Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
LAB / механика / 3 / Лаб.работа 3.doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
28.03.2015
Размер:
224.77 Кб
Скачать

Лабораторная работа № 3. (механика) Определение момента инерции тела.

Цель работы:определение момента инерции тела на основе закона динамики для тел, имеющих неподвижную ось вращения.

Оборудование: установка для проверки законов вращательного движения.

Краткая теория.

В общем случае твердое тело совершает сложное механическое движение. Но любое сложное движение можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

Поступательным называется движение, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. При поступательном движении все точки описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, а центры этих окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Рассмотрим вращательное движение абсолютно твердого тела с закрепленной осью вращения. Абсолютно твердое тело - модель реального тела, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется, каковы бы ни были действующие на него силы. Такое тело имеет одну степень свободы, его положение в пространстве описывается одной координатой: угловым перемещением. Будем далее рассматривать абсолютно твердое тело.

Угловое перемещение - вектор, направленный вдоль оси вращения таким образом, что вращение тела представляется направленным вдоль оси вращения, числено равно углу поворота радиус-вектора, следящего за перемещением любой точки тела.

Угловая скорость - вектор, совпадающий по направлению с вектором изменения углового перемещения, числено равный первой производной от углового перемещения по времени:

. (1)

Вектор определяет положение оси вращения, направление и быстроту вращения тела. Если, то вращение называетсяравномерным. Угловая скорость связана с числом оборотов в секунду соотношением . Угловая скорость связана с линейной скоростью, где- радиус-вектор вращающейся точки.

Угловое ускорение - вектор, числено равный первой производной от угловой скорости по времени:

. (2)

Направление углового ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости: при ускоренном вращении совпадает по направлению с вектором угловой скорости, при замедленном – противоположен ему. Угловое ускорения и тангенциальное ускорение связаны между собой соотношением:

.

Всякое тело можно рассматривать как систему из N материальных точек, при чем масса тела m равна сумме масс всех этих точек:

.

Рассмотрим закономерности движения твердого тела, имеющего закрепленный центр вращения. Положение в пространстве каждой точки тела определяется радиус-вектором этой точки, проведенным из начала подвижной системы координат, совмещенным с центром вращения твердого тела. Запишем уравнение движения (II закон Ньютона) i-ой материальной точки:

,

где - внутренние силы в системе материальных точек;

- равнодействующая внешних сил, действующая на i-ую точку;

- скорость точки.

Умножим обе части этого уравнения на радиус-вектор:

. (3)

В левой части уравнения знак производной по времени можно вынести за знак векторного произведения, так как справедливо равенство:

,

так как

.

Итак, уравнение (3) имеет вид:

. (4)

Векторное произведение радиус-вектора материальной точки на ее импульс, являющееся мерой вращательного движения тела, называетсямоментом импульса этой материальной точки относительно центра вращения (оси вращения):

. (5)

Вектор направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторыи, и образует с нимиправую тройку векторов (совпадает по направлению с вектором угловой скорости).

Векторное произведение радиус-вектора , проведенного в точку приложения силы, на эту силу, являющееся мерой механического воздействия на тело, называетсямоментом силы относительно центра вращения (оси вращения):

. (6)

Векторы,иобразуют правую тройку векторов.

Модуль момента силы равен:

. (7)

здесь - плечо силы;

- угол между векторами и.

Плечо силы – перпендикуляр, опущенный в плоскости вращения от оси вращения на направление действия силы (рис. 2).

Таким образом, уравнение (4) принимает следующий вид:

. (8)

Чтобы получить уравнение движения твердого тела необходимо просуммировать N таких уравнений. При этом учтем, что векторная сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, называетсяглавным моментом внешних сил относительно центра (оси) вращения, и равен: . Векторная сумма моментов импульса всех точек тела называетсямоментом импульса тела относительно центра (оси) вращения: . Учтем также, что в силуIII закона Ньютона сумма всех внутренних сил системы материальных точек равна нулю. Итак, окончательно, уравнение (8) принимает вид:

. (9)

Уравнение (9) - основное уравнение динамики вращательного движения тела: скорость изменения момента импульса тела, относительно закреплено точки (оси), равна главному моменту внешних сил, приложенных к телу, относительно этой точки.

Определим модуль момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения. В этом случае: . С учетом, получим:

.

Величина, равная - называетсямоментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции - величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при непоступательном движении.

Моменты инерции тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Для некоторых тел, обладающей симметрией, вычисления момента инерции производят по выведенным и проверенным экспериментально формулам. Так, например, момент инерции диска массой m и радиусом r относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости диска, можно рассчитать по формуле

. (10)

Теперь момент импульса можно записать следующим образом:

. (11)

С учетом (2) и (11) основное уравнение (9) будет иметь вид:

или . (12)

Угловое ускорение твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, прямо пропорционально главному моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси.

Соседние файлы в папке 3