Лабораторная работа № 3. (механика) Определение момента инерции тела.
Цель работы:определение момента инерции тела на основе закона динамики для тел, имеющих неподвижную ось вращения.
Оборудование: установка для проверки законов вращательного движения.
Краткая теория.
В общем случае твердое тело совершает сложное механическое движение. Но любое сложное движение можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.
Поступательным называется движение, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. При поступательном движении все точки описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, а центры этих окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Рассмотрим вращательное движение абсолютно твердого тела с закрепленной осью вращения. Абсолютно твердое тело - модель реального тела, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется, каковы бы ни были действующие на него силы. Такое тело имеет одну степень свободы, его положение в пространстве описывается одной координатой: угловым перемещением. Будем далее рассматривать абсолютно твердое тело.
Угловое перемещение - вектор, направленный вдоль оси вращения таким образом, что вращение тела представляется направленным вдоль оси вращения, числено равно углу поворота радиус-вектора, следящего за перемещением любой точки тела.
Угловая скорость - вектор, совпадающий по направлению с вектором изменения углового перемещения, числено равный первой производной от углового перемещения по времени:
. (1)
Вектор определяет положение оси вращения, направление и быстроту вращения тела. Если, то вращение называетсяравномерным. Угловая скорость связана с числом оборотов в секунду соотношением . Угловая скорость связана с линейной скоростью, где- радиус-вектор вращающейся точки.
Угловое ускорение - вектор, числено равный первой производной от угловой скорости по времени:
. (2)
Направление углового ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости: при ускоренном вращении совпадает по направлению с вектором угловой скорости, при замедленном – противоположен ему. Угловое ускорения и тангенциальное ускорение связаны между собой соотношением:
.
Всякое тело можно рассматривать как систему из N материальных точек, при чем масса тела m равна сумме масс всех этих точек:
.
Рассмотрим закономерности движения твердого тела, имеющего закрепленный центр вращения. Положение в пространстве каждой точки тела определяется радиус-вектором этой точки, проведенным из начала подвижной системы координат, совмещенным с центром вращения твердого тела. Запишем уравнение движения (II закон Ньютона) i-ой материальной точки:
,
где - внутренние силы в системе материальных точек;
- равнодействующая внешних сил, действующая на i-ую точку;
- скорость точки.
Умножим обе части этого уравнения на радиус-вектор:
. (3)
В левой части уравнения знак производной по времени можно вынести за знак векторного произведения, так как справедливо равенство:
,
так как
.
Итак, уравнение (3) имеет вид:
. (4)
Векторное произведение радиус-вектора материальной точки на ее импульс, являющееся мерой вращательного движения тела, называетсямоментом импульса этой материальной точки относительно центра вращения (оси вращения):
. (5)
Вектор направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторыи, и образует с нимиправую тройку векторов (совпадает по направлению с вектором угловой скорости).
Векторное произведение радиус-вектора , проведенного в точку приложения силы, на эту силу, являющееся мерой механического воздействия на тело, называетсямоментом силы относительно центра вращения (оси вращения):
. (6)
Векторы,иобразуют правую тройку векторов.
Модуль момента силы равен:
. (7)
здесь - плечо силы;
- угол между векторами и.
Плечо силы – перпендикуляр, опущенный в плоскости вращения от оси вращения на направление действия силы (рис. 2).
Таким образом, уравнение (4) принимает следующий вид:
. (8)
Чтобы получить уравнение движения твердого тела необходимо просуммировать N таких уравнений. При этом учтем, что векторная сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, называетсяглавным моментом внешних сил относительно центра (оси) вращения, и равен: . Векторная сумма моментов импульса всех точек тела называетсямоментом импульса тела относительно центра (оси) вращения: . Учтем также, что в силуIII закона Ньютона сумма всех внутренних сил системы материальных точек равна нулю. Итак, окончательно, уравнение (8) принимает вид:
. (9)
Уравнение (9) - основное уравнение динамики вращательного движения тела: скорость изменения момента импульса тела, относительно закреплено точки (оси), равна главному моменту внешних сил, приложенных к телу, относительно этой точки.
Определим модуль момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения. В этом случае: . С учетом, получим:
.
Величина, равная - называетсямоментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции - величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при непоступательном движении.
Моменты инерции тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Для некоторых тел, обладающей симметрией, вычисления момента инерции производят по выведенным и проверенным экспериментально формулам. Так, например, момент инерции диска массой m и радиусом r относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости диска, можно рассчитать по формуле
. (10)
Теперь момент импульса можно записать следующим образом:
. (11)
С учетом (2) и (11) основное уравнение (9) будет иметь вид:
или . (12)
Угловое ускорение твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, прямо пропорционально главному моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси.