Тема 6. Показатели вариации

Вариация– это колеблемость, многообразие, изменяемость величины (вариантов) признака у отдельных единиц совокупности

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.

К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане). Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.

Размах вариации (R) — это разность между наибольшим (x_max) и наименьшим (x_min)значениями варьирующего признака:

Среднее линейное отклонение ()— вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариантx_iотx:

(простое);

(взвешенное)

Дисперсия (²) представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):

(простая);

(взвешенная)

Второй способ расчёта дисперсии:

_{где — средняя из квадратов индивидуальных значений}

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ():

Среднее квадратическое отклонение показывает, на какую величину в среднем значение признака отличается от среднего значения.

Исчисление среднего квадратического отклонения для явно несимметричных распределений не имеет смысла.

Относительные показатели вариации

Коэффициент осцилляции (V_R):

Линейный коэффициент вариации ():

Коэффициент вариации (V_):

Наиболее часто в практических расчетах применяется коэффициент вариации. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).

Дисперсия альтернативного признака

Альтернативный признак – это признак, которым обладает часть единиц и не обладает другая часть единиц совокупности.

Дисперсия равна произведению доли (р) на дополняющее эту долю до единицы число (q):

.

где p – доля единиц, обладающих признаком;

q – доля единиц, не обладающих признаком.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при р= 0,5.

Пример 6.1. Из 200 студентов факультета — 60 чел. – неуспевающие.

Доля неуспевающих студентов равна p = 60 / 200 = 0,3

Доля успевающих студентов равна q = 1 – 0,3 = 0,7

Дисперсия доли равна = 0,3 · 0,7 = 0,21

Пример 6.2. Расчет по несгруппированным данным. Имеются данные о стаже 10 работников — 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 9, 12. Рассчитать показатели вариации.

Составим рабочую таблицу для расчёта.

Номер работник	Стаж, лет (хi)				x2
1	1	-4	4	16	1
2	2	-3	3	9	4
3	3	-2	2	4	9
4	3	-2	2	4	9
5	4	-1	1	1	16
6	4	-1	1	1	16
7	5	0	0	0	25
8	7	2	2	4	49
9	9	4	4	16	81
10	12	7	7	49	144
Итого	50	0	26	104	354

Средний стаж равен лет.

Размах вариации R=12–1= 11 лет.

Далее рассчитываем отклонения от средней ,и

Среднее линейное отклонение лет.

Дисперсия

Средняя из квадратов

Второй способ расчёта дисперсии = 35,4 – 5²= 10,4

Среднее квадратическое отклонение года

Коэффициент вариации V= 3,22 / 5 = 0,645 или 64,5%

Линейный коэффициент вариации : V_d= 2,6 / 5 = 0,520 или 52,0%.

Пример 6.3. Расчёт по интервальному вариационному ряду.

Имеются данные о распределении рабочих по зарплате

Зарплата, тыс.руб.	Число рабочих, чел.(f)
до 10	13
10–20	20
20–30	25
30–40	28
40 и более	14
Итого	100

Рассчитать показатели вариации.

Решение: Составим рабочую таблицу для расчёта.

Зарплата	f	Середина интервала (х)	xi·fi
до 10	13	5	65	-21	21	273	5733
10–20	20	15	300	-11	11	220	2420
20–30	25	25	625	-1	1	25	25
30–40	28	35	980	9	9	252	2268
40 и более	14	45	630	19	19	266	5054
Итого	100		2600			1036	15500

Средняя зарплата тыс.руб.

Среднее линейное отклонение тыс.руб.

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение тыс.руб.

Коэффициент вариации V= 12,45 / 26 = 0,479 или 47,9%

Линейный коэффициент вариации : V_d= 10,36 / 26 = 0,398 или 39,8%.