3.9. Индуктивность

Пусть в некотором контуре течет ток . Этот ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. Силовые линии магнитного поля пронизывают данный контур, и имеет место магнитный поток. Магнитный поток через контур, созданный током самого контура называетсясобственным магнитным потоком контура. Величина магнитного поля, создаваемого каждым небольшим элементом контура согласно закону Био-Савара-Лапласа прямо пропорциональна току . Следовательно, магнитная индукцияв каждой точке пространства прямо пропорциональна току, а значит и собственный магнитный поток всегда прямо пропорционален току. Таким образом, можно записать:

, (3.23)

где  некоторый коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент пропорциональности между собственным магнитным потоком и током называетсяиндуктивностью. В СИ индуктивность измеряется в Генри (Гн).

Индуктивность контура зависит от геометрических характеристик контура и магнитных свойств среды, в которой находится данный контур.

Рассчитаем, например, индуктивность длинного соленоида без сердечника. Магнитное поле внутри длинного соленоида (см. формулу (3.18) и пример 3.7)

,

причем силовые магнитные линии параллельны оси соленоида. Следовательно, полный собственный магнитный поток соленоида

.

Сравнение с формулой (3.23) дает:

. (3.24)

В заключение отметим, что наличие ферромагнитного сердечника, безусловно, скажется на величинах магнитного поля и магнитного потока, пронизывающего витки соленоида. Это значит, что изменится и индуктивность. Этого вопроса мы еще коснемся в дальнейшем, а пока отметим, что причина зависимости индуктивности от вещества сердечника – намагниченность вещества. В результате вещество создает дополнительное магнитное поле, складывающееся с полем, создаваемым током, текущим по виткам соленоида.

3.10. Закон электромагнитной индукции

Пусть произвольный контур (может быть, с током) находится во внешнем магнитном поле. Тогда полный магнитный поток через этот контур будет складываться из магнитного потока от внешнего поля и собственного магнитного потока, обусловленного током в самом контуре: . Сформулируем закон электромагнитной индукции. Всякий раз при изменении полного магнитного потока через произвольный контур в контуре возникает электродвижущая сила, называемая электродвижущей силой индукции:

, (3.25)

где  изменение полного магнитного потока через контур,  время, за которое произошло это изменение. Если контур проводящий, то ЭДС индукции приведут к возникновению индукционного тока , где полное сопротивление контура.

Уравнение (3.25) представляет собой математическую запись закона электромагнитной индукции Фарадея. Именно Фарадей, основываясь на многочисленных экспериментальных данных, полученных им же, вывел этот закон.

Понятие ЭДС всегда ассоциируется с некоторыми сторонними силами, которые, действуя на свободные заряженные частицы вещества, приводят к появлению тока. Так, в химических элементах, обсуждаемых в п.п. 2.16 и 2.17, действуют «химические» силы, стремящиеся привести систему окислитель – восстановитель в положение равновесия, в результате чего по цепи идет ток. Природу сторонних сил, приводящих к появлению ЭДС индукции, мы будем обсуждать отдельно в п. 3.15. А пока отметим, что уравнение (3.25) справедливо независимо от причин, вызывающих изменение полного магнитного потока, и независимо от природы сторонних сил, приводящих к появлению ЭДС индукции.

Вообще говоря, уравнение (3.25) определяет некоторое среднее за промежуток времени значение ЭДС индукции. Переходя от конечных приращений потока и времени к очень (бесконечно) малым приращениям этих величин (дифференциалам) можно определить мгновенное значение ЭДС индукции:

, (3.25,а)

т.е. величина мгновенного значения электродвижущей силы индукции в контуре равна производной полного магнитного потока контура по времени. Производную называют скоростью изменения магнитного потока. Учитывая, что полный магнитный поток представляет собой сумму внешнего и собственного потоков, получаем:

. (3.25,б)

Слагаемое представляет собой ЭДС индукции, возникающей за счет изменения внешнего магнитного потока через контур. Внешний магнитный поток (см. формулу (3.19)) может изменяться по трем причинам – вследствие изменения величины, площади контураили угла. Обобщая, можно сделать вывод о том, что первое слагаемое ЭДС индукции обусловлено изменением внешнего поля во времени либо движением контура или его частей во внешнем магнитном поле. В простейшем опыте наблюдать явление электромагнитной индукции можно, приближая или удаляя один из полюсов магнита от проводящего кольца (рис. 3.18), либо, наоборот, кольцо удалять или приближать к магниту. При этом внешний магнитный поток через кольцо увеличивается или уменьшается, в кольце возникает ЭДС индукции и идет индукционный ток, о котором можно судить по отбросу стрелки гальванометра, если его включить в цепь. Отметим, что индуктивность одного витка очень мала. Поэтому, рассматривая данное явление, можно считать, что ЭДС индукции обусловлена лишь изменением внешнего поля, пренебрегая собственным полем кольца и не учитывая второе слагаемое в уравнении (3.25,б).

Второе слагаемое в уравнении (3.25,б) называется ЭДС самоиндукции:

. (3.26)

Такое название связано с тем, что это слагаемое связано с изменением собственного магнитного потока контура. Согласно уравнению (3.23) изменение собственного магнитного потока может происходить за счет изменений тока в контуре или индуктивности контура. Если индуктивность контура не меняется с течением времени, то равенство (3.26) можно представить в виде:

(3.26,а)

В сущности, на рис. 3.18 представлен один из многочисленных опытов Фарадея. «Магнетизм превратить в электричество»  такова была основная цель, к которой стремился Фарадей в течение 10 лет (1821-1831 г.г.), веривший в эту идею. Главный вывод, который он сделал: электрический ток возникает при движении катушки и магнита относительно друг друга. Вскоре после этого Фарадей создал первый генератор электрического тока. Его устройство и работу мы еще будем обсуждать в дальнейшем.

Пример 3.8. Плоский контур из проволоки с сопротивлением Ом и площадьюм² находится в однородном внешнем магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца. Индукция поля начинает равномерно изменяться со скоростью Тл/с. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в витке. Индуктивность витка очень мала.

Решение. При изменении внешнего магнитного поля на величину магнитный поток через контур изменяется на величину(поскольку вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости кольцаи). Вследствие изменения магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции, по кольцу течет ток . При протекании тока кольцо нагревается. По закону Джоуля-Ленца тепло, выделяющееся в кольце за единицу времени или тепловая мощность (см. формулу (2.7))

Вт.

Решая эту задачу, мы пренебрегли ЭДС самоиндукции из-за малой индуктивности витка.