12-02-2013_13-56-03 / Практ. СНбалки

Практическое занятие

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Пример 1. Для стальной балки, изображенной на рис. 1.1, а, требуется подобрать стандартный двутавр из условия прочности. Принять R=210 МПа.

Рис. 1.1

Решение.

1. Устанавливаем степень статической неопределимости.

Балка имеет одну трехсвязную (жесткую заделку) и одну односвязную (шарнирно-подвижную) опоры, т.е. число наложенных связей N=4. Для заданной системы можно составить три независимых уравнения равновесия (Y=3). Следовательно,

S=N-Y=4-3=1. 2. Выбираем основную систему.

В качестве лишней связи примем шарнирно-подвижную опору В. Разгрузив балку и отбросив связь в точке В, получаем основную систему для расчета, представленную на рис. 1.1, б.

3. Изображаем эквивалентную систему, прикладывая к основной системе все заданные нагрузки и лишнюю неизвестную X1 (вертикальную реакцию опоры В), как показано на рис. 1.1, в.

Записываем каноническое уравнение метода сил

Оно выражает условие равенства нулю прогиба сечения В (в месте отброшенной связи) от действия заданных внешних нагрузок и искомой лишней неизвестной.

Рис. 1.2

Основная система с заданной нагрузкой показана на рис 1.2, а и на рис. 1.2, б дана соответствующая грузовая эпюра моментов МР. Основная система, нагруженная единичной силой, приложенной взамен лишней неизвестной Х1, представлена на рис. 1.2, в, а на рис. 1.2, г дана соответствующая единичная эпюра М11.

Вычисляем грузовое перемещение, «перемножив» эпюры МР и М11:

Единичное перемещение δ11 найдем, «умножив» эпюру М11 саму на себя,

ординате под центром тяжести этой же площади. Заметим, что при «перемножении» эпюры самой на себя результат всегда положительный.

5. Находим величину лишней неизвестной, подставляя найденные значения в каноническое уравнение

Результат получился положительным, следовательно, направление реакции RB=X1, принятое предварительно вверх, совпадает с действительным.

6. Построим окончательные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

На рис 1.3, а представлена статически определимая балка, эквивалентная заданной статически неопределимой. Выделим на балке два силовых участка и запишем для каждого из них выражения для поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx.

I. 0 £ z1 £1м

Qy = qz1 = 20z1 ;

Qy (0) = 0 кH; Qy (1) = 20 кH.

M x (0) = 0 ; M x (1) = -10 кH×м.

II. 0£z2 £2м

Qy = q ×1- X1 = 20 -80 = -60 кН;

M x = -q ×1(z2 + 0,5) + X1 z2 - M 0 = -20(z2 + 0,5) + 80z2 - 70;

M x (0) = -80 кH×м; M x (2) = 40 кH×м.

По вычисленным значениям построим эпюры Qy и Мх , как показано на рис 1.3, б ,в.

Следует иметь в виду, что эпюры изгибающих моментов для статически неопределимых балок всегда знакопеременные.

Рис. 1.3

7. Проведем деформационную проверку решения с использованием другой основной системы.

В качестве лишней примем связь, препятствующую повороту сечения А (угловую связь) и, отбросив ее, получим другой вариант основной системы (см. рис. 1.3, г). Проверим выполнение условия равенства нулю угла поворота сечения А. На рис. 1.3, д показано вспомогательное единичное состояние, необходимое для определения θА, а на рис. 1.3, е – соответствующая эпюра М12.

Определяем θА, «перемножив» эпюры Мх и М12 способом Верещагина:

Деформационная проверка выполнена, значит, статическая неопределимость раскрыта верно.

8. Подберем стандартный двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям

σmax = M x max ≤ R.

Wx

Опасным оказалось сечение В, в котором Мх = 80 кН·м (см. рис. 1.3, в). Требуемый момент сопротивления сечения

На основании ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №27а (Wx = 407см3).

Пример 2. Для стальной балки, изображенной на рис. 2.1, а, требуется подобрать стандартный двутавр из условия прочности. Принять R=210 МПа.

Рис. 2.1

Решение.

1. Устанавливаем степень статической неопределимости.

Балка имеет одну двухсвязную (шарнирно-неподвижную) и две односвязные (шарнирно-подвижные) опоры, т.е. число наложенных связей N=4. Для заданной системы можно составить три независимых уравнения равновесия (Y=3). Следовательно,

S=N-Y=4-3=1.

2. Выбираем основную систему.

В качестве лишней связи примем шарнирно-подвижную опору С. Разгрузив балку и отбросив связь в точке С, получаем основную систему для расчета, представленную на рис. 2.1, б.

3. Изображаем эквивалентную систему, прикладывая к основной системе все заданные нагрузки и лишнюю неизвестную X1 (вертикальную реакцию опоры С), как показано на рис. 2.1, в.

Записываем каноническое уравнение метода сил

δ11 X1 + 1P = 0.

Оно выражает условие равенства нулю прогиба сечения С (в месте отброшенной связи) от действия заданных внешних нагрузок и искомой лишней неизвестной.

Таким образом, раскрытие статической неопределимости сводится к нахождению Х1 из канонического уравнения.

4. Определяем единичное δ11 и грузовое 1P перемещения способом Верещагина.

Рис. 2.2

Основная система с заданной нагрузкой показана на рис 2.2, а и на рис. 2.2, б дана соответствующая грузовая эпюра моментов МР. Основная система, нагруженная единичной силой, приложенной взамен лишней неизвестной Х1, представлена на рис. 2.2, в, а на рис. 2.2, г дана соответствующая единичная эпюра М11.

Вычисляем грузовое перемещение, «перемножив» эпюры МР и М11:

6.Построим окончательные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

На рис 2.3, а изображена основная система с заданной нагрузкой и найденной лишней неизвестной. Опорные реакции RA и RB определяем из уравнений равновесия балки. Выделив на балке два участка и записав для каждого из них выражения для поперечных сил и изгибающих моментов, строим окончательные эпюры Qy и Мх , как показано на рис 2.3, б ,в.

7.Проведем деформационную проверку решения с использованием другой основной системы.

В качестве лишней примем линейную связь, наложенную опорой В и, отбросив ее, получим другой вариант основной системы (см. рис. 2.3, г). Проверим выполнение условия равенства нулю прогиба сечения В. На рис. 2.3,

дпоказано вспомогательное единичное состояние, необходимое для определения vB, а на рис. 2.3, е – соответствующая эпюра М12.

Определяем vB, «перемножив» эпюры Мх и М12 способом Верещагина:

Деформационная проверка выполнена, значит, статическая неопределимость раскрыта верно.

8. Подберем стандартный двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям

На основании ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №22 (Wx = 232см3).