Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Аналит. геометрия. Мазова Р.Е. / Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

..pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
28.03.2015
Размер:
3.21 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА»

Р.Х. Мазова В.Н. Неймарк

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Рекомендовано Ученым советом Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева

в качестве учебного пособия для студентов технических специальностей всех форм обучения

Нижний Новгород 2013

УДК 516

ББК 22.151.5 М 135

Рецензент доктор физ.-мат. наук, профессор Н.С. Петрухин

Мазова Р.Х., Неймарк В.Н.

М 135 Аналитическая геометрия: учеб. пособие / Р.Х. Мазова, В.Н. Неймарк; Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева. – Нижний Новго-

род, 2013. – 110 с.

ISBN 978-5-502-00244-8

Кратко изложен теоретический материал раздела «Аналитическая геометрия» курса «ВМ», приведены примеры решения задач и содержатся задачи для самостоятельного решения.

Учебное пособие предназначено для студентов всех специальностей всех форм обучения технических вузов.

Рис. 77. Табл. 3. Библиогр.: 10 назв.

УДК 516

ББК 22.151.5

ISBN 978-5-502-00244-8

© Нижегородский государственный

 

технический университет

 

им. Р.Е. Алексеева, 2013

 

© Мазова Р.Х., Неймарк В.Н., 2013

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

5

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

6

1.1. Векторы и действия над ними. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

6

1.2. Скалярное произведение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

9

1.3. Векторное произведение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

9

1.4. Смешанное произведение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

10

1.5. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

11

1.6. Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

18

1.6.1. Задачи на тему «Векторы и действия над ними. . . . . . .

18

1.6.2. Задачи на тему «Скалярное произведение векторов». . .

19

1.6.3. Задачи на тему «Векторное произведение векторов». . .

20

1.6.4. Задачи на тему «Смешанное произведение векторов». .

21

2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

22

2.1. Аналитическое представление прямой на плоскости.

. . . . . .

22

2.2. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

24

2.3. Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . .

. . . . . .

35

3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. . . . . .

. . . . . . . .

43

3.1. Уравнение плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

43

3.1.1. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

45

3.1.2. Задачи для самостоятельного решения. . . . . . .

. . . . . . .

49

3.2. Прямая в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

52

3.2.1. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

53

3.2.2. Задачи для самостоятельного решения. . . . . . .

. . . . . . .

57

3.3. Прямая и плоскость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

60

3.3.1. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

61

3.3.2. Задачи для самостоятельного решения. . . . . . .

. . . . . . .

63

4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

67

4.1. Эллипс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

67

4.1.1. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

68

4.2. Гипербола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

70

4.2.1. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

72

4.3. Парабола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

73

4.3.1. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

74

4.4. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

75

4.5. Преобразование координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

75

4.5.1. Сдвиг системы координат. . . .. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

76

4.5.2. Поворот осей координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

76

4.6. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

76

4.6.1. Примеры решения задач с использованием метода па-

76

раллельного переноса начала координат. . . .

. . . . . ..

4.6.2. Примеры решения задач с использованием метода по-

80

ворота системы координат. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

4.7. Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . .

. . . . . .

82

3

4.7.1. Окружность. Эллипс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.7.2. Гипербола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.7.3. Парабола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.7.4. Задачи на приведение кривой к канонической форме

 

записи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

 

ВТОРОГО ПОРЯДКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.1. Эллипсоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.2. Однополостный гиперболоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.3. Двуполостный гиперболоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5.4. Конус. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.5. Эллиптический параболоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.6. Эллиптический цилиндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.7. Гиперболический цилиндр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.8. Параболический цилиндр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ. . . . . . . . . . . . . . 96

ОТВЕТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

В данном учебном пособии приведен кратко изложенный теоретический материал по курсу «Высшей математики» раздела «Аналитическая геометрия» с иллюстративным пояснением основных формул и положений, даны подробные решения задач по всем темам курса с графическим иллюстрациями для многих задач. Материал сопровождается большим количеством примеров для самостоятельного решения, к части из них даны указания для решений, приведены ответы к задачам.

Необходимость издания подобного учебного пособия по аналитической геометрии с большим количеством решенных примеров обусловлена отсутствием доступных задачников для студентов технических вузов с краткими и ясными комментариями к использованию того или иного лекционного материала.

5

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1.Векторы и действия над ними

Направленные отрезки принято называть векторами. Их обозначают,

как правило, ar, b , c , AB , BC , CD . Векторы равны, если имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Число, равное длине вектора, называется модуль и обозначает-

ся a . Если модуль a =1, то вектор называется единичным, если a =0, то

вектор – нулевым вектором. Проекция вектора a на ось l выражается через его модуль и угол наклона ϕ к оси l формулой

прl a =| a | cos ϕ.

В прямоугольной декартовой системе координат вектор a в проекциях на координатные оси записывается так:

a ={X ; Y ; Z}.

Если даны две точки M1{x1, y1, z1} и M2{x2, y2, z2}, то координаты вектора M1M 2 имеют вид

M1M 2 ={x2 x1; y2 y1; z2 z1}={X ;Y;Z}.

Модуль вектора определяется по формуле

M1M 2 = a = X 2 +Y 2 + Z 2 .

Если α, β, γ – углы, которые составляет вектор a с координатными осями x, y и z соответственно, то cos α , cosβ, cos γ называются направляющими косинусами вектора a

X = a cos α; Y = a cosβ ; Z = a cosγ.

Существует равенство

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

Сумма ar + b находится двумя способами:

1) правило треугольника: если вектор b приложен к концуrвектора a , то вектор, соединяющий начало вектора a и конец вектора b , является суммой (рис. 1.1, а);

2) правило параллелограмма: если векторы a и b приведены к общему

6

началу и на них построен параллелограмм, то сумма ar + b есть вектор, сов-

падающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала

a и br (рис. 1.1, б). Если два вектора a и b приведены к общему началу, то

r

r

их разность a

b есть вектор, идущий из конца b к концу a (рис. 1.1, б).

а)

б)

в)

 

Рис. 1.1

 

Сложение нескольких векторов производится при помощи обобщения правила треугольника – правило многоугольника: чтобы построить сумму любого числа векторов, нужно из любой точки построить вектор, равный первому слагаемому, из конца вектора построить вектор, равный второму

вектору и т.д. (рис. 1.1, в). Вектор AF , соединяющий начало первого вектора и конец последнего, будет суммой всех данных векторов.

Если a ={X ;Y;Z}, то для любого числа α αa = {αX ;αY ;αZ}. Произведением αa (α = const) называется вектор, модуль которого равен

произведению модуля вектора a на модуль числа α; он параллелен вектору a или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор a , если α – число положительное, и противоположно вектору a , если α – число отрицательное. Ортом вектора a называется единичный вектор данного на-

правления a 0

=

 

 

a

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При сложении векторов ar ={X

1

;Y ; Z

}

и

b = {X

2

;Y ; Z

2

} их координаты

 

 

 

 

 

 

 

 

ar + b = {X

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

2

 

складываются

 

 

 

 

 

1

+ X

2

;Y + Y ; Z

1

+ Z

2

}. Отсюда следует, что

ar b = {X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

X

2

;Y Y ; Z

1

Z

2

}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линей-

ными операциями над векторами.

Существует две основные теоремы о проекциях векторов:

1. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось U равна сумме их проекций на эту же ось:

7

прu (a1 + a2 +... + an )= прu a1 + прu a2 +... + прu an ;

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

прu (αa)= α прu a .

Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов b =α ar , ar ={X1;Y1;Z1} и b = {X 2 ;Y2 ; Z2 } является пропорциональность их координат:

X 2

=

 

Y2

=

Z2

= λ ,

 

Y

 

X

1

 

 

 

Z

1

 

 

 

1

 

 

 

где λ – некоторое постоянное число.

Векторы называются компланарными, если лежат либо в одной плоско-

сти, либо в параллельных плоскостях.

 

 

 

 

Тройка векторов

i ; rj ; kr называется координатным базисом (рис. 1.2),

 

 

 

если эти векторы

удовлетворяют

 

z

 

следующим условиям:

Z

 

 

1)

вектор i лежит на оси Ox;

 

 

 

вектор

j – на оси Oy; вектор k – на

 

ar

 

оси Oz;

 

 

 

r

 

 

2)

каждый из векторов i ; j ; k

k

r

Y

направлен по своей оси в положи-

 

 

j

тельную сторону;

 

i

 

y

rj ; kr – единич-

 

3)

векторы

i ;

X

 

 

x

 

 

ные, т.е. | i |=1,|

j |=1,| k |=1.

 

 

 

Каким бы ни был вектор a , он

Рис. 1.2

всегда может быть разложен по ба-

 

зису i ; j ; kr единственным образом, т.е. может быть представлен в виде

 

ar = Xi + Yj + Zk .

Коэффициенты этого разложения являются координатами вектора a в базисе i ; j ; kr (т.е. X, Y, Z суть проекции вектора a на координатные оси) (рис. 1.2).

8

1.2. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное про-

изведен ию модулей этих векторов на косинус угла между ними:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ar br)

=| ar || br |

 

cos ϕ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярное произведение векторов

 

r

 

и

r

можно выразить через проек-

 

 

a

 

b

ции формулами:

 

 

(ar br)=| ar| прarbr и (arbr)=| br| прbrar.

 

 

 

Если векторы перпендикулярны, то

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

b )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярное произведение

(ar ar)

 

называется скалярным квадратом век-

тора и обозначается

 

r2

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

= | a | .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

r

Если векторы a

 

и

b заданы

 

своими координатами a = {X1; Y1; Z1} и

b

= {X 2; Y2; Z2}, то их скалярное произведение может быть вычислено по

формуле

 

 

 

 

 

 

 

(ar br)= X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

X

2

 

+Y Y + Z

Z

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

Отсюд а следует

необходимое и достаточное условие перпендикулярности

вектор ов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Угол ϕ между ненулевыми векторами ar= {X1; Y1; Z1} и br = {X2; Y2; Z2}

можно

определить по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arbr)

 

 

 

 

 

 

co sϕ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 X 2 +Y1Y2 + Z1Z2

 

 

 

 

 

cosϕ =

r

r

,

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

X12

+Y12 + Z12

X 22 + Y22

 

 

 

 

 

 

| a || b |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Z22

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Векторное произведение

 

 

 

 

Векторным произведением вектора

 

ar на вектор br

называется такой тре-

тий вектор

r

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

] ), который:

 

 

 

с (записывается как ( a

 

×b ) или [ a

хb

 

 

 

 

1) имеет модуль

 

r

 

=

 

r

r

 

=

 

 

r

 

 

 

r

 

sin ϕ, где ϕ – угол между векто-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

(a

×b)

 

 

a

 

 

b

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рами a

 

и b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) перпендикулярен к каждому из век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торов a

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

направлен

по

 

поступательному

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

движению винта,

котор ый вращается про-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

(рис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тив часовой стрелки от вектора a к

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

Свойства векторног о произведения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ( a

×b ) = – (b

×a );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

r

r

r

 

r

 

r

r

×

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( a

×(b +

с )) = ( a

×b ) + ( a

с ) – распределительный закон;

 

3)

 

r

r

 

r

 

r

r

 

в частности,

 

r

 

r

r

;

 

 

 

 

если a ||b , то ( a

×b ) = 0;

( a

×a ) =

0

 

 

 

 

4)

((λаr) ×br )= (ar×(λbr))= λ(ar×br).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторное произведение ортов:

 

(ir× rj ) = kr;

( rj ×kr) = ir;

( kr×ir) = rj .

Произведение

любых

двух

смежных

 

векторов

в

последовательности

_… i j k i

j k

+… дает следующ ий вектор со знаком «+», а в обратной по-

следовательности со знаком «–».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вы ражение

векторного

произведения

 

 

через

координаты

векторов

ar= {ax; ay; az} и

br = { bx; by; bz

} записывается следующим образом :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ir

 

rj

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

=

 

 

k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

× b)

ax

ay

 

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

by

 

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь парал лелограмма S =

 

 

cr

 

 

 

(рис. 1.3), построенного на векторах ar

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и b

, находится по формуле S = |( a ×b )|, а площадь треугольника, построен-

ного на векторах ar и

br

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

2

 

|( a ×b )|.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Смешанное произведение

 

 

 

 

 

 

Смешанным произведением векторов

r

r

 

 

r

называется выражение вида

a

, b

, с

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

их произведение

(( a ×b ) с), где два вектора перемножаются векторно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скаляррно на третий вектор. Знаки опе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

раций «точка» и «крест» можно поме-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нять местами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

r

 

 

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(( a ×b ) с) = ( a

(b ×

с ))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

) =d

, ((a x b ) c) =(d c ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому смешанное произведение при-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нято

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

записывать в виде a b

с , т.е. без

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаков действий и скобок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл смешанного

 

 

 

Рис. 1.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произведения –

объем

параллелепипеда,

10