Вариационное исчисление

I =  (y ² - 12ху )dx , y(0) = 0 , y(1) = 1 .

¹

Требуется найти функцию, доставляющую экстремум функционалу и определить вид экстремума.

Решение.

1. Запишем формулу Эйлера: f_y - d(f_y )/dx = 0

f = y ² - 12ху , f_y = - 12x , f_y = 2y

- 12x - (2y)_x = 0 ,

1. Решаем полученное дифференциальное уравнение:

- 12x - 2y = 0 ,

y = - 6x ,

y = - 3x² + c₁ ,

y =- x³ + c₁x + c₂

Определяем константы: y(0) = c₂ =0

y(1) = - 1 + c₁ = 1 , c₁ = 2

y(x) = - x³ + 2x

3. Определение типа экстремума: f_yy = (2y)_y = 2 , следовательно, при найденной функцииу(х)функционал достигает максимума.

Замечание. В вариантах задания функция представляется в виде x(t), т.е. х - функция,t- аргумент.

Задание № 4

Оптимальное управление

Дан объект второго порядка, имеющий два нулевых корня. Найти оптимальное по быстродействию управление, при котором объект из любой точки фазовой плоскости переходил бы в начало координат за минимальное время.

u = d²y/dt² , u  1, y₁₀(0)= 1 , y₂₀(0)= 0 , y_1к(T)= 0 , y_2к(T)= 0 .

Решение

Первоначальное управление u=-1, после переключенияu=1.

1.Находим начальную и конечную траекторию движения.

Для рассматриваемого случая начальная траектория y₁ = - 0,5 y₂² + S₂ ,

конечная траектория y₁ = 0,5 y₂².

2.Подставляем координаты начальной точки y₁(0)= y₁₀ , y₂(0)= y₂₀ , в уравнения для фазовых координат при управлениии = -1, находим постоянныеA₁ ,A₂, S₂:

y₂ = - t + А₁ ,

y₁ = - t²/2 + А₁ t + А₂ = - 0,5 y₂² + S₂ ,

y₂₀ = 0 + А₁ ,

y₁₀ = 0 + 0 + А₂ ,

y₁₀ = - 0,5 y₂₀² + S₂ , S₂ = y₁₀ + 0,5 y₂₀²

y₁₀ = 1 y₂₀ = 0 А₁ =0 А₂ = 1 S₂ =1.

3. Нахождение времени переключения. Для этого используем равенство y₁ = 0,5 y₂² (уравнение линии переключения) :

• t_п²/2 + А₁t_п + А₂ = 0,5 (-t_п + А₁ )²

t_п = 1.

4. Находим координаты точки переключения:

y_1п = - t_п²/2 + А₁ t_п + А₂ ,

y_2п = - t_п + А₁

y_1п = 0.5 y_2п = -1 .

5. Находим коэффициенты K₁ иK₂, решив систему уравнений:

y_1п = t_п²/2 + K₁t_п + K₂ ,

y_2п = t_п + K₁

K₁ = -2

K₂ = 2.

6. Находим время прихода в конечную точку из уравнения:

y_2к = 0 = t_к + K₁ , t_к = - K₁

t_к = 2.

Оптимальная траектория движения изображена на рисунке.

Рис. Оптимальная траектория движения.

Контрольные вопросы

1. Что общего и чем отличаются друг от друга задачи линейного программирования, задачи нелинейного программирования, задачи вариационного исчисления и оптимального управления?

2. Может ли задача линейного программирования иметь множество решений, а если может, то в каких случаях это происходит?

3. Как по симплекс-таблице найти координаты вершины допустимого многогранника? Каков признак получения оптимального решения?

4. Как привести к каноническому виду ЗЛП, имеющую ограничения всех трех видов?

5. Каков главный недостаток метода «дихотомии»? Почему методы «золотого сечения» и Фибоначчи имеют более высокое быстродействие?

6. Сформулируйте критерии окончания счета при поиске безусловного экстремума функции многих переменных. Какой из методов - покоординатного или наискорейшего спусков - имеет более высокую сходимость и почему?

7. Что общего и чем отличаются друг от друга методы наискорейшего и покоординатного спусков?

8. В каких случаях применяется метод «неопределенных множителей Лагранжа»? В чем суть этого метода?

9. Какова постановка задачи поиска условного экстремума численными методами? Когда применяется метод «штрафных функций»? Приведите алгоритм решения задачи нелинейного программирования методом «штрафных функций».

10. Приведите пример задачи вариационного исчисления. Какова постановка задачи вариационного исчисления?

11. Как решаются задачи вариационного исчисления? В каких случаях применяется формула Эйлера-Лагранжа?

12. Приведите пример функционала, зависящего от производных высших порядков. Какая формула применяется для решения таких задач?

13. Какова постановка задачи оптимального управления? Приведите пример задачи оптимального управления.

14. Как решить задачу оптимального управления с помощью принципа максимума Понтрягина?

15. Как формулируется теорема Фельдбаума «об n интервалах»?

24