General Physics - Thermodinamics archive / Обработка результатов физических измерений

Обработка результатов физических измерений1

О.Л. Курнявко

Понятие о методах исследований

Основной задачей физики является исследование наиболее общих свойств объектов и процессов в природе. Основная ценность такого рода исследований состоит в том, что знание свойств объектов и явлений дает возможность их последующего практического использования, т.е. приводит к развитию технологий, которые являются одной из основ существования современного общества. Различают два вида исследований: качественные и количественные.

Воснове качественных методов исследований лежат субъективные ощущения человека, связанные с деятельностью его органов чувств. Результатом качественных исследований является описание свойств объектов и явлений в терминах больше, меньше, горячее, холоднее и т.п. Недостатком данных методов является то, что оценки свойств одних и тех же объектов и явлений разными исследователями могут существенно отличаться. Более того результаты исследований одним и тем же исследователем могут существенно отличаться в зависимости от его физиологического состояния. Таким образом, главной проблемой в качественных исследованиях является невозможность эффективного сравнения полученных результатов, т.к. неизвестна причина различия в оценках свойств изучаемых объектов – это может быть связано либо со свойствами самого объекта либо с особенностями исследователя. Различить эти два фактора в рамках качественных исследований невозможно.

Воснове количественных исследований лежит идея о том, что свойствам объектов и явлений можно приписывать числовые значения. В этом случае сопоставление свойств объектов или явлений состоит в сопоставлении соответствующих числовых значений. Наличие числовых характеристик позволяет находить взаимосвязи между свойствами, строить математические модели объектов и явлений. Таким образом, количественное исследование состоит в том, что некому свойству объекта или явления приписывается переменная, называемая физической величиной, а значение данной величины является числовой характеристикой данного свойства.

Понятие об измерении

Процесс сопоставления данному свойству числа называется измерением. Измерение производится путем сопоставления данного свойства с эталонным свойством. Объект или явление обладающие эталонным свойством называется эталоном данной величины. На практике этот процесс осуществляется с использованием измерительных приборов, т.е. устройств, позволяющих непосредственно отсчитывать значения измеряемой величины, используя шкалу прибора или его устройство индикации.

Различаются прямые и косвенные измерения. Прямое измерение – процесс получения значения физической величины, при котором искомое значение получают путем непосредственного отсчета

1Начало работы: 20.02.2012 ОмГУ им. Ф.М. Достоевского, физ. факультет

1

числа делений шкалы (или фиксации цифровых показаний в случае цифровых приборов) измерительного прибора. Косвенное измерение - процесс получения значения физической величины, заключающийся в его вычислении на основе данных проведенных ранее измерений некоторого количества других величин, связанных с данной величиной функциональной зависимостью. Например, измерение длины и ширины прямоугольника с помощью линейки – это прямые измерения, а последующее нахождение его площади по формуле = , где , и есть длина, ширина и площадь соответственно – это косвенное измерение; измерение напряжения и силы тока на некотором участке цепи с помощью вольтметра и амперметра соответственно – это прямые измерения, а последующее нахождение сопротивления данного участка по формуле = / , где, и есть напряжение, сила тока и сопротивление на данном участке соответственно – это косвенное измерение.

Понятие о погрешностях

В силу объективных причин измерения физических величин не могут быть выполнены однозначно, т.е. каждому измерению соответствует некоторая неопределенность, которая называется погрешностью или ошибкой измерения. Заметим, что последний ГОСТ (от …) рекомендует использовать именно термин «неопределенность измерения», а не «погрешность» или «ошибка». Тем не менее, следуя сложившейся в физике традиции, мы будем пользоваться понятиями «погрешность» или «ошибка» измерения. Природа понятия ошибки измерения заключается в том, что измерение одной и той же величины в одних и тех же условиях, производимое двумя равно квалифицированными исследователями с помощью одних и тех же измерительных приборов, не приводит в общем случае к одним и тем же результатам. Традиционно в литературе об ошибке измерения говорят как об отклонении измеренного значения величины от ее истинного значения. Это не вполне корректное утверждение, т.к. экспериментатор не имеет в своем распоряжении истинного значения данной величины. Понятие об истинном значении, конечно же, можно ввести, но по сути это никак не проясняет природу существования ошибок измерения. Причины, препятствующие этому можно разделить на две категории: принципиальные причины и технические причины.

Кпринципиальным причинам появления погрешностей относятся следующие:

невозможность однозначно поставить в соответствие рассматриваемому свойству определенное значение физической величины; например, измерение длины стола невозможно произвести однозначно, т.к. учитывая, что стол не имеет идеальной геометрической формы, то протяженность его большей стороны различна в разных точках стола, т.е. невозможно корректно ответить на вопрос его протяженность в какой точке необходимо считать длинной стола;

наличие факторов, которые невозможно контролировать; действительно, для проверки соответствия теоретической модели и эксперимента, необходимо провести серию измерений некоторых величин, которые должны быть проведены в одних и тех же начальных условиях; однако для того, чтобы зафиксировать условия измерений в общем случае требуется контролировать бесконечное число параметров, а значит, если мы фиксируем условия измерения ограниченным набором параметров, то остальные в принципе могут различаться, оказывая «неучтенное» влияние на результат измерения.

2

погрешностями.

Ктехническим причинам появления погрешностей относят следующие:

ограниченная чувствительность прибора, обусловленная его устройством; под чувствительностью прибора мы понимаем наименьшее значение физической величины, которое может быть измерено с помощью данного прибора;

грубость шкалы и проблема округления, связанные с тем, что, во-первых, всякая шкала имеет минимальное значение, а значит прибор с данной шкалой не чувствителен к значениям меньшим данного, а во-вторых с тем, что значение указателя не обязательно располагается напротив одного из делений шкалы, т.е. исследователь вынужден, опираясь на свои ощущения делать вывод к какому из делений ближе указатель, что и приводит в конечном итоге к появлению неопределенности в измерении.

Погрешности, обусловленные техническими причинами, называются приборными или

инструментальными погрешностями.

Статистические характеристики измерений

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Рассмотрим процедуру измерения некой физической величины . Основным требованием при выполнении измерений является достоверность, т.е. повторное измерение в тех же условиях должно привести к полученному ранее значению. Однако в силу существования неопределенности в измерениях непосредственное выполнение этого требования невозможно. Разрешить возникшее противоречие можно придав понятию достоверности статистический характер:

каждое измерение величины характеризуется распределением вероятностей обнаружить некоторое значение;

данное измерение будем называть достоверным с вероятностью , если ее распределение вероятностей совпадает с распределением вероятностей в любой последующей серии с вероятностью не менее .

Практическое использование данного критерия может быть достаточно трудоемким. Во многих случаях его можно заменить более простым в применении критерием. Пусть имеется два измерения, для которых известны распределения вероятностей. Для каждого из измерений выберем отрезки [ 1, 2] и [ 1, 2], симметричные относительно значений с максимальной вероятностью, такие, что вероятность обнаружить в этих интервалах следующее измерение составляет . Будем считать,

что измерения совпадают на уровне доверительной вероятности , если данные отрезки перекрываются.

Таким образом, результатом измерения является совокупность 1, 2 , интервала значений и соответствующей ему вероятности, при этом интервал [ 1, 2] и вероятность называются

доверительным интервалом и доверительной вероятностью данного измерения соответственно.

Предложенный алгоритм, конечно, до некоторой степени упрощает сравнение результатов измерения, но для этого, тем не менее, требуется нахождение распределений для рассматриваемых

3

величин, что также является довольно трудоемкой задачей, которую, однако, можно упростить. Об этом и пойдет речь далее.

Среднее значение и абсолютное отклонение серии измерений

На практике доверительный интервал [ 1, 2] более целесообразно задавать в виде [ − ∆, + ∆]. Здесь величина определяется выражением

= 1 + 2

2

и называется средним значением серии измерений, а величина ∆ определяется выражением

∆ = 2 − 1

2

и называется абсолютной погрешностью (абсолютным отклонением) серии измерений на уровне доверительной вероятности . Таким образом, результат измерения будет задаваться набором

, ∆, .

Можно строго показать, что в предположении о нормальном законе распределения вероятностей

и называется относительной погрешностью (относительным отклонением) серии измерений величины .

Стандартное отклонение отдельного измерения

Величина абсолютной погрешности серии измерений, соответствующая доверительной вероятности = 68%, называется среднеквадратичной погрешностью или стандартным отклонением отдельного измерения. Можно показать, что среднеквадратичная погрешность (стандартное отклонение) отдельного измерения

называется абсолютной погрешностью (абсолютным отклонением) отдельного измерения.

4

Согласно определению стандартное отклонение отдельного измерения имеет следующий смысл: в некоторой достаточно большой серии измерений вероятность того, что модуль значения ∆ не превышает (или, что то же самое, что значение лежит в пределах от − до + ), составляет 0,68 (т.е. 68%). Иначе говоря, если величина измерена, например, 100 раз, то около 68 случаев будет таких, что − < < + .

Среднеквадратичная погрешность (стандартное отклонение) среднего значения

Если провести несколько серий измерений, по измерений в каждой серии, то мы обнаружим, что в каждой серии средние величины будут разными. Обозначим эти величины как , где означает номер серии. Таким образом, сама оценка является случайной величиной, следовательно, для нее мы можем рассчитать среднеквадратичное отклонение . Величина абсолютной погрешности серии измерений среднего значения величины , соответствующая доверительной вероятности = 68%, называется среднеквадратичной погрешностью или стандартным отклонением среднего значения. В математической статистике строго доказывается, что для нахождения нет необходимости проводить несколько серий измерений для нахождения и на основании их оценивать данную величину, т.к. ее можно оценить по результатам только одной серии из измерений:

Стандартное отклонение среднего значения имеет следующий смысл: если проведено достаточно большое число серий измерения некоторой величины и каждая из этих серий содержит одинаковое достаточно большое число отдельных измерений, то вероятность того, что среднее арифметическое некоторой серии отличается от истинного значения (т.е. среднего по набору серий) не более чем на , составляет 0,68 (т.е. 68%).

Коэффициент Стьюдента

Значение абсолютной погрешности для произвольного значения доверительной вероятности связано со значением стандартного отклонения соотношением

= ,

где величина , называется коэффициентом Стьюдента и служит для корректировки доверительного интервала в меньшую или большую сторону от стандартной доверительной вероятности = 68%, а – число измерений в данной серии. Значение коэффициента Стьюдента можно найти в соответствующих статистических таблицах (см. Дополнение №1).

Таким образом, на практике вычисление абсолютного отклонения на уровне , может быть выполнено в два этапа: на первом необходимо найти стандартное отклонение, а на втором с помощью коэффициента Стьюдента необходимо найти искомое значение абсолютного отклонения.

5

Обработка прямых измерений

Обработка прямых измерений состоит в последовательном выполнении следующих шагов:

выбор значения доверительной вероятности ;вычисление среднего значения

= 1 + 2 + 3 + + ;

вычисление стандартного отклонения отдельного измерения

вычисление случайного и приборного абсолютных отклонений, соответствующих доверительной вероятности

вычисление полного абсолютного и относительного отклонения, соответствующего доверительной вероятности

образом, окончательно результат прямого измерения представляется в виде совокупности значений

= ± ∆, , .

Обработка косвенных измерений

Пусть задан набор величин , , , … , для которых имеются результаты измерений:

= ± ∆, = ± ∆, = ± ∆, … ,

и пусть некоторая величина , связана с величинами , , , … соотношением

= , , , … ,

т.е. значение является косвенным измерением на основе измерений величин , , , … . Обработка косвенного измерения состоит в последовательном выполнении следующих шагов:

вычисление среднего значения величины

= , , , …

вычисление абсолютного и относительного отклонений величины

Таким образом, окончательно результат косвенного измерения представляется в виде совокупности значений

= ± ∆, .

6

Аппроксимация экспериментальных данных линейной функцией (метод наименьших квадратов)

Одной из задач, которые возникают при исследовании экспериментальных зависимостей, является подбор функциональной зависимости, наилучшим образом описывающей зависимость полученную в эксперименте. Из всех возможных кривых будем считать наилучшей кривую, обеспечивающую наименьшее значение суммы расстояний (отклонений) от всех точек данной теоретической кривой до соответствующих экспериментальных точек.

Пусть экспериментальная зависимость представлена следующей таблицей

Предположим, что теория предсказывает прямо пропорциональный характер данной зависимости, т.е. искомая зависимость должна иметь вид = , тогда

Стандартная ошибка найденного параметра определяется

Предположим, что теория предсказывает линейный характер данной зависимости, т.е. искомая зависимость должна иметь вид = + , тогда

При отсутствии предсказаний теории необходимо провести последовательный перебор всех видов зависимостей, похожих на данную экспериментальную кривую. Практически, конечно, это сделать крайне трудно, а точнее невозможно, а следовательно, столь невозможно доказать, что данная кривая имеет наилучшим образом описывает данную зависимость. Однако удовлетворительность описания экспериментальной кривой посредством данной теоретической зависимости можно показать опираясь статистический подход, о чем и пойдет речь далее.

7

Сопоставление теоретической модели и экспериментальных данных

Одной из важных задач экспериментальной физики является проверка соответствия теоретических моделей, гипотез и экспериментальных данных. На практике это означает, что необходимо сравнить теоретически предсказанные зависимости и соответствующие экспериментальные зависимости, а также теоретически предсказанные значения и измеренные экспериментально. Очевидно, что абсолютно точного совпадения значений физических величин или их зависимостей, предсказанных теорией, и результатов измерений не может быть. В общем случае возможны две причины расхождения предсказаний и результатов измерений:

существование неопределенности в измерениях (наличие погрешностей);

неудовлетворительность модели или гипотезы.

Для того чтобы понять, какой из факторов (или оба) в данном случае оказал влияние, необходимо построить модель, которая предсказывала бы каким должно быть различие теории и эксперимента в каждом из этих случаев. В общем случае достаточно смоделировать влияние хотя бы одного из перечисленных факторов. Для того чтобы предсказать различия теории и эксперимента,

обусловленные влиянием только погрешностей, используется называемые статистический критерий

2.

Рассмотрим смысл данного критерия. Введем величину 2, которая определяется разностями теоретических и экспериментальных значений и имеет вид:

В случае, если отклонения обусловлены только случайными факторами, данная величина подчиняется статистике Пирсона, описываемой интегральной функцией распределения2

и называется функцией распределения Пирсона, которому подчиняется критерий 2, – число степеней свободы данной статистической модели, определяемое как = − − 1, где в свою очередь – число измерений, – число оцениваемых параметров (для линейной функции = 2), а, и Γ – функции Эйлера. Таким образом, вычислив значение 02 и используя затем функцию распределения Пирсона можем найти вероятность обнаружить значение большее 02. Если эта вероятность мала (т.е. мала вероятность того, что при действии только случайных факторов может быть обнаружено это значение), то мы говорим, что отклонения существенны и гипотеза о

2 Интегральной функцией распределения величины называется функция ( ), значение которой равно вероятности обнаружить значение случайной величины большее значения , т.е. > = ( ). Заметим, что часто в литературе по математической статистике функцией распределения называют величину

совпадении теории и эксперимента отвергается. В противном случае (т.е. если вероятность велика) гипотеза должна быть принята.

Иными словами смысл распределения Пирсона для критерия 2 состоит в следующем: функция распределения 2 показывает, с какой вероятностью следующая серия измерений приведет к тому же либо большему значению 02; считая, что в данной серии измерений причины отклонения от02 обусловлены некоторым набором систематических и случайных факторов, справедливо ожидать, что данное значение будет наблюдаться с высокой степенью вероятности; если же отклонение от 02 обусловлено также и не удовлетворительностью гипотезы, то появление данного значения следует ожидать с весьма малой вероятностью. Таким образом, функция распределения 2 в некотором смысле характеризует устойчивость значения 2 к внешним факторам, т.е. его воспроизводимость3.

Рассмотрим подробнее задачу проверки соответствия теоретически предсказанной зависимости= ( ) и экспериментальной, которая представлена в виде таблицы:

Анализ полученного значения вероятности основан на выборе границы (уровня) значимости. Выберем 5% − ный уровень значимости, если вероятность (в процентах) получения данного значения 2

лежит в интервале (0; 0,1], то отклонения называются высокозначимыми на данном уровне значимости – гипотеза отвергается;

лежит в интервале (0,1;1], то отклонения называются значимыми на данном уровне значимости – гипотеза отвергается;

лежит в интервале (1; 5], то отклонения называются почти значимыми на данном уровне значимости – гипотеза отвергается;

лежит в интервале (5; 100], то отклонения называются незначимыми на данном уровне значимости – гипотеза принимается4.

Например, пусть 02 = 18, = 10, тогда вероятность обнаружить значение 2 большее, значения 02 равна 2 18 = 0,054, т.е. = 5,4%, следовательно, гипотеза принимается.

Также для нахождения вероятности можно пользоваться таблицами для распределения Пирсона (см. Дополнение №2). С этой целью найдем для заданного значения пару значений 12 и 22, между которыми находится найденное ранее значение 02, тогда искомое значение вероятности лежит между значениями вероятности 1 и 2. В нашем примере значение 02 = 18 лежит между 12 = 16,0

3 Можно сказать, что 2 указывает, какова вероятность обнаружить такие отклонения, если они обусловлены только случайными факторами; чем больше вероятность, тем выше достоверность.

4 Для 10%-процентного уровня значимости соответственно нужно использовать набор интервалов 0; 0,1 , 0,1; 1 , 1; 10 (10; 100]. Нужно уточнить!

9

и 22 = 18,3, следовательно, искомая вероятность лежит в интервале от = 5% до = 10%, следовательно, гипотеза принимается.

Основные задачи, связанные с анализом экспериментальных данных

Перечислим основные задачи, связанные с анализом экспериментальных данных.

1.Обработка прямых измерений.

2.Обработка косвенных измерений.

3.Подбор аналитических зависимостей, соответствующих полученным экспериментальным данным:

a.эвристический подход (вид искомой зависимости выбирается путем сопоставления с известными функциями, сопоставление удобно выполнять методом линеаризации);

b.модельный подход (вид искомой зависимости определяется теоретической моделью, описывающей явление).

4.Проверка удовлетворительности описания явления в рамках заданной теоретической модели.

5.Нахождение параметров экспериментальных зависимостей.

Подбор аналитических зависимостей, соответствующих полученным экспериментальным данным Эвристический подход

Чтобы подобрать формулу, выражающую зависимость между двумя величинами, если это зависимость найдена опытным путем, строят график этой зависимости. Полученный график сравнивают по внешнему виду с графиками, построенными при помощи известных формул. Формулы содержат небольшое число параметров (коэффициенты, показатели степеней и т.д.), изменением которых можно в той или иной степени менять вид кривой. Чтобы формула не оказалась слишком сложной, число параметров не должно быть велико. Обычно берут два-три параметра. При сравнении обращают внимание на наличие максимумов и минимумов, поведение функции при больших и малых значениях аргумента, выпуклость кривой вверх или вниз на отдельных участках и т.д. Выбрав среди известных графиков наиболее подходящий, следует подобрать такие значения параметров в формуле, чтобы разница между опытными значениями величины и значениями, найденными по формуле, не превышала ошибок эксперимента. Если эта разница получается слишком большой, берут другой подходящий график и повторяют попытку.

10