Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
49
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
3.38 Mб
Скачать

Следствия:

 

N

 

 

 

åñëè Fje

1)

= 0, òî p const;

 

j 1

 

 

 

N

 

 

2)

åñëè Fxej 0, òî px const.

j 1

Эти два следствия выражают в себе законы сохранения импульса

è проекции импульса.

Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы.

Импульс замкнутой системы неизменен.

Уравнение движения центра масс системы

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно сумме всех внешних сил:

 

 

 

N

 

 

 

Fje .

 

 

 

maC

(1.49)

 

 

 

j 1

 

Следствия:

 

 

 

 

N

 

 

 

 

1) åñëè Fje = 0, òî vC const;

 

 

j 1

 

 

 

 

N

 

 

 

 

2) åñëè Fxej = 0,

òî

vC x const; åñëè

ïðè ýòîì vC x0 = 0, òî

j 1

xC const.

Динамика вращательного движения

Динамические характеристики вращательного движения

В случае плоской системы сил моментом MO силы F относительно точки O называют скалярную (алгебраическую) величину, численно равную произведению силы F на плечо d (ðèñ. 1.10):

M O Fd,

(1.50)

ãäå d — плечо силы (расстояние от т. O до линии действия силы), d = r sin . Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки. Единицей измерения момента силы является ньютон на метр:

[M] = Í·ì.

Ðèñ. 1.10

21

В случае пространственной системы сил момент силы F относи-

тельно точки O есть вектор M O , равный векторному произведению ра-

диуса-вектора r, проведенного из т. O в точку приложения силы, на вектор силы (рис. 1.11):

 

 

 

 

 

 

 

M O (F ) r F.

(1.51)

 

Модуль момента силы

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

M O F

 

 

 

 

 

 

rF

sin r

, F

 

Fd.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент силы F относительно оси z åñòü

 

скалярная (алгебраическая)

величина M z ,

Ðèñ. 1.11

равная алгебраическому

моменту

вектора

 

проекции силы на плоскость, перпендику-

лярную оси относительно точки пересечения оси и плоскости (или как

 

 

проекцию вектора M O íà îñü z):

 

 

 

M z (F ) Fxy dxy ,

(1.52)

ãäå dxy — расстояние от оси до линии действия силы Fxy (плечо проекции силы).

Аналогичным образом вводятся моменты импульса материальной точки относительно точки O:

 

 

 

 

 

LO ( p) r

p,

 

(1.53)

и относительно оси:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lz ( p) pxy dxy mvxy dxy , [L] = êã·ì2/ñ.

(1.54)

Направление моментов определяется по правилу правого винта

 

 

 

 

 

(буравчика): поворот по кратчайшему расстоянию от r

ê F

(èëè p) âûçû-

 

 

 

 

 

вает поступательное перемещение винта в направлении вектора M

 

 

 

 

 

(èëè L).

 

 

 

 

Момент инерции материальной точки относительно оси z åñòü ñêà-

лярная величина Iz, численно равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от точки до оси:

Iz = m r2, [I] = êã·ì2. (1.55)

22

Ðèñ. 1.12

Пример. Определение динамических характеристик вращательного

движения материальной точки относительно осей координат. Точка мас-

ñîé m = 1 кг движется параллельно оси x ñî ñêî-

ростью v = 1 м/с, на нее действует сила F = 2 Í,

параллельная оси z (ðèñ. 1.12):

Lx = 0; Ly = 4 êã·ì2/ñ; Lz = –3 êã·ì2/ñ;

Mx = 6 Í·ì; My = –4 Í·ì; Mz = 0;

Ix = 25 êã·ì2; Iy = 20 êã·ì2; Iz = 13 êã·ì2.

Момент инерции — величина аддитивная, поэтому момент инерции тела относительно

îñè z находится как сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:

N

N

 

I z I zi

mi ri2 .

(1.56)

i 1

i 1

 

Значения моментов инерции тел, обладающих элементами симметрии, относительно оси, проходящей через центр масс, приведены в табл. 1.2.

 

 

Ò à á ë è ö à 1 . 2

 

 

 

Стержень

Тонкостенный цилиндр,

Øàð

Цилиндр, диск

 

обруч

 

IzC

1

m 2

IzC mR 2

IzC

1

mR 2

IzC

2

mR 2

 

 

 

12

 

2

5

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции относительно параллельной оси zC, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

23

I z I zC md 2 .

 

 

 

(1.57)

Пример. Значение момента инерции стержня массой m и длиной отно-

сительно оси, проходящей через центр масс, I zC

 

1

m 2

(ñì. òàáë. 1.2).

 

 

12

 

 

Ðèñ. 1.13

I zA I zC

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через т. A на конце стержня (рис. 1.13), можно найти по теореме Штейнера:

2

1

 

2

 

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

md

12

m

 

m

 

 

 

m .

 

 

 

2

 

 

3

 

Закон изменения момента импульса материальной точки

Производная по времени момента импульса относительно точки или оси равна моменту силы относительно этой же точки или оси:

Следствия точки):

1)åñëè M O

2)åñëè M z

dLO

dt

M O ,

(законы сохранения

=0, òî LO const;

=0, òî Lz const.

dLz

M z .

(1.58)

 

dt

 

момента импульса материальной

Момент импульса системы

Момент импульса тела и системы находится как сумма моментов импульсов материальных точек, из которых состоит тело или система:

 

 

Lz Lzi .

 

LO LOi ;

(1.59)

 

i

i

 

Для твердого тела, вращающегося вокруг

неподвижной оси (рис. 1.14), с учетом того,

÷òî vi ri , момент импульса тела относи-

тельно оси равен произведению момента инер-

ции тела относительно

ýòîé æå îñè

íà åãî

угловую скорость:

Ðèñ. 1.14

Lz Lzi

mi vi ri mi ri2 I z .

(1.60)

i

i

i

 

24

Законы изменения и сохранения момента импульса системы относительно точки и оси (уравнения моментов)

Производная по времени момента импульса системы относительно точки или оси равна сумме моментов всех внешних сил относительно

этой же точки или оси:

 

 

 

 

 

 

 

 

dLO

 

 

 

 

 

M Oei ,

(1.61)

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

dLz

e

 

 

 

 

 

 

M zi .

(1.62)

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

i

 

Следствия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) åñëè M Oei

= 0, òî LO const;

(1.63)

i

 

 

 

 

 

 

e

= 0, òî Lz const.

(1.64)

2) åñëè M zi

i

Соотношения (1.63) и (1.64) выражают законы сохранения момента импульса системы относительно точки и оси соответственно.

Основное уравнение динамики вращательного движения

Из соотношений (1.62) и (1.60)

dLz

 

d

e

 

I z

 

I z M zi .

dt

dt

 

i

Произведение момента инерции тела относительно некоторой оси на его угловое ускорение равно сумме моментов всех внешних сил относительно этой же оси:

I z M e .

zi

i

Следствие (условие равномерного вращения):

e

= 0, òî = 0 è = const.

åñëè M zi

i

 

Работа, мощность, энергия

(1.65)

(1.66)

Элементарной работой dA ñèëû F на перемещении dr называется скалярная (алгебраическая) величина, численно равная скалярному произведению векторов силы и перемещения (рис. 1.15):

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dA F dr F dr cos Fdscos F ds.(1.67)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Единица

 

измерения работы —

 

 

джоуль:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[A] = Äæ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 1.15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В декартовой ортогональной системе коор-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

динат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dA F

dr Fxdx F ydy Fz dz.

(1.68)

 

 

 

 

При вращательном движении (рис. 1.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dA M z d.

 

 

(1.69)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа на конечном перемещении из поло-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жения 1 в положение 2

 

 

 

s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A dA

F

dr

F ds. (1.70)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

s1

 

 

 

 

Ðèñ. 1.16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл интеграла — пло-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щадь криволинейной трапеции (рис. 1.17).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вращательном движении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A M z d.

(1.71)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мощность N некоторой силы — работа,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совершаемая этой силой в единицу времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

dA

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.72)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 1.17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Единица мощности — âàòò: [N] = Âò.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При поступательном движении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N F

 

F

v

Fv cos

F v,

(1.73)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при вращательном

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N M z

d

M z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.74)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим примеры вычисления работы.

26

1. Работа силы тяжести при перемещении тела массой m в поле силы тяжести планеты массой mïë из точки 1 в точку 2:

а) космические расстояния (рис. 1.18, à)

A12 G

mmïë

G

mmïë

;

(1.75)

 

 

 

r2

 

r1

 

б) вблизи поверхности планеты (рис. 1.18, á)

 

A12 mgy1 mgy2

mgh.

(1.75à)

Ðèñ. 1.18

2. Работа силы упругости при изменении деформации пружины отx1 äî x2 (ñì. ðèñ. 1.7)

A12

 

k x12

 

k x22

.

(1.76)

 

 

 

2

2

 

 

3. Работа силы трения скольжения

 

Aòð Fòð s.

(1.77)

Потенциальными (консервативными) называются силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения перемещающегося в пространстве тела и не зависит от формы траектории. При замкнутой траектории работа потенциальной силы всегда равна нулю.

Примерами потенциальных сил являются силы тяжести и упругости. Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются íå-

потенциальными.

Примерами непотенциальных сил являются силы трения и сопротивления.

27

Система тел называется консервативной, если внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, являются потенциальными, иначе система называется неконсервативной (диссипативной).

Энергия — единая мера различных форм движения материи и мера перехода движения материи из одних форм в другие.

Для характеристики различных форм движения материи вводятся соответствующие виды энергии, например: механическая, внутренняя, энергия электростатических, внутриядерных взаимодействий и др.

Энергия подчиняется закону сохранения, который является одним из важнейших законов природы.

Механическая энергия W — сумма кинетической Wê и потенциальной Wï энергий:

W = Wê + Wï.

(1.78)

Кинетическая энергия Wê материальной точки или тела является мерой механического движения, зависящей от скоростей их движения в данной инерциальной системе отсчета:

Wê

mv 2

.

(1.79)

 

2

 

 

Кинетическая энергия системы — сумма кинетических энергий тел системы:

 

 

 

Wê Wêi .

 

 

 

(1.80)

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

Кинетическая энергия вращающегося тела

 

 

 

Wê

mi vi2

 

mi 2 ri2

 

2

mi ri2

 

I z 2

. (1.81)

 

 

 

 

i

2

i

2

2

i

2

 

Закон изменения кинетической энергии: изменение кинетической энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно работе всех сил, действующих на систему:

Aâñåõ ñèë Wêêîí Wêíà÷ .

(1.82)

Потенциальной энергией Wï называется часть механической энергии, зависящая от конфигурации системы, т. е. от взаимного расположения ее частей и их положения во внешнем силовом поле.

28

Потенциальная энергия зависит от относительного расположения взаимодействующих материальных точек и относится ко всей совокупности взаимодействующих объектов. Поэтому ее называют взаимной потенциальной энергией. Говоря о потенциальной энергии одной точки, всегда имеют в виду и другие, с которыми она взаимодействует.

Потенциальная энергия определяется с точностью до константы, поскольку физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение при переходе из одного состояния в другое.

Мерой изменения потенциальной энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое является работа потенциальных сил, осуществляющих взаимодействие между элементами системы. При этом

работа потенциальных сил равна убыли потенциальной энергии:

Aï.ñèë Wïíà÷ Wïêîí .

(1.83)

Учитывая соотношения (1.74)–(1.76) для работы потенциальных сил, напишем выражения для потенциальной энергии в поле соответствующих сил:

1. а) потенциальная энергия взаимодействия тел массами m1 è m2, находящихся на расстоянии r друг от друга (см. рис. 1.6),

Wï G

m1 m2

;

(1.84)

 

 

r

 

б) потенциальная энергия тела массой m, находящегося в точке с координатой y вблизи поверхности планеты (см. рис. 1.18, á),

Wï = mgy.

(1.85)

2. Потенциальная энергия упруго сжатой или растянутой пружины (см. рис. 1.7)

Wï

k x2

.

(1.86)

 

2

 

 

Работу всех сил в замкнутой системе можно представить как сумму работ потенциальных сил и сил трения (сопротивления):

Aâñåõ ñèë Aï.ñèë Aòð .

С учетом (1.82)–(1.83)

Wêêîí Wêíà÷ Wïíà÷ Wïêîí Aòð

29

Ðèñ. 1.19

èëè

Wêêîí Wïêîí Wêíà÷ Wïíà÷ Aòð .

Приходим к закону изменения механической энергии: изменение механической энергии замкнутой системы равно работе сил трения (сопротивления):

W êîí W íà÷ Aòð Fòð s 0.

(1.87)

Если система консервативна (нет сил трения), то Aòð = 0.

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой консервативной системы не изменяется:

Wê Wï const.

(1.88)

Если система неконсервативна, то в ней происходит диссипация энергии — рассеивание механической энергии, переход ее в другие виды.

Соударение тел

Óäàð — значительное изменение скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. При соударениях тела деформируются.

Если при соударениях в некоторой системе импульсом внешних сил можно пренебречь, то импульс системы не изменяется (выполняется закон сохранения импульса системы).

Ïðè абсолютно упругом ударе силы взаимодействия соударяющихся тел потенциальны. В результате такого взаимодействия механическая энергия системы не изменяется.

Ïðè абсолютно неупругом ударе между

телами действуют непотенциальные силы, и после такого удара тела движутся как единое целое с общей скоростью.

Óäàð называется центральным, если скорости тел до удара направлены вдоль линии,

соединяющей центры масс тел.

Пример 1. Центральный абсолютно упру-

гий удар двух шаров (рис. 1.19). Выполняются законы сохранения им-

пульса и механической энергии:

30