Desktop_1 / Лекции 2 симестр / электромагн15

Лекция №15

Электромагнетизм

Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Свободные незатухающие, затухающие и вынужденные колебания.

При рассмотрении электрических процессов в электрических цепях приходится иметь дело с токами изменяющимися во времени. Если изменение тока в цепи происходит достаточно медленно, а именно за время τ>>l/c (l-характерный размер цепи, с- скорость распространения электрических возмущений равная скорости света), то в каждуй момент времени можно считать что электрический ток в о всех элементах последовательной цепи имеет одинаковое значение. В этом случае для переменного тока будут применимы закон Ома и правила Кирхгофа. Такие электромагнитные процессы называются квазистационарными. В дальнейшем будем полагать, что рассматриваемые нами процессы квазистационарные.

Свободные незатухающие колебания электрического тока могут возникать в электрическом контуре содержащим индуктивность и конденсатор, но не содержащий активное сопротивление. Такой контур называется колебательным контуром.

Колебательный процесс в колебательном контуре аналогичен колебаниям пружинного маятника

При электрических колебаниях в колебательном контуре происходит процесс периодического перекачивания энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.

Получим уравнение описывающее колебания в колебательном контуре без активного сопротивления. Будем считать положительным электрический ток заряжающий конденсатор. I=dq/dt

Напишем для этого контура закон Ома IR =  +  здесь  - разность потенциалов на конденсаторе,  - Э.Д.С. индукции на катушке индуктивности.

В нашем случае R=0 , и q/C ,  = - L(dI/dt) таким образом, можно написать уравнение

Решением этого уравнения будет

Где

Напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности будет определятся из формулами:

Таким образом

Свободные затухающие колебания могут возникать в контуре с индуктисностью и конденсатором и омическим сопротивлением отличным от нуля.

Введем β = R/2L и ₀² = 1/LC тогда уравнение можно записать в виде

Это уравнение по своему виду подобно уравнению описывающее затухающие колебания механического маятника. Таким образом, решение этого уравнения будет подобно решению, которое мы уже получали, когда обсуждали механические колебания с затуханием. Это решение имеет вид:

Где

Таким образом, частота колебаний электрического сигнала в колебательном контуре с затуханием меньше частоты колебаний в контуре без затухания.

Так как разность потенциалов на конденсаторе определяется как q/C , то

колебание напряжения в контуре будет описываться формулой: U = U_m e^-βt cos(t+) . Найдем, как с течением времени изменяется электрический ток в контуре. Для этого возьмем производную по времени от выражения для электрического заряда.

Умножим правую часть равенства на выражение равное единице

Введем угол , который будет определяться из условия:

Тогда выражение для электрического тока в колебательном контуре будет определяться как:

Отсюда видно, что ток опережает напряжение на /2 если омическое сопротивление равно нулю и нет затухания, и опережает по фазе более чем на /2 если контур содержит омическое сопротивление, и колебания затухают.

Затухающие колебания принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания.

N_e – число колебаний совершаемой системой прежде чем амплитуда колебаний уменьшится в е раз.

Величина, которой характеризуются затухающие колебания, является добротность.

Когда затухание слабое β²<<²

Добротность при слабом затухании пропорциональна отношению запасенной энергии в колебательной системе к убыли энергии за одно колебание W/W , убедимся в этом.

.

Что и требовалось доказать.

Процесс переходит в апериодический если

Пограничный случай, когда неравенство переходит в равенство характеризуется критическим активным сопротивлением контура которое находится из равенства:

Из него получим выражение для критического сопротивления контура

Вынужденные колебания

Рассмотрим электрическую цепь содержащую электрическое сопротивление R индуктивность L и емкость С цепь замыкается на источнике переменного напряжения U=U_mcost. Напишем закон Ома для этой цепи

Принимая те же обозначения, получим уравнение в окончательном виде.

Полученное уравнение и его решение идентично уравнению и его решению вынужденных механических колебаний, которые были рассмотрены в курсе механика.

Решение этого уравнения состоит из двух частей, одна из которых идентична решению уравнения затухающих колебаний и быстро затухает. Вторая часть имеет вид:

Подставляя значения ₀ и β получаем:

Из этого следует, что если L > 1/C , то  > 0 и ток отстает по фазе от приложенного напряжения. Если L < 1/C, то  < 0 и ток опережает напряжение.

Сумма напряжений на отдельных элементах цепи в каждый момент времени равна напряжению подаваемому от внешнего источника.

Напряжение на омическом сопротивлении равно U_R=RI_mcos(t-)

Напряжение на конденсаторе U_C = (q_m/C )cos( t- ) = U_Cm cos( t--/2)

Напряжение на индуктивности U_L = LdI/dt =LI_msin( t-)= U_Lm cos( t-+/2)

Таким образом, напряжение на емкости отстает от напряжения и тока на омическом сопротивлении на /2 , а на индуктивности опережает на /2

Вернемся к выражению для амплитуды электрического заряда на конденсаторе и электрического тока в контуре:

Из этого выражения мы видим, что амплитуда этих величин имеет максимальное значение при L=1/C , когда При этом =₀

Эту частоту называют резонансной при ней амплитуда колебаний электрического сигнала в контуре возрастает многократно

При малом затухании, когда β²<<₀² _рез≈ ₀ . Таким образом справедлива равенство.

Отсюда видно, что добротность контура показывает, во сколько раз во время резонанса напряжение на конденсаторе превышает напряжение на источнике напряжения. Колебательный контур, таким образом, усиливает электрический сигнал колеблющийся с частотой совпадающей с собственной частотой контура. Колебательный контур благодаря этому свойству может быть использован для фильтрации переменного электрического сигнала.

Рассматриваемый контур, как уже говорилось является электрической цепью, в которой справедливо равенство

Это выражение похоже на закон Ома для участка цепи. Знаменатель в этом выражении имеет смысл полного сопротивления рассматриваемого участка цепи и носит название импеданс (Z = [R²+(L-1/C)²]^0,5). При этом комплекс L-1/C называется реактивное сопротивление.