- •47 Введение
- •1. Электростатика
- •1.1. Закон Кулона
- •1.2. Электрическое поле и его характеристики
- •1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала
- •1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции
- •1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- •1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
- •1.7. Проводники в электрическом поле
- •1.8. Электрическое поле в диэлектриках
- •1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
- •1.10. Конденсаторы
- •1.11. Энергия электрического поля
- •1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции
1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках
При поляризации диэлектрика в каждом небольшом его объеме происходит упорядочение в направлении дипольных моментов его молекул. В результате каждую область диэлектрика можно охарактеризовать некоторым суммарным дипольным моментом (равным векторной сумме дипольных моментов отдельных молекул). Для того, чтобы охарактеризовать состояние поляризации диэлектрика в каждой небольшой его области, вводят понятие вектора поляризации . Вектором поляризации называют дипольный момент единицы объема диэлектрика. В различных областях диэлектрика векторможет быть разным. Поляризация, при которой векторв каждой небольшой области диэлектрика один и тот же, называется однородной. Очевидно, что однородно поляризованным будет диэлектрик, помещенный в однородное внешнее электрическое поле.
,
где площадь каждой из граней 1 и 2. Тогда согласно данному определению вектор поляризации:
.
Проекция вектора поляризации на направление нормали к грани 2:
. (1.22)
Уравнение (1.22) можно записать в виде: . Полный поляризационный заряд на поверхностидиэлектрика в общем случае определяется поверхностным интегралом:
.
Полученное выражение имеет общий характер. Оно будет справедливо и в случаях, когда поляризационные заряды находятся на неплоских поверхностях и поляризация неоднородна. Итак, проекция вектора поляризации на направление нормали к поверхности равна суммарному заряду, смещенному при поляризации диэлектрика вдоль нормали через единичную площадь. Выражение (1.22) показывает, что вектор поляризации измеряется в .
, (1.23,а)
где сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности , а сумма нескомпенсированных связанных или поляризационных зарядов, находящихся внутри поверхности .
С другой стороны, из опыта известно, что электрическое поле в диэлектрике уменьшается в некоторое число раз по сравнению с полем в вакууме. Это число называется диэлектрической проницаемостью среды и обозначается . Величина зависит только от свойств диэлектрика и не зависит от величины внешнего электрического поля. Такое уменьшение электрического поля в диэлектрике можно было бы учесть, «поправив» теорему Гаусса следующим образом:
. (1.23,б)
Выражения (1.23,а) и (1.23,б) – суть одно и тоже. На практике для определения электрического поля в диэлектрических средах, конечно, пользуются выражением (1.23,б), поскольку сумма поляризационных зарядов, попавших внутрь какой-либо поверхности в объеме диэлектрика – величина неизвестная, а величина для каждого диэлектрика определена экспериментально.
Введем новый вектор:
, (1.24)
называемый вектором электрического смещения. Теорему Гаусса для электрического поля в диэлектриках можно записать через вектор . Простые преобразования выражения (1.23,б) дают следующий результат:
. (1.23,в)
Поскольку в правой части выражения (1.23,в) осталась только сумма свободных зарядов (сравните с формулой 1.23,а), говорят, что вектор электрического смещения характеризует электрическое поле только свободных зарядов (или определяется только свободными зарядами). При одном и том же распределении свободных зарядов этот вектор будет одним и тем же, не зависимо от среды, в которой находятся эти заряды.
Все заряженные объекты, рассматриваемые в примерах 1.3 - 1.6, можно проанализировать теперь и в диэлектрической среде. Для этого нужно использовать теорему Гаусса в виде (1.23,б) или (1.23,в). Естественно, что в полученных результатах для напряженностей и потенциалов всякий раз будет появляться величина диэлектрической проницаемости в знаменателе. Например, поле заряженной плоскости (см. пример 1.3) определяется выражением:
, (1.20,а)
а поле между двумя противоположно заряженными плоскостями (см. пример 1.4):
. (1.20,б)
Если полая равномерно заряженная сфера (или металлический шар) (см. пример 1.5) находятся в диэлектрике, то при напряженность электрического поля сферы
,
а потенциал
.
Потенциал самой сферы
.
В заключение отметим, что между тремя векторами ,исуществует связь, определяемая уравнением:
. (1.25)
Для доказательства этой связи воспользуемся картиной поляризации диэлектрика, изображенной на рис.1.23. Запишем теорему Гаусса для электрического поля в диэлектрической среде (1.23,а и 1.23,в):
, .
Из этих уравнений следует:
.
Учитывая, что поляризационные заряды, попавшие внутрь цилиндра , отрицательны
,
получим:
,
откуда и следует уравнение (1.25).
Комбинируя (1.24) и (1.25), можно получить:
или: (1.26)
Величина называется поляризуемостью диэлектрика.