3.11. Правило Ленца

Часто, выполняя расчеты в задачах на электромагнитную индукцию, знак минус, который фигурирует во всех формулах (3.25, 3.26), учитывать необязательно (см. пример 3.8). Что же означает этот знак? Знак минус в формулах (3.25, 3.26) отражает правило Ленца, позволяющее определить направление индукционного тока: индукционный ток, возникающий в результате электромагнитной индукции, всегда направлен так, чтобы препятствовать причине, его вызвавшей. Математически это правило означает, что знаки ЭДС индукции и изменения потока противоположны: если магнитный поток увеличивается (), то ЭДС индукции отрицательна, если магнитный поток уменьшается (), то ЭДС индукции положительна.

Обратимся вновь к рис. 3.18 (ближняя сторона кольца слева). Ответим на два вопроса. Куда будет направлен индукционный ток в кольце? Как будут взаимодействовать кольцо с магнитом?

Опыт, изображенный на этом рисунке, можно описать различными способами. Для ответа на первый вопрос удобно считать, что причиной возникновения ЭДС индукции и индукционного тока в кольце является увеличение магнитного потока через контур вследствие приближения магнита к контуру. Тогда собственное магнитное поле кольца, созданное индукционным током, должно препятствовать увеличению внешнего потока, т.е. собственное магнитное поле будет направлено против внешнего поля. Следовательно, по правилу буравчика ток в кольце потечет против часовой стрелки, если смотреть на кольцо справа. Если магнит удалять от кольца, то собственное магнитное поле кольца будет препятствовать уменьшению внешнего потока, т.е. направлено так же, как и внешнее поле. Значит, в этом случае индукционный ток потечет по часовой стрелке, если смотреть на кольцо справа.

Поскольку магнитное поле действует на движущиеся заряды или токи, очевидно, что поле магнита будет действовать на кольцо с индукционным током с некоторой силой. Для ответа на второй вопрос удобно причиной возникновения ЭДС индукции и индукционного тока в кольце считать просто приближение магнита к кольцу, т.е. уменьшение расстояния между магнитом и кольцом. В этом случае согласно правилу Ленца индукционный ток в кольце потечет таким образом, что появится противодействие этой причине, т.е. между кольцом и магнитом возникнут силы отталкивания. Понятно, что в случае увеличения расстояния между магнитом и кольцом возникнут силы притяжения. Советуем читателям поразмыслить над тем, как будет взаимодействовать магнит с кольцом в случае, если в кольце имеется разрез.

Рассмотрим еще один опыт, демонстрирующий правило Ленца (рис. 3.19). Подвесим между полюсами электромагнита маятник, нижняя часть которого представляет собой медную пластинку, и выведем его из положения равновесия. Что же будет происходить с маятником дальше? При движении маятника в медной пластинке возникнут индукцион­ные токи, направления которых будет меняться. Причиной возникновения этих токов можно просто считать движение маятника. По правилу Ленца взаимодействие индукционных токов с магнитом должно препятствовать этой причине, т.е. движению маятника. Таким образом, колебания маятника будут затухать, подобно колебаниям в вязкой жидкости.

Замкнутые токи, возникающие в сплошных проводящих средах, называются вихревыми токами или токами Фуко – по имени открывшего их французского ученого. Токи Фуко могут быть как вредными, так и полезными. Они возникают в сердечнике при любом изменении магнитного потока через витки катушки. Например, в сердечниках трансформаторов, вращающихся частей генераторов и двигателей, токи Фуко вызывают бесполезное нагревание. Поэтому сердечники делают шихтованными, из тонких листов стали, разделенных тончайшими слоями диэлектрика. Прослойки диэлектрика пересекают возможные пути протекания вихревых токов и тем самым значительно их ослабляют. Для токов Фуко нашли и полезное применение. Они используются в индукционных печах для плавки металлов или приготовления пищи. При этом проводящее тело (металл или пища) фактически играет роль сердечника. Оно помещается внутрь катушки, по которой пропускается переменный ток высокой частоты, порождающий внутри катушки переменное магнитное поле. А далее «работает» закон электромагнитной индукции. Переменное магнитное поле вызывает появление индукционных токов Фуко, которые и разогревают проводящее тело.

В заключение отметим, что правило Ленца является лишь частным случаем более общего принципа Ле Шателье – Брауна: если систему, находящуюся в состоянии устойчивого равновесия, попытаться вывести из этого состояния при помощи какого-либо воздействия, то в системе возникнут процессы, стремящиеся ослабить результат этого воздействия. Иными словами, эти процессы всегда стремятся уничтожить причину, их вызвавшую. Приведем примеры.

Попытаемся слегка сместить рукой вертикально висящий маятник. Маятник будет давить на руку, стремясь возвратиться в исходное состояние.

Заключим газ в цилиндр, закрытый легким подвижным поршнем. В равновесии давление газа будет равно внешнему давлению. Если сместить поршень вверх, увеличивая объем газа, то давление газа упадет и станет меньше внешнего. Это будет служить препятствием для дальнейшего перемещения поршня вверх.

Внесем проводник в электрическое поле. В результате на каждый свободный заряд проводника будет действовать сила. Возникнет процесс перераспределения зарядов в проводнике таким образом, что электрическое поле внутри проводника исчезнет (см. п. 1.7), т.е. причина (электрическое поле) перераспределения зарядов будет уничтожена.

Пример 3.9. Катушка с сопротивлением Ом и индуктивностьюГн замкнута накоротко и находится в однородном внешнем магнитном поле. За некоторое время внешний магнитный поток возрастает на величинуВб за счет изменения внешнего поля, а ток достигает значенияА. Какой заряд прошел по катушке за это время?

Решение. При изменении магнитного потока в витках катушки индуцируется ЭДС . Подчеркнем, что полное изменение потока через витки катушки, включающее как изменение внешнего потока, так и изменение собственного потока (индуктивность по условию задачи не является пренебрежимо малой величиной). Индукционный ток, текущий по катушке,

.

Заряд , прошедший по катушке за малый промежуток времени:

.

Полный заряд , прошедший по катушке, найдется суммированием всех зарядов, другими словами интегрированием:

.

В начальный момент времени ток через катушку не шел, поэтому начальный полный поток через витки катушки равен начальному внешнему потоку . В конечный момент времени по катушке идет ток, следовательно полный поток складывается из внешнего и собственного, равного по величине. Причем,по правилу Ленца собственное магнитное поле катушки направлено против внешнего, поскольку внешний поток возрастает. Поэтому собственный поток ослабляет внешний и полный поток в конечный момент . Таким образом:

Кл.

Знак минус в ответе означает, что индукционный ток шел таким образом, что собственное магнитное поле было направлено против внешнего поля.

Пример 3.10. Сверхпроводящее кольцо сечением и индуктивностьювносят в однородное магнитное поле с индукциейтак, что линии магнитного поля перпендикулярны плоскости кольца. Какой ток потечет по кольцу?

Решение. При внесении магнитное поле за некоторое время в кольце возбуждается индукционный ток

,

откуда следует . Поскольку контур сверхпроводящий, а значит изменение полного потока. Другими словами, полный магнитный поток через сверхпроводящее кольцо не изменяется, т.е. сохраняется. Начальный магнитный поток Ф₁=0 (кольцо находилось вне пределов магнитного поля, и ток в кольце отсутствовал), а конечный магнитный поток складывается из внешнего потока (, поскольку линии поля перпендикулярны плоскости кольца) и собственного потока ():. Причем, по правилу Ленца собственный поток направлен против внешнего (внешний поток возрастает), поэтому собственный поток взят со знаком минус. Так как полный поток сохраняется, то Ф₁=Ф₂ или , откуда.

В примере 3.10, по сути, обсуждается частный случай теоремы о сохранении магнитного потока: при движении идеально проводящего замкнутого провода в магнитном поле остается постоянным полный магнитный поток, пронизывающий контур провода. По отдельности внешний и собственный потоки через сверхпроводящий контур могут меняться, но их сумма остается неизменной. Такое сохранение обусловлено индукционными токами, которые согласно правилу Ленца препятствуют всякому изменению магнитного потока.

Анализ формулы (см. решение примера 3.10) показывает, что даже если сопротивление контура отлично от нуля, но изменения внешнего поля будут происходить очень быстро (), то изменение магнитного потока за столь малое время опять таки равно нулю, т.е. магнитный поток не может измениться слишком резко. Рассмотрим еще один пример.

Пример 3.11. Кольцо с сопротивлением , сечениеми индуктивностьюпервоначально находится в однородном магнитном поле с индукциейтак, что линии магнитного поля перпендикулярны плоскости кольца. Внешнее поле очень быстро убирают. Какой ток потечет по кольцусразу после выключения внешнего поля?

Решение. Поскольку внешнее поле убирают практически мгновенно, полный поток через кольцо не успевает измениться за столь малое время, т.е. сохраняется. Первоначально ток по кольцу не идет, и полный магнитный поток через кольцо представляет собой поток внешнего поля . После выключения внешнего поля внешний поток становится равен нулю, зато появляется индукционный ток в кольце, т.е. собственный поток. Значит, сразу после выключения внешнего поля полный поток через кольцо представляет собой собственный поток кольца. Так как полный поток сохраняется, то Ф₁ = Ф₂ или , откуда ток сразу после выключения поля. В дальнейшем этот ток с течением времени будет уменьшаться из-за наличия сопротивления и приближаться к нулю тем быстрее, чем больше величина.