Структурные средние

Мода(Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Моду можно определить для любого количественного и качественного признака. Мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака.

Медианой(Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. Медиану можно определить только для порядкового качественного признака. Медиана выполняет функции средней для неоднородной совокупности.

Пример 5.5.Определить моду и медиану по несгруппированным данным.

Даны значения признака группы работников (стаж работы, лет):

5, 2, 4, 3, 4,2, 2.

Решение: чаще всего встречается стаж 2 года, следовательно М_о=2 года.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование (упорядочивание):

2, 2, 2, 3, 4, 4, 5. В середине ряда — цифра 3, это и есть медиана.

Если количество значений четное: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 9

Медиана определяется как средняя из двух центральных значений (3 и 4)

Ме = (3+4)/2 = 3,5 года.

Определение моды по дискретному ряду распределения

Отыскиваем группу, в которой находится наибольшее число единиц (с максимальной частотой или частостью). Значение варианта признака (х) в этой группе и есть мода.

Для определения медианного значения признака находят номер медианной единицы ряда (№_Me):

где n— объем совокупности.

Определяют, в какой группе находятся единицы с этим порядковым номером. Для этого рассчитывают накопленные частоты (или частости). Значение варианта признака (х) в этой группе и есть медиана.

Пример 5.6. Имеются данные о цене молока по группе магазинов.

Цена, руб./л (х)	Число магазинов (f)	Накопленная частота (fн)
25	3	3
26	18	21
27	25	46
28	31	77
29	35
30	8
Итого	120

Наибольшая группа имеет численность f=35. Следовательно , М_о=29 руб. — это цена в данной группе.

Для нахождения медианы находят номер медианной единицы ряда

Полученное дробное значение указывает, что точная середина находится между 60-й и 61-ой единицами. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 3 торговых предприятия, их также нет ни во второй группе (3 + 18 = 21),ни в третьей группе (3 + 18 + 25 = 46)

Следовательно, 60-е и 61-е предприятия находятся в четвертой группе (3 + 18 + 25 + 31 = 77), а значит, медианой является цена 28 руб.

Определение моды и медианы по интервальным вариационным рядам

Определение моды и медианы требует проведения расчетов на основе следующих формул:

,

где х_o— нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту в случае равных интервалов);h— величина модального интервала;f_Mo— частота модального интервала;f_Mo-1— частота интервала, предшествующего модальному;f_Mo+1— частота интервала, следующего за модальным.

,

где х₀— нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);h— величина медианного интервала;S_Мe-1— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;f_Me— частота медианного интервала.

Пример 5.7. Имеются данные о распределении рабочих по зарплате

Зарплата, тыс.руб.	Число рабочих, % к итогу (ω)	ω накопленная, %
до 10	13	13
10–20	20	33
20–30	25	58
30–40	28
40 и более	14
Итого	100

Определить моду и медиану.

Сначала определяем модальный интервал по наибольшей частоте (в данном случае частости). Наибольшее число рабочих 28% получают зарплату в интервале 30–40 тыс.руб., который и является модальным интервалом:

Мо= 30+10= 31,8 тыс.руб. .

Большинство рабочих получают зарплату 31,8 тыс.руб.

Определяем медианный интервал. Медианным интервалом будет такой, кумулятивная (накопленная) частота (или частость) которого равна или превышает половину суммы частот. Для этого подсчитаем сумму частостей – 100%, половина суммы (100:2) = 50%, то есть кумулятивная частость должна быть не меньше 50%.

Образуем кумулятивную частоту, накапливая частоты от первого интервала (13+20+25=58). Значит, медианный интервал будет от 20 до 30. Находим медиану:

Ме = 20+10 = 26,8 тыс.руб. .

Следовательно, половина рабочих имеют зарплату до 26,8 тыс.руб., а половина выше 26,8 тыс.руб.