Лабораторная работа № 6.

(механика)

Изучение вынужденных колебаний и явления резонанса.

Цель работы: построение кривой, графически изображающей зависимость амплитуды колебаний маятника-резонатора от отношения его периода колебаний Т к периоду колебаний маятника-вибратора Т₀.

Оборудование: установка для изучения вынужденных колебаний, секундомер.

Краткая теория.

Колебательным движением, или колебанием, называются процессы или явления, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Если колебания повторяются через строго определенный промежуток времени, то они называются периодическими, иначе апериодическими. Время одного полного колебания называется периодом Т.

В зависимости от типа колеблющейся системы колебания различают механические или электромагнитные, а также их комбинации. Колебания свойственны всем явлениям природы.

Колебания любых физических величин почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида. Например, колебания груза, подвешенного на нити, можно спровоцировать, задав начальную энергию или отклонением от положения равновесия (сообщением потенциальной энергии), или толкнув маятник (сообщив тем самым кинетическую энергию). Маятник будет совершать колебания, при которых кинетическая и потенциальная энергия будут превращаться друг в друга. Процесс перекачки энергии будет повторяться, пока диссипация (рассеяние) энергии, обусловленное, например, трением, не приведет к полному прекращению колебаний.

Колебания бывают следующих видов: гармонические, свободные, затухающие, вынужденные.

Гармоническими называются колебания, при которых физические величины, описывающие состояние системы, изменяются с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону:

; (1)

или

, (2)

где х - колеблющаяся величина (например, смещение тела);

А - амплитуда колебаний данной физической величины;

ω - циклическая (угловая) частота колебаний;

φ₀ и φ₁ - начальная фаза колебаний;

φ=(ωt+φ₀) - фаза.

Уравнение (1) - дифференциальное уравнение гармонических колебаний, а уравнение (2) - решение дифференциального уравнения.

Свободные колебания - колебания, которые совершаются при отсутствии внешних воздействий за счет первоначально внесенной энергии (потенциальной или кинетической, например, при отклонении маятника от положения равновесия ему сообщается начальная потенциальная энергия).

Колебания, зависящие только от параметров системы, называются собственными. Частота этих колебаний называется собственной и обозначается ω₀.

Свободные колебания всегда являются затухающими - амплитуда колебаний с течением времени уменьшается. Уменьшение амплитуды колебаний происходит вследствие диссипации (рассеяния) механической энергии. Простейшим механизмом убыли энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических системах.

Всякое реальное колебание является затухающим. Колеблющаяся система движется под действием квазиупругой возвращающей силы (сила, возникающая при отклонении колеблющейся системы от положения устойчивого равновесия и направленная к этому положению) в среде, сопротивление которой линейно зависит от скорости: , где - коэффициент сопротивления. Тогда затухающие колебания описываются следующим уравнением движения (II закон Ньютона):

, (3)

где - собственная частота колеблющейся системы массой ;

- коэффициент сопротивления среды;

- показатель затухания.

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний (3) имеет вид:

.

Чтобы колебания не затухали, необходим приток энергии извне. Вынужденные колебания - это колебания, возникающие в колеблющейся системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. Характер вынужденных колебаний определяется как внешней периодически изменяющейся силой - называемой вынуждающей силой, так и свойствами самой системы.

В начале действия вынуждающей силы характер вынужденных колебаний изменяется со временем, и лишь по прошествии некоторого времени в системе устанавливаются вынужденные колебания с периодом, равным периоду внешней силы - так называемые установившиеся колебания (см. рис. 1). Биения, происходящие вначале, являются результатом наложения вынужденных колебаний и свободных затухающих колебаний: система, приобретая энергию, постепенно раскачивается. Часть передаваемой энергии расходуется на преодоление сил сопротивления, Поэтому колебания достигают заданной величины, когда работа внешней силы превышает убыль энергии в системе. Так как убыль энергии растет с ростом скорости колеблющегося тела, которая в свою очередь возрастает с ростом амплитуды, то, в конце концов, потери энергии станут равными ее поступлению. С этого момента колебания становятся установившимися. Установившиеся колебания происходят по тому же закону, по которому изменяется вынуждающая сила.

Запишем основное уравнение динамики для вынужденных колебаний:

,

где - вынуждающая сила.

Подставляя силы возвращающую квазиупругую, сопротивления и вынуждающую, получим:

,

. (4)

Разделим уравнение (4) на m:

. (5)

Величина - собственная частота колеблющейся системы; - показатель затухания.

Уравнение (5) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общим решением такого уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е.:

. (6)

Свободные колебания, происходящие с частотой , быстро затухают. Поэтому, пренебрегая собственными колебаниями, играющими существенную роль лишь в начале колебаний, решение уравнения (5) будет иметь вид:

. (7)

Определим амплитуду и начальную фазу вынужденных колебаний. Для этого необходимо продифференцировать уравнение (7) и найденные значения и подставить в (5).

;

.

После подстановки в (5) имеем:

Правая часть этого уравнения - гармоническое колебание - есть результат суммы трех гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм дает следующее решение относительно А полученного уравнения:

,

отсюда следует

. (8)

Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы, обратно пропорциональна массе системы и уменьшается с увеличением коэффициента затухания. При постоянных значениях F₀, m и β амплитуда зависит только от соотношения циклических частот вынуждающей силы и свободных незатухающих колебаний системы - амплитудная кривая представлена на рис. 2.

Так же методом векторных диаграмм легко получить выражение для определения величины отставания по фазе вынужденного колебания от обусловившей его вынуждающей силы:

. (9)

Итак, частное решение уравнения (5) имеет вид:

. (10)

Общее решение (5) это сумма первого слагаемого выражения (6) и (10).

Функция (10) описывает установившиеся вынужденные колебания, они представляют собой колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, величина отставания определяется частотой вынуждающей силы (как и амплитуда установившихся колебаний).

Анализ функции (8) дает следующее:

1. При : . Колебания не совершаются и смещение при вынужденных колебаниях равно статической деформации под действием постоянной силы F₀: . Поэтому отклонение А₀ называется статической амплитудой.

2. Если нет затухания , то амплитуда колебаний растет с увеличением частоты вынуждающей силы и при становится бесконечно большой (резонанс). При дальнейшем росте частоты амплитуда уменьшается.

3. Если , тогда амплитуда достигает максимального значения, когда знаменатель правой части уравнения (8) достигает минимума.

Условие минимума находим путем приравнивания к нулю первой производной знаменателя (8):

,

где - циклическая частота вынуждающей силы, при которой .

Отсюда

. (11)

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте называется явлением резонанса. Частота называется резонансной.

Явление резонанса проявляется тем слабее, чем выше показатель затухания и при исчезает.

С учетом (11) найдем амплитуду колебаний при резонансе:

. (12)

Явление резонанса широко и пользуется в радиотехнике, акустике, в проектировании и т.д., и т.п.

Описание установки и методика измерений.

Работа выполняется на установке с двумя маятниками. Один из них тяжелый, с большим запасом энергии и постоянным периодом колебаний Т используется в качестве задающего вибратора. Другой, легкий маятник, служит резонатором и раскачивается под действием толчков маятника-вибратора. Маятник-вибратор представляет собой тонкий стержень с тяжелым грузом, укрепленным у его нижнего конца. Для уменьшения трения при качании маятника, на его оси укреплена опирающаяся на пластинку призма из твердого сплава.

В верхней части маятника-вибратора укреплен якорь, состоящий из горизонтальной стойки с кольцом, с помощью которого колебания передаются нити маятника-вибратора.

Маятник-резонатор представляет собой небольшой груз F, подвешенный на одном конце нити и противовес на другом конце нити. Эта нить проходит через канал в оси маятника-вибратора. Противовес и трение нити о стенки канала оси позволяют достаточно надежно обеспечить заданную длину маятника-резонатора.

Таким образом, период колебания маятника-резонатора можно плавно менять, изменяя его длину.

Периоды колебаний маятника-резонатора при различной его длине удобно сопоставлять с делениями вертикальной шкалы. Горизонтальная шкала, установленная параллельно плоскости качания маятника-резонатора, предназначена для определения амплитуды его колебаний.

Во избежание ошибок за счет параллакса, глаз в начале отсчета нужно располагать по нормали к шкале.

Измерения начинаются с установки длины маятника-резонатора, соответствующего наименьшему или наибольшему значению периода его колебаний. Затем, отклонив маятник-вибратор до упора, отпускают его. Толчки якоря маятника-вибратора раскачивают маятник-резонатор. Когда амплитуда его колебаний перестает возрастать, производят отсчет его значений по горизонтальной шкале (наибольшее отклонение нити маятника).

Измерения необходимо повторить при различной длине маятника-резонатора. Амплитуда колебаний маятника-резонатора будет, очевидно, наибольшей при резонансе, когда отношение .

Задание 1. Определение периода колебаний маятника-вибратора.

1. Отклоните маятник-вибратор до упора, затем отпустите его. Измерьте время , в течение которого будет совершено 20-30 полных колебаний.

2. Выполните измерения 3 раза.

3. Определите период колебаний маятника-вибратора: .

4. Определите среднее значение периода колебаний маятника: .

5. Занесите данные в таблицу 1.

Таблица 1.

№ п/п	N0	t0	T0	T0 cp
1.
2.
3.

Задание 2. Определение периода колебаний маятника-резонатора. Построение резонансной кривой.

1. Установите длину маятника-резонатора равную 40 см (нижний конец противовеса должен находится на отметке 40 см).

2. Отклоните маятник-вибратор до упора, затем отпустите его. Когда амплитуда А маятника-резонатора перестанет возрастать (достигнет максимального значения), производите отсчет ее значения по горизонтальной шкале по наибольшему отклонению нити маятника.

3. Вычислите период колебаний маятника-резонатора по формуле .

4. Занесите данные в таблицу 2.

5. Повторите измерения и вычисления не менее 10 раз для различных длин маятника-резонатора (длину маятника каждый раз меняйте на 2 см).

6. Определите для каждого измерения величину отношения Т/Т_{0 ср}.

7. Постройте амплитудную кривую: график .

8. Рассчитайте показатель затухания (вывести формулу на основе формулы (11)).

9. Сделайте вывод.

Таблица 2.

№ п/п	Т0 ср,с	l,см	Т,с	А, дел	Т/Т0 ср
1.
2.
3.
и т.д.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются свободными, собственными, затухающими и вынужденными?

2. Запишите уравнение затухающих колебаний. Приведите решение дифференциального уравнения.

3. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, покажите, как оно решается. Дайте анализ полученного решения.

4. В чем состоит явление резонанса. Запишите условие резонанса. Чему равна резонансная амплитуда?

5. Как изменяется вид амплитудной резонансной кривой при изменении (увеличении, уменьшении) коэффициента затухания?

6. Приведите примеры проявления резонанса.

7. Приведите примеры применения резонанса. Каково его значение в технике?