3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа

Итак, мы научились рассчитывать силы, действующие на заряженные частицы и токи, находящиеся в магнитном поле. Сами магнитные поля тоже создаются какими-то движущимися зарядами. В этом параграфе мы начинаем обсуждение методов вычисления индукции магнитного поля.

Начнем с магнитного поля, создаваемого в пространстве единственным движущимся со скоростью зарядом. Этот закон является обобщением опытных фактов и выражается формулой:

(3.11)

где  это вектор, проведенный от заряда к точке, в которой вычисляется магнитное поле(точке наблюдения). Постоянная величина, Гн/м, называется магнитной постоянной.

Движущийся заряд создаёт магнитное поле во всём окружающем пространстве. Направление и модуль вектора зависят от точки наблюдения. В случае положительного заряда направление векторасовпадает с направлением векторного произведения, т.е. определяется правилом левой руки (рис. 3.8).

Раскрывая векторное произведение, для модуля вектора магнитной индукции получим:

, (3.11,а)

где  угол между направлением движения заряда и вектором .

Для магнитного поля так же, как и для поля электрического, справедлив принцип суперпозиции. Зная магнитное поле, создаваемое одним движущимся точечным зарядом, можно определить магнитное поле, создаваемое произвольным количеством движущихся зарядов, или поле, создаваемое элементом тока. Для этого поля, создаваемые каждым зарядом в отдельности, нужно сложить векторно: .

Пусть по проводнику течет ток . Вычислим магнитное поле, создаваемое малым элементом тока(рис. 3.9). Если средняя скорость упорядо­ченного движения электронов, тогда согласно уравнению (3.11,а) магнитное поле, создаваемое в точке наблюдения одним электроном из элемента тока:

.

Все свободные электроны элемента тока создают поля, направленные за плоскость чертежа (рис. 3.9), поэтому по принципу суперпозиции величина суммарного поля элемента тока: , где число свободных электронов в элементе проводника . Величинуможно выразить через концентрацию свободных электронов:, где объем элемента проводника,  сечение проводника. Таким образом:

.

Учитывая, что сила тока (см. уравнение (2.23)), получим:

. (3.12)

Уравнение (3.12) определяет магнитное поле, создаваемое элементом тока, и представляет собой закон Био-Савара-Лапласа. Оно было впервые получено французскими физиками Био и Саваром на основании экспериментального материала при содействии математика Лапласа.

Закон Био-Савара-Лапласа можно записать в дифференциальной форме (переходя от малого к бесконечно малому элементу тока ):

(3.12,а)

и в векторной форме:

. (3.12,б)

Вектор направлен вдоль тока.

Рассмотрим примеры расчета магнитных полей при помощи закона Био-Савара-Лапласа.

Пример 3.3 Поле прямого тока. Найти магнитное, создаваемое прямолинейным отрезком провода с током в произвольной точке пространства.

Решение. Зададим положение точки наблюдения при помощи углов ,и расстоянияот точки наблюдения до проводника (см. рис. 3.10). Разобьем весь отрезок провода на малые элементы длины. Поле одного малого элементас координатойопределяется согласно уравнению (3.12,а):

.

Поле в точке наблюдения – есть векторная сумма полей, создаваемых каждым элементом. Поля всех элементов направлены за плоскость чертежа. Следовательно, для того, чтобы определить величину поля, надо просумми­ровать поля всех элементов, или, «на языке математики»: проинтегрировать уравнение (3.12,а). Для этого в уравнении (3.12) нужно перейти к одной переменной величине (переменной интегрирования). Удобнее всего в качестве переменной интегрирования взять угол (рис. 3.10). Выразим все переменные величины в уравнении (3.12) через.

Во-первых, . Далее,. Берем дифференциалы от обеих частей этого равенства:

.

Таким образом, для поля элемента получим:

.

Осталось выразить через переменную:. Следовательно:

.

Теперь интегрируем, учитывая, что все элементы находятся в пределах углов от(крайний нижний элемент) до(крайний верхний элемент):

.

Переходя вновь к углам и, получим ответ:

. (3.13)

Частным случаем формулы (3.13) является поле бесконечно длинного прямого провода на расстоянии от него (,):

. (3.14)

Пример 3.4. Магнитное поле в центре кругового тока. Найти магнитную индукцию, создаваемую круговым витком радиуса с токомв центре витка.

Решение. Разобьем виток на малые элементы (рис. 3.11). Длину каждого элемента выразим через радиус виткаи соответствующий центральный угол:. Тогда, согласно уравнению (3.12, а), магнитное поле, создаваемое одним элементом тока в центре витка (,):

.

Индукция магнитного поля от каждого элемента в центре витка направлена вверх. Значит, для того, чтобы найти результирующее магнитное поле, нужно сложить величины полей всех элементов или проинтегрировать полученное выражение в пределах углов от до:

. (3.15)

Пример 3.5. Магнитное поле на оси кругового тока. Найти магнитную индукцию, создаваемую круговым витком радиуса с токомв произвольной точке на оси витка.

Решение. Разобьем виток на малые элементы (рис. 3.11). Длину каждого элемента выражаем через радиус виткаи соответствующий центральный угол:. Согласно уравнению (3.12,а) магнитное поле, создаваемое одним элементом тока в некоторой точке на оси витка, удаленной на расстояниеот центра витка, ():

.

Вектор перпендикулярен плоскости векторови(рис. 3.11). Вклады в общее магнитное поле от отдельных элементов направлены в разные стороны, поэтому суммировать модули векторовнельзя.

Поскольку результирующий вектор будет направлен вдоль оси, он представляет собой сумму проекций векторовна ось:. Проекция векторана ось:

.

Интегрируем по переменной :

.

Учитывая, что

, ,

ответ можно представить в виде:

. (3.16)

Используя результат примера 3.5, можно определить магнитное поле на оси соленоида – катушки с током. Предоставляем читателям самостоятельно поупражняться с интегрированием и приведем лишь ответ для поля в произвольной точке А на оси (рис. 3.12):

. (3.17)

Величина называется поверхностной плотностью тока. Она определяется для токов, текущих по некоторым поверхностям. Поверхностная плотность тока это сила тока, приходящаяся на единицу длины перпендикулярного току отрезка. В нашем случае можно считать, что ток идет по боковой поверхности соленоида. Пусть соленоид имеет длину , состоит извитков, и по его обмотке течет ток. Тогда полный ток, текущий по боковой поверхности соленоида, равен, а поверхностная плотность тока. Формулу (3.17) можно переписать в виде:

. (3.17,а)

В случае, когда длина соленоида намного превосходит его радиус (,),

. (3.18)

Формула (3.18) еще будет выведена в дальнейшем с помощью теоремы о циркуляции для магнитного поля. Будет показано, что магнитное поле внутри «длинных» соленоидов однородно, так, что формулу (3.18) можно использовать для расчета поля в любой точке внутри соленоида, а не только на его оси.

На рис. 3.13 показаны силовые линии магнитных полей прямого провода, витка с током, соленоида и полосового магнита.

Во-первых, обратим внимание на то, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям (рис. 3.13, а, б) в сторону, указываемую направлением стрелки на силовой линии.

В случае прямого тока (рис. 3.13, а) силовые линии представляют собой коаксиальные окружности с центрами на оси тока. Направление магнитной индукции в любой точке можно определить из закона Био-Савара-Лапласа, записанного в векторном виде (формула 3.12, б). Кроме того, для определения направлений силовых линий существует простое правило, называемое правилом буравчика или правого винта: при вращении буравчика в направлении силовых линий его поступательное движение совпадает с направлением тока.

В случае витка с током (рис. 3.13, б) или соленоида (рис. 3.13, в) направление магнитной индукции на оси витка или соленоида тоже можно определить по правилу буравчика. Направление магнитной индукции совпадает с направлением поступательного движения буравчика при его вращении по току.

Отметим, что картина силовых линий магнитного поля соленоида абсолютно идентична картине силовых линий полосового магнита (рис. 3.13, г). Концы соленоида тоже называют северным и южным полюсами. Силовые магнитные линии во внешнем пространстве соленоида или магнита идут от северного полюса к южному, а во внутреннем пространстве – наоборот.