- •Лекция 4
- •Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
- •Принадлежность прямой плоскости
- •Параллельность прямой и плоскости
- •Параллельность прямой и плоскости
- •Параллельность прямой и плоскости
- •Параллельность двух плоскостей
- •Параллельность двух плоскостей
- •Пересечение прямой с проецирующей плоскостью
- •Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью
- •Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью
- •Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
- •1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
- •1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
- •1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
Лекция 4
Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей.
Позиционные задачи
Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
Прямая и плоскость:
•Прямая принадлежит плоскости (см. тема 3): все точки прямой являются точками плоскости
•Прямая параллельна плоскости: общих точек нет
•Прямая пересекает плоскость: одна общая точка
Две плоскости:
•Плоскости параллельны: общих прямых нет
•Плоскости пересекаются: одна общая прямая
Принадлежность прямой плоскости |
|||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
m |
|
2 |
12 |
b2 |
|
|
|
а2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
22 |
2 |
|
n2 |
m |
|||
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
21 |
n1 |
|
n1 |
m |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
||
|
|
а1 |
11 |
|
|
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
m |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(n |
|
|
|
1 |
|
(n m)b1 |
|
||
|
|
m) |
|
|
(1 m) ; 1 b |
||||||
(1 m) ; (2 n) |
|||||||||||
|
а (1 |
И |
|
2) |
а |
|
b n b |
||||
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит: |
|
|
1)через две точки этой плоскости;
2)через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой плоскости
Параллельность прямой и плоскости
b |
Признак параллельности: |
|
Прямая параллельна |
||
А |
||
плоскости, если она |
||
n |
||
параллельна какой-л |
||
|
прямой, лежащей в |
|
|
этой плоскости |
|
b n b |
|
Через точку А в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных данной плоскости . Для однозначного
решения проведем в плоскости прямую n
Параллельность прямой и плоскости
Задача:
b А
n
b n b
Через точку D провести |
|||
фронталь, параллельную |
|||
плоскости ( АВС) |
|
||
|
С2 |
f2 D2 |
|
12 f2 |
|||
А2 |
С |
В2 f1 |
D1 |
11 |
1 |
|
|
f1 |
В1 |
|
|
А1 |
|
|
|
|
|
|
Построим в плоскости ( АВС ) вспомогательную фронталь f . Через
точку D проводим фронталь f , проекции которой параллельны одноименным проекциям фронтали f . Получаем искомую прямую f , параллельную заданной плоскости ( АВС )
Параллельность прямой и плоскости
|
2 |
|
х |
n |
а |
|
||
x |
2 |
2 |
|
n |
|
1 1 |
а |
|
( 1, |
1 |
|
|
||
n 2) |
|
а |
а n |
2
m2
х
x m
1
1
m П2 m
2 2
Если прямая а параллельна плоскости общего положения, то в плоскости строят вспомогательную прямую n и выполняют условие параллельнос- ти одноименных проекций прямых а и n. Если плоскость проецирующая, то одна из проекций искомой прямой m параллельна следу плоскости
Параллельность двух плоскостей
m
n
b a
П2
2 2
x х |
х |
1 1
П1
а m |
|
1 1 |
|
b n |
|
2 2 |
|
Признак параллельности: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В качестве прямых могут быть использованы следы плоскостей
Параллельность двух плоскостей
Задача 1: Через точку D |
||||||
|
провести плоскость |
|||||
|
, параллельную |
|||||
a |
плоскости |
(a b) |
||||
|
D |
m |
2 |
|||
2 b |
n |
|||||
2 |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2a |
|
2 |
|
|
||
b1 |
D |
m |
|
|||
1 |
|
1 |
||||
1 |
|
1 |
n |
|
|
|
m a |
|
|
|
|||
n b |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
Задача Построить2:
плоскость |
|
П1 |
|
2 |
2 |
|
|
x х |
х |
1 |
1 |
1 1
1. Искомая плоскость задается двумя пересекающимися прямыми m
и n, проекции которых соответственно параллельны проекциям прямых а и b заданной плоскости.
2. У параллельных плоскостей и следы параллельны
Пересечение прямой с проецирующей плоскостью
|
П |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
n |
|
1 n |
||
|
1 |
|
||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||
x |
1 |
|||||
n |
|
x х |
n |
|||
|
|
|
|
|||
|
n 1 |
|
1 |
|||
|
1 |
1 |
||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
|
Одна из проекций точки 1 (пересечения прямой n с проецирующей плоскостью ) находится на пересечении следа плоскости 1 с проек-
цией прямой n1 . Видимость прямой определяется по направлению взгляда наблюдателя, плоскость считается непрозрачной
Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью
|
2 |
|
|
12222 |
2 |
x |
1 |
|
х |
|
|
|
11 |
21 1 |
|
1 |
– горизонтально
проецирующая плоскость;( ) – плоскость
общего положения
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Необходимо найти две точки искомой линии пересечения, которые принадлежат одновременно двум плоскостям