12-02-2013_13-56-03 / Практ. Внец. сжатие
.pdf
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Каф. КМСМ ФДОТ ПГТУ Примеры выполнения контрольных заданий для механических специальностей РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ СЖАТИИ
Практическое занятие
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ СЖАТИИ
Пример. Определить допускаемое значение сжимающей силы Р, внецентренно приложенной к короткому чугунному стержню (рис. 1.1, размеры
проставлены в миллиметрах), если Rр = 65МПа, Rс =140МПа.
Рис. 1.1
Решение.
1. Определим положение главных центральных осей сечения x,y. Разобьем заданное сечение на две простые фигуры: прямоугольник I
(b1=3см, h1=4см; А1=b1·h1=3·4=12см2) и прямоугольник II (b2=1,5см, h2=2см; А2= b2·h2=1,5·2=3см2) с отрицательной площадью, как показано на рис.1.2. Проведем собственные центральные оси простых фигур x1,y1 и x2,y2. Рассматриваемое сечение имеет горизонтальную ось симметрии, следовательно, его центр тяжести лежит на этой оси. Найдем положение центра тяжести относительно осей x1,y1:
x = |
S y |
= |
SАi xCi |
= |
А1xC1 |
- А2 xC2 |
= - |
3 × 0,75 |
= -0,25 |
см. |
|
SА |
А - А |
12 - 3 |
|||||||
C |
А |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Каф. КМСМ ФДОТ ПГТУ Примеры выполнения контрольных заданий для механических специальностей РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ СЖАТИИ
Проведем главные центральные оси x,y через точку С (см.рис.1.2) и найдем расстояния между параллельными осями y и y1, y и y2: а1=0,25см, а2=1см.
2. Вычислим геометрические характеристики сечения относительно главных центральных осей.
Моменты инерции сечения:
Ix = I xI - I xII ,
где
I |
= |
|
b h3 |
= |
3× 43 |
= 16см |
4 |
, |
||
I x |
|
1 1 |
|
|
|
|||||
12 |
12 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
II |
= |
b h3 |
= |
1,5 × 23 |
= 1см |
4 |
, |
|||
I x |
2 2 |
|
|
|
|
|||||
12 |
12 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ix = 16 -1 = 15см4 ; |
|
|
|||||||
I |
y |
= I I |
- I II = (I I |
+ a2 А ) - (I II |
+ a |
2 |
А ), |
|||||||||||||||||
|
y |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
1 |
y |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I yI = |
h1b13 |
= |
4 ×33 |
= 9см4 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
II |
= |
h b3 |
= |
|
|
2 ×1,53 |
= 0,563см |
4 |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
I y |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I y = (9 + 0,252 ×12) - (0,563 +12 ×3) = 6,19см4 . |
||||||||||||||||||||||||
Найдем квадраты радиусов инерции сечения: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
i2 |
= |
Ix |
|
= |
15 |
=1,67см2 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
А |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
= |
I y |
|
|
= |
6,19 |
= 0,688см2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y |
|
А |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь А = А1 – А2 = 12 – 3 = 9 см2.
3. Определим положение нейтральной линии и координаты опасных точек.
Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях x,y:
a |
|
= − |
|
iy2 |
|
= − |
0,688 |
= −2,75см, |
||
x |
|
xP |
|
0,25 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ay |
= − |
ix2 |
|
= − |
1,67 |
= −1,67см. |
||||
yP |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Здесь xP=0,25см, yP=1см – координаты полюса.
По результатам расчета изобразим нейтральную линию (см. рис. 1.2). Опасными являются точки А и В, наиболее удаленными от нее, с координатами
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. |
|
Каф. КМСМ ФДОТ ПГТУ |
Примеры выполнения контрольных заданий для механических специальностей |
||
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ СЖАТИИ |
стр.3 |
|
xA =1,75см, |
yA = 2см; |
|
xB = −1,25см, |
yB = −2см. |
|
Причем в точке А действуют наибольшие сжимающие напряжения, а в точке В- -наибольшие растягивающие напряжения.
Рис. 1.2
4. Найдем величину допускаемой нагрузки из расчета на прочность. Составим условие прочности на сжатие:
|
|
|
|
P |
|
x |
P |
x |
A |
|
y |
P |
y |
A |
|
|
|
σ |
max c |
= |
− |
|
1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
≤ R |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
А |
|
|
i |
2 |
|
|
|
i |
2 |
|
|
с |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
или
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. |
Каф. КМСМ ФДОТ ПГТУ |
Примеры выполнения контрольных заданий для механических специальностей |
|
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ СЖАТИИ |
стр.4 |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
0,25 ×1,75 |
|
|
1× 2 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
σmax c = |
- |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- 2,83 |
|
|
£ Rс. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,688 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
1,67 |
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
£ |
|
Rс А |
= |
140 ×106 ×9 ×10−4 |
|
|
= 44,5 ×103 Н. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
доп1 |
|
|
|
2,83 |
|
|
|
2,83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Составим условие прочности на растяжение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
σ |
max р |
= - |
P |
(1 + |
xP xB |
+ |
yP yB |
) £ R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
iy2 |
|
|
|
|
|
|
ix2 |
р |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
= - |
P |
(1 + |
0,25 × (-1,25) |
+ |
1× (-2) |
) = 0,652 |
|
P |
£ R . |
||||||||||||||||||||||||||||
max р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,688 |
|
|
|
1,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
р |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
£ |
|
|
Rр А |
= |
|
65 ×106 ×9 ×10−4 |
|
= |
89,7 ×10 |
3 |
Н. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
доп2 |
|
|
|
0,652 |
|
|
0,652 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Принимаем меньшее из рассчитанных значений:
Рдоп = 44,5кН.
6. Построим эпюру нормальных напряжений при Р = Рдоп.
σA |
= -2,83 |
P |
= -2,83 |
× |
44,5 ×103 |
= -140,0 ×106 Па = -140,0МПа, |
|
9 ×10−4 |
|||||
|
|
А |
|
|
||
σB |
= 0,652 |
P |
= 0,652 |
× |
44,5 ×103 |
= 32,2 ×106 Па = 32,2МПа. |
|
9 ×10−4 |
|||||
|
|
А |
|
|
||
Эпюра распределения напряжений по сечению показана на рис.1.2.