7. Функции комплексного переменного / m7var07
.pdfВариант 7
Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):
а) ch(1+ 2i); б) ln(−1− i)
Решение. а). Воспользуемся формулой связи между тригонометрическим косинусом и гиперболическим косинусом: сh(z)= cos(iz). Получим ch(1+2i)=cos(i+2i2)= cos(i-2). По формуле тригонометрии cos(i-2)=cos(i)·cos2+sin(i)·sin2. Снова воспользуемся формулами связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями:
cos(i)=ch1; sin(i)= ish1. Получим ch(1+2i)=cos2·ch1+ i·sin2·sh1.
б). Воспользуемся формулой Ln(z) = ln z + i(ϕ + 2kπ) . В данном случае z = −1− i . Найдём
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
ϕ = arg z = arctg |
−1 |
= |
5π |
(третья |
||||||||||||||||
модуль и аргумент этого числа: |
|
= |
(−1)2 + (−1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2kπ) = ln( |
|
|
5 |
) . |
||||||||||||||||||||||||||||
четверть). Таким образом Ln(−1− i) = ln( |
|
|
|
2) + i( |
2) + iπ(2k + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
Ответ. а) ch(1+2i)=cos2·ch1+ i·sin2·sh1; |
|
б) |
Ln(−1− i) = ln |
|
|
+ iπ(2k + |
5 |
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2. Выяснить геометрический смысл соотношения. Сделать чертёж. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
< Re z +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y |
|
Решение. Так как z=x+iy, то данное соотношение имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вид: |
|
x + iy) |
|
< x +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Или |
|
x2 + y2 |
< x +1. Возведём обе части в квадрат. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
Получим: x2 + y2 < x2 + 2x + 1. Или y2 < 2x + 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ответ. Данное соотношение представляет область, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
расположенную внутри параболы |
y2 = 2x +1 с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
вершиной в точке (-1/2; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Задача 3. Решить уравнение: |
e2z + 2ez − 3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. Обозначим V=ez и решим квадратное уравнение |
|
V2+2V-3=0: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
V1,2 = −1± 1+ 3 = −1± 2. Таким образом, имеем два корня: V1 =1, V2 = −3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=1, |
|
arg V1 = 0, |
|
|
|
V2 |
|
= 3, |
|
arg V2 = π . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Найдём модули и аргументы этих чисел: |
V1 |
|
|
|
|
|
Так как V=ez, то z=LnV. Далее воспользуемся формулой LnV = ln V + i(ϕ + 2kπ) . Получим:
z1 = LnV1 = ln1+ 2kπi = 2kπi, |
z2 = LnV2 = ln 3 + i(π + 2kπ)] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ. z1 = 2kπi, |
z2 = ln3 + πi(2k +1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 4. Доказать тождество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sh(z1 − z2 ) = sh z1ch z2 − ch z1sh z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Рассмотрим правую часть равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ez1 |
− e |
−z1 |
ez2 + e |
−z2 |
|
ez1 + e−z1 |
|
ez2 |
− e−z2 |
|
1 |
z |
z |
z |
−z |
|
|
||||
sh z |
ch z |
2 |
− ch z sh z |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
(e 1 e |
|
2 + e |
1 e |
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
− e−z1 ez2 |
− e−z1 e−z2 |
− ez1 ez2 |
+ ez1 e−z2 − e−z1 ez2 |
+ e−z1 e−z2 ) = |
1 |
2(ez1 e−z2 |
− e−z1 ez2 ) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 (e(z1−z2 ) − e−(z1+z2 ) ) = sh(z1 − z2 ) , что и требовалось доказать.
2
Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по заданной действительной части её:
Ref(z) = u = x2 + Ay2 + x , если f(1+i)=1+i.
Решение. Чтобы функция u(x,y) бала действительной частью аналитической функции нужно, чтобы она была гармонической, т.е. её лапласиан ∆u был бы равен нулю: ∆u=0,
1
≡ |
∂2 |
+ |
∂2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. Проверим выполнение этого условия, для чего найдём производные |
||||||||||||
∂x2 |
∂y |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
второго порядка от u по x и по y: |
∂u |
= 2x |
+1, |
∂2u |
= 2, |
∂u |
= 2Ay, |
∂2u |
= 2A. |
||||||
∂x |
∂x2 |
∂y |
∂y2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы лапласиан ∆u был равен нулю, нужно положить A=-1. Таким образом, функция u(x, y) = x2 − y2 + x является гармонической. Восстановим мнимую часть v(x,y) функции
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), пользуясь условиями Даламбера-Эйлера: |
∂u = |
∂v , |
∂u = − |
∂v |
. |
|||
|
||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
∂y |
∂x |
|
Из первого условия получаем: |
∂v = |
∂u = 2x +1. Тогда v(x, y) = ∫ |
∂vdy + ϕ(x) , или |
|||||
|
∂y |
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
v(x, y) = ∫(2x +1)dy + ϕ(x) = 2xy + y + ϕ(x). Производная по x от этого выражения равна
∂v |
= 2y + ϕ′(x). С другой стороны по второму условию Даламбера-Эйлера |
∂v |
= − |
∂u = 2y. |
|
∂x |
|||
∂x |
|
∂y |
Приравнивая эти выражения, получим: 2y + ϕ′(x) = 2y. Отсюда ϕ′(x) = 0. Или ϕ(x) = C. Таким образом, v(x, y) = 2xy + y + C. Тогда f (z) = x 2 − y 2 + x + i (2 xy + y + C ). Перейдём к переменной z:
f(z) = x2 + 2ixy − y2 + x + iy + iC = (x + iy)2 + (x + iy) + iC = z2 + z + iC . Воспользуемся дополнительным условием f(1+i)=1+i. В данном случае f(1+i)=(1+i)2+(1+i)+iC=2i+1+i+iC=i+1. Т.е. C=-2.
Ответ. f(z) = x2 − y2 + x + i (2xy + y − 2) = z2 + z − 2i.
Задача 6. Вычислить интеграл по дуге C от точки z1 до точки z2.
∫(1− |
|
|
C − прямая, z1 = 0, z2 = −2 − 4i. |
z)dz; |
|||
C |
|
Решение. Вычислим интеграл, сводя его к криволинейным интегралам второго рода по формуле ∫f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫udy + vdx . В данном случае f(z)=[1-(x-iy)] или
C C C
f(z) =1− x + yi. Значит ∫f (z)dz = ∫(1− x)dx − ydy + i∫(1− x)dy + ydx . Примем x за параметр.
C C C
Составим уравнение прямой , по которой проводится интегрирование: |
y |
|
= |
x |
, т.е. |
|||||||||||||||||||||||
− 4 |
− 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = 2x, dy = 2dx . Начальной точке z1=0 соответствует значение x=0, конечной |
z2=-2-4i |
|||||||||||||||||||||||||||
– значение x=-2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
5x |
2 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫(1− |
z)dz = ∫[(1− x) − 4x]dx + i ∫[2(1− x) + 2x)]dx = [x− |
|
] |
+ i2x |
|
0−2 = −12 − 4i . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
C |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∫(1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ. |
z)dz = −12 − 4i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 7. Вычислить интеграл от аналитической функции. ∫(z −1) ez |
dz . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Применим формулу формулу интегрирования по частям: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
u |
= z −1 |
du = dz |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫(z −1) ez dz = |
= (z −1) ez |
− ∫ez dz = (i −1) ei − ez |
= (i |
−1) |
ei − ei + e . |
|||||||||||||||||||||||
dv = e |
z |
dz |
v = e |
z |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдём к тригонометрическим функциям: ei = cos1+ isin1.Получим:
2
i
∫(z −1) ei dz = (i − 2)(cos1+ isin1) + e = e − sin1− 2cos1+ i(cos1− 2sin1) .
1
i
Ответ. ∫(z −1) ei dz = e − sin1− 2cos1+ i(cos1− 2sin1) .
1
Задача 8. Найти интеграл, используя интегральную формулу Коши, по контурам L1, L2,
L3. |
L∫ |
eizdz |
, |
1) L1 : |
x2 |
+ |
y2 |
=1, 2) L2 : |
|
z − 3 |
|
=1., 3) L3 : |
|
z + 3 |
|
=1. |
|
|
|
|
|||||||||||||
(z − π)2 (z + π) |
2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1). Подынтегральная функция аналитична всюду, за исключением точек z=-π, и
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z= π. В эллипсе |
x2 |
+ |
y2 |
≤1 подынтегральная |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция аналитична. Следовательно, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
I1 = |
|
|
|
|
eizdz |
= 0 . |
2). В круге |
|
z − 3 |
|
≤1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
L∫ (z − π)2 (z + π) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть одна особая точка: z=π. Тогда по |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегральной формуле Коши |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
eiz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
eizdz |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
eiz |
|
|
ieiz |
(z + π) |
− eiz |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(z + π) |
|
1 |
|
|
d |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ (z− π)2 (z + π) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + π) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(z− π)2 |
|
1! dz |
(z + π) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
L2 |
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=π |
|
|
|
|
|
z=π |
|
|
|
|
|
|||||||
= |
ieiπ |
(2πi −1) |
= |
|
i |
(2πi −1)(cos π + isin π) =1+ |
|
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). Внутри области z + 3 ≤1 расположена одна особая точка z=-π. Тогда по интегральной формуле Коши
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiz |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
eizdz |
|
= ∫ |
|
(z − π)2 |
= 2πi |
|
eiz |
|
|
= |
i |
e−iπ = |
i |
(cos π − isin π) = − |
i |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
(z− π) |
2 |
(z |
+ π) |
|
(z+ π) |
|
|
|
2 |
2π |
2π |
2π |
|||||||||||||||||||
L3 |
|
|
L3 |
|
|
|
(z − π) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=−π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ. |
I |
|
= 0, |
I |
|
=1+ |
|
i |
, I |
|
= − |
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.
|
z −1 |
1) 3 < |
|
< 4 |
|
|
> 4. 3) 0<|z-4|<1. |
|
|
|
, |
z |
2) |
z |
|||
z2 |
|
|||||||
− 7z +12 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Решение. Корнями уравнения z2-7z+10=0 являются числа z1=4 и z2=3. Разложим эту дробь
на простые дроби: |
|
z −1 |
= |
A |
|
+ |
B |
= |
A(z − 3) + B(z − 4) |
. Или |
|
2 − 7z +12 |
z − |
|
z − 3 |
|
|||||
|
z |
|
4 |
|
|
(z − 4)(z − 3) |
A(z − 3) + B(z − 4) = z −1. При z=4 получим A=3. Если положить z=3, то получим В=2.
Следовательно, |
|
z −1 |
= |
3 |
− |
2 |
. |
1). В кольце 3 < |
|
z |
|
< 4 имеем |
|
3 |
<1 и |
|
|
z |
|
|
<1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z |
2 − 7z +12 z − 5 z − 2 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Тогда дробь можно представить следующим образом:
z −1
z2 − 7z +12
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
− |
|
|
|
. |
4(1− |
z |
) |
z(1− |
3 |
) |
|||
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
z |
Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1 |
=1+ q + q2 + ... + qn + ..., где |
|
q |
|
<1. В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=3/z. |
||
|
|
||||||
|
|
||||||
1− q |
|
|
|
|
|||
|
|
||||||
Следовательно, |
|||||||
|
|
3 |
|
|
z −1 |
∞ |
3 |
n−1 |
∞ |
n |
|||||||
|
|
= −2∑ |
|
|
− 3∑ |
z |
. 2). В кольце |
|
z |
|
> 4 выполняются неравенства |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
2 |
− 7z +12 |
|
|
n |
n+1 |
||||||||
|
n=1 z |
|
n=0 4 |
|
|
|
|
|
|
3 <1 и 4 <1. Следовательно,
zz
z −1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
∞ |
4 |
n−1 |
∞ |
3 |
n−1 |
∞ |
3 4 |
n−1 |
+ 2 3 |
n−1 |
|||
= |
|
|
− |
= 3∑ |
|
−2∑ |
|
= ∑ |
|
|
. |
|||||||||
z2 − 7z +12 |
|
4 |
|
|
zn |
zn |
|
|
zn |
|
||||||||||
|
z(1− |
) |
|
z(1− |
3 |
) |
n=1 |
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
zz
3) |
0 < |
|
z − 4 |
|
< 1 |
|
|
z − 4 |
|
|
< 1; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∞ zn |
|
|
∞ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3∑ |
|
|
|
|
|
|
+ 2∑ (z − 4)n; |
||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
− 7z +12 z − 4 z − 3 z − |
|
4 1− (z |
− 4) |
1 4n+1 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
zn |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3∑ |
|
|
|
|
|
|
+ |
2∑ (z − 4)n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
− 7z +12 |
|
|
|
1 4n+1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3 |
n−1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2∑ |
|
|
|
− 3∑ |
z |
в кольце 3 < |
|
z |
|
< 4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
− 7z +12 |
|
|
|
n |
n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 z |
|
|
|
|
n=0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
3 4 |
n−1 |
+ |
2 3 |
n |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в кольце |
|
z |
|
> 4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 7z +12 n=1 |
|
zn |
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
= |
∞ |
|
|
|
+ |
∞ |
− 4)n; в кольце 0<|z-4|<1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3∑ |
|
|
|
|
|
|
2∑ (z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 − 7z +12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
1 4n+1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Задачи 10-11. Вычислить интегралы с помощью вычетов. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
eiπz |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
11. |
|
|
∫ |
|
|
|
z |
cos |
2 |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
=3 |
(z + 2) |
|
(z |
|
|
+ 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 |
|
z +1 |
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 10.. .Найдём корни знаменателя: z1=-2, z2=2i, z3=-2i. Значения z2=2i и z3=-2i являются простыми полюсами подынтегральной функции, а значение z1=-2 - полюсом
кратности 2. Тогда Res |
|
|
|
eiπz |
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
lim |
d |
[(z + 2)2 |
|
|
|
|
|
eiπz |
|
] = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 (z + 2)2 (z2 + 4) |
1! z→−2 dz |
|
|
|
|
|
(z + 2)2 (z2 + 4) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
iπeiπz |
(z2 |
+ 4) |
− 2zeiπz |
e−2iπ (8iπ + 4) |
|
|
1 |
|
−2iπ |
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
e |
|
|
(1+ |
2πi) = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
z→−2 |
(z2 + 4)2 |
|
|
|
64 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Res |
|
eiπz |
|
|
= lim [(z − 2i) |
|
|
|
|
|
|
eiπz |
|
|
|
] = lim [ |
|
|
eiπz |
] = − |
e2π |
|
|||||||||||||||||||||||||
(z + 2)2 (z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z2 |
+ 4) |
z→2i |
|
(z + 2) |
2 (z − 2i)(z + 2i) |
z→2i (z + 2)2 (z + 2i) |
|
32 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
eiπz |
|
|
= lim [(z + 2i) |
|
|
|
|
|
|
eiπz |
|
|
|
|
] = lim |
[ |
|
|
eiπz |
|
] = − |
e−2π |
|||||||||||||||||||||||
(z + 2)2 (z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + 2)2 (z − 2i) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z3 |
+ 4) |
z→−2i |
|
|
(z |
+ 2)2 (z − 2i)(z + 2i) |
|
z→−2i |
|
32 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим окончательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∫=3 |
|
|
eiπz |
|
|
1 |
+ 2πi |
|
1 |
(e2π + e−2π )) = − |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
dz = 2πi ( |
|
|
|
|
− |
|
|
|
(2π − i + i ch(2π)) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(z + 2)2 (z2 + 4) |
|
16 |
|
|
32 |
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Подынтегральная функция имеет существенно особую точку z=-1. Поэтому для вычисления вычета относительно этой точки следует разложить функцию в ряд Лорана. Воспользуемся разложением в ряд функции cos(w) по степеням w:
cos(w) =1− |
w2 |
+ |
w4 |
− |
w6 |
+ ... Полагая w = |
2 |
, получим: |
|
|
|
|
|||||
2! |
4! |
6! |
|
z +1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
z |
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
4 |
|
26 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
cos |
|
|
= (1− |
|
) 1 |
− |
|
|
+ |
|
|
− |
|
+ ... |
=1− |
|
|
+ |
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
6!(z +1)6 |
|
|
(z +1)2 |
|||||||||||
z +1 |
|
z +1 |
|
z +1 |
|
2!(z + 1)2 |
4!(z + 1)4 |
|
|
z +1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициентом при (z+1)-1 в разложении функции будет число -1. Вычет данной функции
равен коэффициенту при (z+1)-1 в данном разложении, т.е. Res[ |
|
|
|
|
z |
|
|
|
cos |
2 |
|
] = −1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z + |
|
|
z + |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
Следовательно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
z |
|
cos |
|
|
|
2 |
|
dz = 2πi (−1) |
= −2πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z +1 |
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
eiπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ. 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = − |
|
(2π − i + i ch(2π)) . |
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
dz |
= −2πi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=3 |
(z + 2) |
|
(z |
|
|
|
|
+ 4) |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
=2 z +1 |
|
z +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 12. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 4)(x2 + 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдём корни знаменателя функции f (z) = |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Приравнивая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z2 + 4)(z2 |
|
+ 9) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
знаменатель к нулю, получим: z1,2 |
= ±2i, |
z3,4 |
= ±3i . В данном случае в верхней |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полуплоскости расположены два полюса z=2i и z=3i функции f (z) = |
|
|
|
|
|
z2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z2 |
|
+ 4)(z2 |
+ 9) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
2πi(Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(x |
2 |
+ |
4)(x |
2 |
|
+ 9) |
(z |
2 |
+ 4)(z |
2 |
+ 9) |
|
(z |
2 |
+ 4)(z |
2 |
|
+ 9) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Res |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
(z − 2i)z2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
− 4 |
|
= |
|
|
− 4 |
= |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(z2 |
+ 4)(z2 |
+ 9) |
|
|
|
2i)(z − 2i)(z2 |
|
|
|
4i(4i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2i |
|
|
|
|
z→2i (z + |
|
+ 9) |
|
|
|
|
+ 9) |
|
|
4i |
|
|
|
|
|
5i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
(z − 3i)z2 |
|
|
= |
|
|
|
|
− 9 |
= |
|
|
− 9 |
|
|
|
= |
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z2 |
+ 4)(z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6i(9i2 |
|
|
|
|
|
− 6i 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3i |
|
+ 9) |
|
|
|
z→3i (z + 3i)(z − 3i)(z2 |
+ 4) |
|
|
|
|
+ 4) |
|
|
|
|
|
|
|
10i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx == 2πi (− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
) = |
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
+ 4)(x |
2 |
+ 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5i |
|
10i |
10 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ. |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(x |
2 |
+ 4)(x |
2 |
+ |
9) |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Вычислить интеграл от заданной ветви многозначной функции по кривой С от точки z1 до точки z2.
∫zln zdz , где С – часть окружности |
|
z |
|
=1, |
|
(x, y ≥ 0), z1 =1, z2 = i, ln1= 0. |
||
|
|
|||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Рассмотрим функцию nz |
= ln |
|
z |
|
+ i(ϕ + 2kπ ). Рассматривается та ветвь |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции, для которой в точке z=1 величина lnz будет принимать заданное значение. С одной стороны Ln1= ln1+ i(0 + 2kπ). С другой стороны ln1= 0 . Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что указанной ветви функции соответствует значение k=0. Следовательно, данная ветвь функции имеет уравнение ln z = ln z + iϕ.
5
Таким образом,
|
|
|
u = ln z |
du = |
dz |
|
|
|
|
|||||||
∫zln zdz = |
z2 |
= |
z2 |
ln z |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C |
dv = zdz |
v = |
|
z |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − |
1 |
(2(ln i + |
iπ |
) −1) + |
1 |
= |
1 |
− πi . |
||||||||
|
|
|
|
42 4 2 4
Ответ. ∫z ln zdz = |
1 |
− |
πi |
. |
2 |
|
|||
C |
4 |
|
||
|
|
|
|
i |
|
z2 |
|
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
− |
1 |
∫zdz = |
(2ln z −1) |
= − |
1 |
(2ln i −1) + |
1 |
= |
|
|
4 |
|
|
||||||
2 |
C |
|
4 |
4 |
|
||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6