точки;

в) данную точку перпендикулярно данному вектору.

29. Общее уравнение плоскости.

30. Нормальное уравнение плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

31. Исследование взаимного расположения двух и трёх плоскостей.

32. Угол между двумя плоскостями. Условия перпендикулярности двух плоскостей.

33. Расстояние от точки до плоскости.

34. Уравнения прямой, проходящей через а) данную точку параллельно данному вектору; б) две данные точки.

35. Общие уравнения прямой, приведение общих уравнений к каноническому виду.

36. Исследование взаимного расположения а) двух прямых, б) прямой и плоскости.

37. Расстояние а) от точки до прямой, б) между скрещивающимися прямыми.

38. Угол между а) двумя прямыми, б) прямой и плоскостью.

39. Геометрический смысл неравенств Ах + Ву + Сz + D  0 (< 0, > 0,  0).

40. Пучки параллельных и пересекающихся плоскостей.

41. Преобразования аффинных координат а) на плоскости, в) в пространстве.

42. Преобразование прямоугольных координат а) на плоскости,

в) пространстве.

V. Элементарная теория кривых второго порядка

43. Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, исследование формы, эксцентриситет, директрисы, касательные.

44. Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, исследование формы, асимптоты, эксцентриситет, директрисы, касательные.

45. Парабола: определение, вывод канонического уравнения, исследование формы, касательная.

46. Преобразование общего уравнения линии 2-го порядка путём поворота осей прямоугольной системы координат .

47. Упрощение уравнения линии 2-го порядка путём поворота осей прямоугольной системы координат и переноса начала координат.

48. Метрическая классификация линий второго порядка.

Vl. Элементарная теория поверхностей

49. Цилиндрические поверхности: определение, вывод уравнения, примеры.

50. Конические поверхности: определение, вывод уравнения, примеры.

51. Поверхности вращения: определение, вывод уравнения, примеры.

52. Эллипсоиды: определение, исследование методом сечений.

53. Однополостный гиперболоид: определение, исследование методом сечений.

54. Двуполостный гиперболоид.

55. Эллиптический и гиперболический параболоиды.

56. Прямолинейные образующие поверхности. Вывод уравнений прямолинейных образующих однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

Vll. Другие системы координат на плоскости и в пространстве

57. Полярные системы координат на плоскости: определение, примеры. Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

58. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве.

59. Расширенная евклидова плоскость: определение, свойства.

60. Система однородных проективных координат на расширенной евклидовой плоскости. Уравнения прямой и линий второго порядка в однородных координатах.

61. Расширенное евклидово пространство, Однородные проективные координаты в пространстве.

Основная литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1968.

2. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.

3. Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1964.

Дополнительная литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматлит, 2000.

2. Постников М.М. Аналитическая геометрия. – М.: Наука , 1974.

3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 1. – М.: Просвещение, любой год издания.

4. Цубербиллер О.Н. Сборник задач и упражнений по аналитической геометрии, издание 27. – М.: Физматгиз, 1970.

Методические пособия

1. Аналитическая геометрия. Лабораторные работы (8 работ). -_Пермь: ПГУ, 2003.

2. Практикум по геометрии. Разделы: «Векторное и смешанное произведения векторов», «Метод координат в пространстве». – Пермь: ПГПУ, 2002

3. Тесты по аналитической геометрии:

- Векторная алгебра, части 1 и 2.

- Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве.

- Прямая в пространстве.

- Прямая и плоскость в пространстве.

- Элементарная теория кривых 2-го порядка.