- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
- •Тема 1. Предмет, метод и задачи статистики
- •Тема 2. Статистическое измерение и наблюдение
- •Тема 3. Сводка и группировка материалов статистического наблюдения
- •Тема 4. Абсолютные и относительные величины
- •Тема 5. Средние величины
- •Структурные средние
- •Определение моды по дискретному ряду распределения
- •Определение моды и медианы по интервальным вариационным рядам
- •Тема 6. Показатели вариации
- •Относительные показатели вариации
- •Дисперсия альтернативного признака
- •Виды дисперсий
- •Тема 7. Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений
- •Аналитические показатели ряда динамики
- •Средние показатели в рядах динамики
- •Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики
- •Выравнивание по уравнению прямой
- •Методы выявления сезонной компоненты
- •Основы прогнозирования
- •Тема 8. Экономические индексы
- •Тема 9. Выборочное наблюдение
- •Тема 10. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений
- •Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов
- •Параметрические методы изучения связи
- •Принятие решений на основе уравнений регрессии
- •Методы изучения связи качественных признаков
- •Ранговые коэффициенты связи
- •Рекомендуемая литература
- •Тема 1. Предмет, метод и задачи статистики 2
Тема 6. Показатели вариации
Вариация– это колеблемость, многообразие, изменяемость величины (вариантов) признака у отдельных единиц совокупности
Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.
К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане). Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.
Размах вариации (R) — это разность между наибольшим (xmax) и наименьшим (xmin)значениями варьирующего признака:
Среднее линейное отклонение ()— вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариантxiотx:
(простое);
(взвешенное)
Дисперсия (2) представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):
(простая);
(взвешенная)
Второй способ расчёта дисперсии:
где — средняя из квадратов индивидуальных значений
Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ():
Среднее квадратическое отклонение показывает, на какую величину в среднем значение признака отличается от среднего значения.
Исчисление среднего квадратического отклонения для явно несимметричных распределений не имеет смысла.
Относительные показатели вариации
Коэффициент осцилляции (VR):
Линейный коэффициент вариации ():
Коэффициент вариации (V):
Наиболее часто в практических расчетах применяется коэффициент вариации. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).
Дисперсия альтернативного признака
Альтернативный признак – это признак, которым обладает часть единиц и не обладает другая часть единиц совокупности.
Дисперсия равна произведению доли (р) на дополняющее эту долю до единицы число (q):
.
где p – доля единиц, обладающих признаком;
q – доля единиц, не обладающих признаком.
Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при р= 0,5.
Пример 6.1. Из 200 студентов факультета — 60 чел. – неуспевающие.
Доля неуспевающих студентов равна p = 60 / 200 = 0,3
Доля успевающих студентов равна q = 1 – 0,3 = 0,7
Дисперсия доли равна = 0,3 · 0,7 = 0,21
Пример 6.2. Расчет по несгруппированным данным. Имеются данные о стаже 10 работников — 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 9, 12. Рассчитать показатели вариации.
Составим рабочую таблицу для расчёта.
Номер работник |
Стаж, лет (хi) |
x2 | |||
1 |
1 |
-4 |
4 |
16 |
1 |
2 |
2 |
-3 |
3 |
9 |
4 |
3 |
3 |
-2 |
2 |
4 |
9 |
4 |
3 |
-2 |
2 |
4 |
9 |
5 |
4 |
-1 |
1 |
1 |
16 |
6 |
4 |
-1 |
1 |
1 |
16 |
7 |
5 |
0 |
0 |
0 |
25 |
8 |
7 |
2 |
2 |
4 |
49 |
9 |
9 |
4 |
4 |
16 |
81 |
10 |
12 |
7 |
7 |
49 |
144 |
Итого |
50 |
0 |
26 |
104 |
354 |
Средний стаж равен лет.
Размах вариации R=12–1= 11 лет.
Далее рассчитываем отклонения от средней ,и
Среднее линейное отклонение лет.
Дисперсия
Средняя из квадратов
Второй способ расчёта дисперсии = 35,4 – 52= 10,4
Среднее квадратическое отклонение года
Коэффициент вариации V= 3,22 / 5 = 0,645 или 64,5%
Линейный коэффициент вариации : Vd= 2,6 / 5 = 0,520 или 52,0%.
Пример 6.3. Расчёт по интервальному вариационному ряду.
Имеются данные о распределении рабочих по зарплате
Зарплата, тыс.руб. |
Число рабочих, чел.(f) |
до 10 |
13 |
10–20 |
20 |
20–30 |
25 |
30–40 |
28 |
40 и более |
14 |
Итого |
100 |
Рассчитать показатели вариации.
Решение: Составим рабочую таблицу для расчёта.
Зарплата |
f |
Середина интервала (х) |
xi·fi | ||||
до 10 |
13 |
5 |
65 |
-21 |
21 |
273 |
5733 |
10–20 |
20 |
15 |
300 |
-11 |
11 |
220 |
2420 |
20–30 |
25 |
25 |
625 |
-1 |
1 |
25 |
25 |
30–40 |
28 |
35 |
980 |
9 |
9 |
252 |
2268 |
40 и более |
14 |
45 |
630 |
19 |
19 |
266 |
5054 |
Итого |
100 |
|
2600 |
|
|
1036 |
15500 |
Средняя зарплата тыс.руб.
Среднее линейное отклонение тыс.руб.
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение тыс.руб.
Коэффициент вариации V= 12,45 / 26 = 0,479 или 47,9%
Линейный коэффициент вариации : Vd= 10,36 / 26 = 0,398 или 39,8%.